高考数学专题复习：三角函数精选精练2

高考数学专题复习：三角函数精选精练2

‎1 已知，向量，．设函数，且图像上相邻的两条对称轴的距离是．‎ ‎（Ⅰ）求数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ……………………… 5分 ‎∵的图像上相邻的两条对称轴的距离是∴的周期为 ‎∴ ……………… 7分 ‎ ‎（Ⅱ）∵∴∵，∴ … 9分 则当，即时，取得最小值0；当，即时，取得最大值1 …………………… 13分 ‎2已知向量，设函数。‎ ‎（1）求的最小正周期与单调递减区间 ‎（2）在中，、、分别是角、、的对边，若的面积为，求的值。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ），‎ ‎　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎ …………………………4分 令　　‎ 的单调区间为,k∈Z　　　．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅱ）由得　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 又为的内角　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．９分 ‎　　　　　　．．．．．．．．．．．．．１０分 ‎　　　　　．．．．．．．．．．．．．．13分 ‎【编号】1225 【难度】一般 3 ‎（本小题满分13分）‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ ‎ （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。‎ 考点：三角恒等变换。‎ 难度：中。‎ 分析： ‎ 解答：‎ ‎（I）选择（2）：‎ ‎（II）三角恒等式为：‎ ‎ （lby lfx）‎ ‎4 。如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以轴为始边作任意角，它们的终边与单位圆的交点分别为．‎ ‎（Ⅰ）设，，求；‎ ‎（Ⅱ）试证明差角的余弦公式．‎ x y A B O 终边 终边 x y A B O 终边 终边 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）方法一：由已知，得的夹角为，，　……………2分 ‎．　　　　　　……………………………6分 方法二：由三角函数的定义，得 点，，　　……………………………2分 ‎．……6分 ‎（Ⅱ）设的夹角为，‎ 因为，所以，　………………8分 另一方面，由三角函数的定义，得，，‎ ‎，　　　　　　　　　　　…………………10分 故，‎ 由于，，　　　　…………………12分 所以，．　　　　　　　…………………13分 ‎【编号】3678 【难度】一般 ‎5已知函数（）的部分图像， 是这部分图象与轴的交点（按图所示），函数图象上的点满足：.‎ ‎（Ⅰ）求函数的周期；‎ ‎（Ⅱ）若的横坐标为1，试求函数的解析式，并求的值.‎ ‎【答案】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分．‎ 解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理可得：，‎ ‎，或（舍去）. ……………3分 函数的周期为8. ………….5分 ‎（Ⅱ），， ……….7分 又函数过点，， …………9分 ‎.‎ 过点作轴的垂线，垂足为，在中，，‎ ‎，， ， ， . …..11分 ‎，‎ 则. …….13分 ‎【编号】3091 【难度】一般 ‎6（2010福建理数）19．（本小题满分13分）‎ ‎。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ ‎【答案】【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得，‎ 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎【编号】1678 【难度】一般