数学卷·2018届河北省石家庄一中高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河北省石家庄一中高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省石家庄一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在实数集R中，已知集合和集合B={x||x﹣1|+|x+1|≥2}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣2}∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） C．[2，+∞） D．{0}∪[2，+∞）‎ ‎2．“|x|+|y|≤1”是“x2+y2≤1”的（　　）条件．‎ A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 ‎3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6，a3+a5=0，则S6=（　　）‎ A．6 B．5 C．3 D．0‎ ‎5．函数的图象可由函数的图象至少向右平移（　　）个单位长度得到．‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）‎ A．10cm3 B．20cm3　 C．30cm3 D．40cm3‎ ‎7．在△ABC中，已知，则△ABC的形状为（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 ‎8．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．8‎ ‎9．在△ABC中， =， =．若点D满足=（　　）‎ A． + B． C． D． ‎ ‎10．设正三棱锥A﹣BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的所有顶点都在球O的球面上，BC=2，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的表面积为（　　）‎ A． B．6π C．8π D．12π ‎11．如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．2‎ ‎12．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）‎ ‎　‎ 二、非选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为　　．‎ ‎14．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为　　．‎ ‎15．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是　　‎ ‎16．若曲线 C1：y=x2与曲线 C2：y=aex（a≠0）存在公共切线，则a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明： ++…+＜2．‎ ‎19．为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员，得到如下列联表，因不慎丢失部分数据．‎ ‎（1））完成表格数据，判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由；‎ ‎（2）现从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人，求男性公务员和女性公务员各一人的概率．‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎　　‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎　　‎ ‎25‎ ‎　　‎ 总计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：k2=．‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在PD上．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若BM与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥M﹣ABCD的体积．‎ ‎21．椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2．设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（Ⅰ）求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省石家庄一中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在实数集R中，已知集合和集合B={x||x﹣1|+|x+1|≥2}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣2}∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） C．[2，+∞） D．{0}∪[2，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由或x2﹣4=0，‎ ‎∴x≥2，或x=﹣2‎ 即A={﹣2}∪[2，+∞），‎ 由|x﹣1|+|x+1|≥2，可得x∈R，‎ ‎∴A∩B={﹣2}∪[2，+∞），‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．“|x|+|y|≤1”是“x2+y2≤1”的（　　）条件．‎ A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：∵|x|+|y|≤1，‎ ‎∴x2+y2+2|x||y|≤1，‎ ‎∴x2+y2≤1，是充分条件，‎ 而x2+y2≤1，推不出x2+y2+2|x||y|≤1，‎ 也就推不出|x|+|y|≤1，不是必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】根据新定义直接判断即可 ‎【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，‎ 个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，‎ 则9117 用算筹可表示为，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6，a3+a5=0，则S6=（　　）‎ A．6 B．5 C．3 D．0‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列和通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S6．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和，‎ a1=6，a3+a5=0，‎ ‎∴，‎ 解得a1=6，d=﹣2，‎ ‎∴S6==6×6+=6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．函数的图象可由函数的图象至少向右平移（　　）个单位长度得到．‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位．‎ ‎【解答】解：分别把两个函数解析式简化为：‎ ‎═2sin（2x+），‎ ‎=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）+]，‎ 可知只需把函数的图象向右平移个长度单位，‎ 得到函数的图象．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（　　）‎ A．10cm3 B．20cm3　 C．30cm3 D．40cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：‎ 棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，‎ ‎∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，已知，则△ABC的形状为（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理将角的关系转化为边的关系，⇒（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0⇒a2=b2或a2+b2﹣c2=0．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可变为 ‎⇒⇒‎ ‎⇒b2（c2﹣b2）=a2（c2﹣a2）⇒（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0‎ ‎⇒a2=b2或a2+b2﹣c2=0．