2018-2019学年江苏省苏州市第五中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年江苏省苏州市第五中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

苏州五中2018-2019学年第二学期期中调研测试 高二数学（理科）‎ ‎2019.4‎ 一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.已知复数，若，则实数a= ▲ ．‎ ‎2.已知，则实数n的值为 ▲ ．‎ ‎3.二项式的展开式中第5项的二项式系数为 ▲ ．（用数字作答）‎ ‎4.已知是虚数单位，复数对应的点在第 ▲ 象限． ‎ ‎5.有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不 同的种植方法共 ▲ 种． ‎ ‎6.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为 若，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ▲ ． ‎ ‎8.已知随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(22，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，‎ 则可以归纳出一般结论：当n≥2时，有 ▲ ．‎ ‎10.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为 ▲ ．‎ ‎11.在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ▲ ． ‎ ‎12.将A，B，C，D，E排成一排,要求在排列中,顺序为“ABC”或“CAB”(可以不相邻),这样的排法有 ▲ 种. (用数字作答)‎ ‎13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 ▲ 种.（以数字作答）‎ ‎14.‎ ‎ 祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理可以求旋转体的体积．如：设半圆方程为，半圆与轴正半轴交于点，作直线，交于点，连接（为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y轴旋转所得半球的体积与△绕轴旋转一周形成的几何体的体积相等．类比这个方法，可得半椭圆绕轴旋转一周形成的几何体的体积是 ▲ ． ‎ 二、解答题(共6大题，满分共90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 已知复数在复平面内所对应的点为．‎ ‎（1）若复数为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）若点在第二象限，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求的最小值及此时实数的值．‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 已知，.‎ ‎(1) 当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；‎ ‎(2) 由(1)猜想与的大小关系，并证明你的结论.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 已知 ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，已知正四棱锥中，点分别在上，且.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动．抽奖方案是：顾客从一个装有2个红球，3个黑球，5个白球的袋子里一次取出3只球，且规定抽到一个红球得3分，抽到一个黑球得2分，抽到一个白球得1分，按照抽奖得分总和设置不同的奖项．记某位顾客抽奖一次得分总和为X． ‎ ‎（1）求该顾客获得最高分的概率；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知.‎ ‎（1）若，求a3的值；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若存在整数k (0≤k≤2n)，对任意的整数m (0≤m≤2n)，总有 成立，这样的k是否唯一？并说明理由。 ‎ 苏州五中2018-2019学年第二学期期中调研测试 高二数学（理科）参考答案 一、填空题 ‎1. ； 2. ； 3. ； 4. 四； 5. 24； ‎ ‎6. ； 7.； 8.； 9. f(2n)> (n∈N*)； 10. ； ‎ ‎11. ； 12. 13. ； 14. .‎ 二、解答题 ‎15．解：（1）由…………………………………………………………2分 解得……………………………………………………………………………4分 注：未舍解的扣2分 ‎（2）由………………………………………………………………6分 解得或………………………………………………………8分 ‎（3）………………………………………………9分 令，……………………………………………………11分 则……………………………………………12分 所以当即时，…………………………………………………13分 有最小值．…………………………………………………………………14分 ‎16．证明 （1）当时， , , ，‎ 当时，, ,，‎ 当时，, , 。………………4分 ‎(2)猜想： ,即.…6分 下面用数学归纳法证明：①当时，上面已证. …………………………………………7分 ‎②假设当时，猜想成立，即 则当时，‎ ‎……10分 ‎ ‎ 因为，所以，………………13分 所以，当时猜想也成立 综上可知：对，猜想均成立。………………………………………………………14分 ‎17．解(1)∵C＋C＝‎2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∴n＝7或n＝14， ……………………………………2分 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，‎ T5的系数为C324＝70， ……………………………………4分 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数为C727＝3 432. ……………………………………6分 ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)． ……………………………………8分 设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10. ‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11， ……………13分 T11＝C·2·210·x10＝16 896x10. ………14分 ‎ ‎18.证明：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面.‎ D N M A B C P ‎（第18题图）‎ O x y z ‎，所以. 以为坐标原点，，方向 分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 如图： ……2分 则，，，， ‎ 故，‎ ‎，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以与所成角的大小为. ……8分 ‎ ‎（2）， ，.‎ 设是平面的一个法向量，则,，‎ 可得 令，，，即， ……10分 设是平面的一个法向量，则，，‎ 可得 令，，，即， …12分 ‎，‎ 则二面角的余弦值为.……16分 ‎19．解：（1）该顾客抽奖一次，当抽到2个红球1个黑球时，得分总和最高为8分，…2分 得分为8分的概率为， ……………4分 ‎（2）由题意知,袋子中共有10个球,‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎ ……………13分 ‎（X=3，4，8时算对一种得1分，X=5,6,7时算对一种得2分）‎ 所以X的数学期望 ‎.………15分 答：（1）该顾客获得高分的概率是；（2）X的数学期望为5.1. …16分 ‎20. 解：（1）取，有解得，……2分 此时． ………………………4分 ‎（2），下面证明：，‎ 当时，左=，右=，左 右，命题成立； …………………………………6分 假设当时，命题成立，有，‎ 则时，‎ ‎，命题也成立. ‎ 由上知，()，即()．…………………10分 ‎（3）由题意知：是中的最大项．，．‎ 所以，10分 令，得，设小于或等于的最大整数为，则 当时，，故（时取等号）；‎ 当时，，，故．…………14分 所以当时，满足条件的正整数有2个，即或；‎ 当时，满足条件的正整数只有1个，即．……………………16分