高考数学复习专题练习第7讲 离散型随机变量的均值与方差

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高考数学复习专题练习第7讲 离散型随机变量的均值与方差

第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1.设 X 为随机变量,X~B n,1 3 ,若随机变量 X 的数学期望 EX=2,则 P(X=2) 等于( ) A.13 16 B. 4 243 C. 13 243 D. 80 243 解析 ∵X~B n,1 3 ,EX=2,∴n·1 3 =2,∴n=6, ∴P(X=2)=C26 1 3 2 1-1 3 4=6×5 1×2 ×1 9 ×16 34 = 80 243. 答案 D 2.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为( ). A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6, P(X=3)= 1 C36 = 1 20 ,P(X=4)=C23 C36 = 3 20 , P(X=5)=C24 C36 = 3 10 ,P(X=6)=C25 C36 =1 2. 由数学期望的定义可求得 EX=5.25. 答案 B 3.若 p 为非负实数,随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 1 2 -p p 1 2 则 Eξ的最大值为( ). A.1 B.3 2 C.2 3 D.2 解析 由 p≥0,1 2 -p≥0,则 0≤p≤1 2 ,Eξ=p+1≤3 2. 答案 B 4.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 Eη,Dη分别是 ( ). A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得 Eη=8-EX=8 -10×0.6=2, Dη=(-1)2DX=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 率为 c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则2 a + 1 3b 的最小 值为 ( ). A.32 3 B.28 3 C.14 3 D.16 3 解析 由已知得,3a+2b+0×c=2, 即 3a+2b=2,其中 0Dξ2 B.Dξ1=Dξ2 C.Dξ1Dξ2. 答案 A 二、填空题 7.某射手射击所得环数ξ的分布列如下: ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望 Eξ=8.9,则 y 的值为________. 解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6.① 又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4.② 由①②联立解得 x=0.2,y=0.4. 答案 0.4 8.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 率为 c,a,b,c∈(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分 情况),则 ab 的最大值为________. 解析 由已知 3a+2b+0×c=1, ∴3a+2b=1, ∴ab=1 6·3a·2b≤1 6·3a+2b2 4 = 1 24 , 当且仅当 a=1 6 ,b=1 4 时取“=”. 答案 1 24 9.随机变量ξ的分布列如下: ξ -1 0 1 P a b c 其中 a,b,c 成等差数列.若 Eξ=1 3 ,则 Dξ的值是________. 解析 根据已知条件: a+b+c=1, 2b=a+c, -a+c=1 3 , 解得:a=1 6 ,b=1 3 ,c=1 2 , ∴Dξ=1 6 × -1-1 3 2 +1 3 × 0-1 3 2 +1 2 × 1-1 3 2 =5 9. 答案 5 9 10.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取-2 2,- 3,- 5 2 , 0, 5 2 , 3,2 2,用ξ表示坐标原点到 l 的距离,则随机变量ξ的数学期望 Eξ =________. 解析 当 l 的斜率 k 为±2 2时,直线 l 的方程为±2 2x-y+1=0,此时坐标 原点到 l 的距离 d=1 3 ;当 k 为± 3时,d=1 2 ;当 k 为± 5 2 时,d=2 3 ;当 k 为 0 时,d=1,由古典概型的概率公式可得分布列如下: ξ 1 3 1 2 2 3 1 P 2 7 2 7 2 7 1 7 所以 Eξ=1 3 ×2 7 +1 2 ×2 7 +2 3 ×2 7 +1×1 7 =4 7. 答案 4 7 三、解答题 11.某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生 的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1 2. 若某人获得两个“支持”,则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支 持”,则给予 5 万元的创业资助;若未获得“支持”,则不予资助,令ξ表 示该公司的资助总额. (1)写出ξ的分布列;(2)求数学期望 Eξ. 解 (1)ξ的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30.[来源:学|科|网] P(ξ=0)= 1 64 ,P(ξ=5)= 3 32 ,P(ξ=10)=15 64 ,P(ξ=15)= 5 16 ,P(ξ=20)=15 64 , P(ξ=25)= 3 32 ,P(ξ=30)= 1 64. 故ξ的分布列为: ξ 0 5 10 15 20 25 30 P 1 64 3 32 15 64 5 16 15 64 3 32 1 64 (2)Eξ=5× 3 32 +10×15 64 +15× 5 16 +20×15 64 +25× 3 32 +30× 1 64 =15. 12.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求 X 的分布列、期望和方差; (2)若η=aX+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值. 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 ∴EX=0×1 2 +1× 1 20 +2× 1 10 +3× 3 20 +4×1 5 =1.5. DX=(0-1.5)2×1 2 +(1-1.5)2× 1 20 +(2-1.5)2× 1 10 +(3-1.5)2× 3 20 +(4-1.5)2 ×1 5 =2.75. (2)由 Dη=a2DX,得 a2×2.75=11,即 a=±2. 又 Eη=aEX+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴ a=2, b=-2 或 a=-2, b=4, 即为所求. 13.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1 2 ,a,a(0
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