‎ ‎∴△ABC等腰或直角三角形，‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2，确定m的取值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2，‎ 得y=x﹣z，即当z=﹣2时，函数为y=x+2，此时对应的平面区域在直线y=x+2的下方，‎ 由，解得，即A（3，5），‎ 同时A也在直线x+y=m上，即m=3+5=8，‎ 故选：D ‎　‎ ‎9．在△ABC中， =， =．若点D满足=（　　）‎ A． + B． C． D． ‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得=‎ ‎==‎ ‎==‎ 故选A ‎　‎ ‎10．设正三棱锥A﹣BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的所有顶点都在球O的球面上，BC=2，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的表面积为（　　）‎ A． B．6π C．8π D．12π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】根据EF与DE的垂直关系，结合正棱锥的性质，判断三条侧棱互相垂直，再求得侧棱长，根据表面积公式计算即可 ‎【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，‎ 又∵EF⊥DE，‎ ‎∴AC⊥DE，‎ 取BD的中点O，连接AO、CO，‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD为正三棱锥，‎ ‎∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，‎ 又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；‎ ‎∴AC⊥AB，‎ 设AC=AB=AD=x，则x2+x2=4⇒x=，‎ 所以三棱锥对应的长方体的对角线为=，‎ 所以它的外接球半径为，‎ ‎∴球O的表面积为=6π 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．如图，F1，F2为双曲线C的左右焦点，且|F1F2|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF1⊥PF2．设直线PF2与y轴交于点A，且△APF1的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．2 B．4 C． D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，求出a的值，由|F1F2|=2，求出c的值，从而得到双曲线的离心率，得到本题结论．‎ ‎【解答】解：由PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为，‎ 由圆的切线的性质：圆外一点引圆的切线所得切线长相等，‎ 可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r=1，‎ 由双曲线的定义可得|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=1，‎ 可得|AF2|﹣|AF1|=1﹣2a，‎ 由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，‎ 即有a=．‎ 又|F1F2|=2，‎ 可得c=1，‎ 则e==2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣2x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），‎ ‎∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，‎ 设g（x）=f（x）﹣2x2，则g（x）+g（﹣x）=0，‎ ‎∴函数g（x）为奇函数．‎ ‎∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，‎ g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣，‎ 故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，‎ 故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，‎ 若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，‎ 则f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，‎ 即g（m+1）＜g（﹣m），‎ ‎∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、非选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为　18　．‎ ‎【考点】系统抽样方法；简单随机抽样．‎ ‎【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，抽样的分段间隔为=25，结合从第18组抽取的号码为443，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．‎ ‎【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，‎ ‎∴系统抽样的分段间隔为=25，‎ 设第一部分随机抽取一个号码为x，‎ 则抽取的第18编号为x+17×25=443，∴x=18．‎ 故答案为18．‎ ‎　‎ ‎14．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】变形利用基本不等式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，‎ ‎∴（0＜x＜2）．‎ ‎∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，‎ 当且仅当x=时取等号．‎ ‎∴x+y的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是　（4，10]　‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：设输入x=a，‎ 第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；‎ 第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；‎ 第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；‎ 故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，‎ 解得：a∈（4，10]，‎ 故答案为：（4，10]．‎ ‎　‎ ‎16．若曲线 C1：y=x2与曲线 C2：y=aex（a≠0）存在公共切线，则a的取值范围为　（﹣∞，0）∪（0，]　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n﹣2，则4n﹣4=aen有解．再由导数即可进一步求得a的取值．‎ ‎【解答】解：y=x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，‎ y=aex在点（n，aen）的切线斜率为aen，‎ 如果两个曲线存在公共切线，那么：2m=aen．‎ 又由斜率公式得到，2m=，‎ 由此得到m=2n﹣2，‎ 则4n﹣4=aen有解．‎ 由y=4x﹣4，y=aex的图象有交点即可．‎ 设切点为（s，t），则aes=4，且t=4s﹣4=aes，‎ 即有切点（2，4），a=，‎ 故a的取值范围是：a≤且a≠0．‎ 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；‎ ‎（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，‎ 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．‎ 因为0＜A＜π，所以．‎ ‎（Ⅱ）由S===‎ ‎，得到bc=20．又b=5，解得c=4．‎ 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．‎ 又由正弦定理得．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明： ++…+＜2．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得an+1an+2=4Sn+1﹣1，与原递推式作差可得an+2﹣an=4，说明{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，分别求出通项公式后可得{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由等差数列的前n项和求得Sn，取其倒数后利用放缩法证明++…+＜2．‎ ‎【解答】（I）解：由题设，anan+1=4Sn﹣1，得an+1an+2=4Sn+1﹣1．‎ 两式相减得an+1（an+2﹣a）=4an+1．‎ 由于an+1≠0，∴an+2﹣an=4．‎ 由题设，a1=1，a1a2=4S1﹣1，可得a2=3．‎ 故可得{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n﹣1=2•2n﹣1．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）证明：，‎ 当n＞1时，由，得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员，得到如下列联表，因不慎丢失部分数据．‎ ‎（1））完成表格数据，判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由；‎ ‎（2）现从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人，求男性公务员和女性公务员各一人的概率．‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎　30　‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎　20　‎ ‎25‎ ‎　45　‎ 总计 ‎　50　‎ ‎　40　‎ ‎　90　‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：k2=．‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）直接利用k2运算法则求解，判断生二胎意愿与性别是否有关的结论．‎ ‎（2）由题意从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人，共有45×22种取法，其中男性公务员和女性公务员各一人的取法有30×15种，即可求解概率．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 总计 ‎50‎ ‎40‎ ‎90‎ 由于k2==4.5＜6.635‎ 故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”…‎ ‎（2）由题意从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人，共有45×‎ ‎22种取法，其中男性公务员和女性公务员各一人的取法有30×15种，所以概率为=…‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在PD上．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若BM与平面ABCD所成角的正切值为，求四棱锥M﹣ABCD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设E为BC的中点，连结AE，求解三角形可得AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，得AB⊥PA，再由线面垂直的判定可得AB⊥面PAC，故有AB⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得∠BAD=135°，过M作MG⊥AD于G，设AG=x，则GD=，有MG=．在△ABG中，由余弦定理可得BG，由BM与平面ABCD所成角的正切值为，得M为PD的中点，再由棱锥体积公式求得四棱锥M﹣ABCD的体积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，设E为BC的中点，连结AE，‎ 则AD=EC，又AD∥EC，∴四边形AECD为平行四边形，‎ 故AE⊥BC，又AE=BE=EC=，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，‎ 又∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，‎ ‎∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）由（1）知AB⊥AC，可得∠BAD=135°，‎ 过M作MG⊥AD于G，设AG=x，则GD=，∴MG=．‎ 在△ABG中，由余弦定理可得：BG=，‎ 由BM与平面ABCD所成角的正切值为，得，解得x=，‎ ‎∴MG=1，即M为PD的中点．‎ 此时四棱锥M﹣ABCD的体积为=4．‎ ‎　‎ ‎21．椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2．设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆通径，得a=2b2，结合椭圆离心率可得a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）设出P（x0，y0），当0≤x0＜2时，分和求解，当时，设出直线PF1，PF2的方程，由点到直线的距离公式可得m与k1，k2的关系式，‎ 再把k1，k2用含有x0，y0的代数式表示，进一步得到．再由x0的范围求得m的范围；当﹣2＜x0＜0时，同理可得．则m的取值范围可求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于c2=a2﹣b2，将x=﹣c代入椭圆方程，得，‎ 由题意知，即a=2b2．‎ 又，∴a=2，b=1．‎ 故椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），‎ 当0≤x0＜2时，‎ ‎①当时，直线PF2的斜率不存在，易知或．‎ 若，则直线PF1的方程为．‎ 由题意得，‎ ‎∵，∴．‎ 若，同理可得．‎ ‎②当时，‎ 设直线PF1，PF2的方程分别为 ‎，‎ 由题意知，‎ ‎∴，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎∵，0≤x0＜2且，‎ ‎∴．‎ 整理得，，‎ 故0且m．‎ 综合①②可得．‎ 当﹣2＜x0＜0时，同理可得．‎ 综上所述，m的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈‎ R）在其定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（Ⅰ）求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；‎ ‎（Ⅱ）问题等价于ln＞，令，则t＞1，，设，根据函数的单调性证出结论即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；‎ 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；‎ ‎（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，‎ 如右图．‎ 可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．‎ 令切点A（x0，lnx0），‎ 故k=y′|x=x0=，又k=，‎ 故 =，‎ 解得，x0=e，‎ 故k=，‎ 故0＜a＜．‎ ‎（解法二）转化为函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．‎ 又g′（x）=，‎ 即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，‎ 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．‎ 故g（x）极大=g（e）=；‎ 又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，‎ 故g（x）的草图如右图，‎ 可见，要想函数g（x）=与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，‎ 只须0＜a＜．‎ ‎（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，‎ 而g′（x）=﹣ax=（x＞0），‎ 若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，‎ 此时g（x）不可能有两个不同零点．‎ 若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，‎ 所以g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，从而g（x）极大=g（）=ln﹣1，‎ 又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，‎ 于是只须：g（x）极大＞0，即ln﹣1＞0，所以0＜a＜．‎ 综上所述，0＜a＜．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，‎ 即lnx1=ax1，lnx2=ax2，‎ 设x1＞x2，作差得ln=a（x1﹣x2），即a=‎ 原不等式等价于ln＞，‎ 令，则t＞1，，‎ 设，，‎ ‎∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（t）＞g（1）=0，‎ 即不等式成立，‎ 故所证不等式成立．‎ ‎　‎