2006年福建省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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文档介绍

2006年福建省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2006年福建省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 设a,b,c∈R,则复数‎(a+bi)(c+di)‎为实数的充要条件是( )‎ A.ad-bc=0‎ B.ac-bd=0‎ C.ac+bd=0‎ D.‎ad+bc=0‎ ‎2. 在等差数列‎{an}‎中,已知a‎1‎=‎2‎,a‎2‎‎+‎a‎3‎=‎13‎,则a‎4‎‎+a‎5‎+‎a‎6‎等于( )‎ A.‎40‎ B.‎42‎ C.‎43‎ D.‎‎45‎ ‎3. 已知α∈(π‎2‎, π)‎,sinα=‎‎3‎‎5‎,则tan(α+π‎4‎)‎等于( )‎ A.‎1‎‎7‎ B.‎7‎ C.‎-‎‎1‎‎7‎ D.‎‎-7‎ ‎4. 已知全集U=R,且A={x||x-1|>2}‎,B={x|x‎2‎-6x+8<0}‎,则‎(‎∁‎UA)∩B等于( )‎ A.‎(2, 3)‎ B.‎[2, 3]‎ C.‎(2, 3]‎ D.‎‎(-2, 3]‎ ‎5. 已知正方体外接球的体积是‎32‎‎3‎π,那么正方体的棱长等于‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎2‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎6. 在一个口袋中装有‎5‎个白球和‎3‎个黑球,这些球除颜色外完全相同.从中摸出‎3‎个球,至少摸到‎2‎个黑球的概率等于( )‎ A.‎2‎‎7‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎3‎‎7‎ D.‎‎9‎‎28‎ ‎7. 对于平面α和共面的直线m、n,下列命题中真命题是( )‎ A.若m⊥α,m⊥n,则n // α B.若m // α,n // α,则m // n C.若m⊂α,n // α,则m // n D.若m、n与α所成的角相等,则m // n ‎8. 函数y=log‎2‎xx-1‎(x>1)‎的反函数是( )‎ A.y=‎2‎x‎2‎x‎-1‎(x>0)‎ B.y=‎2‎x‎2‎x‎-1‎(x<0)‎ C.y=‎2‎x‎-1‎‎2‎x(x>0)‎ D.‎y=‎2‎x‎-1‎‎2‎x(x<0)‎ ‎9. 已知函数f(x)‎=‎2sinωx(ω>0)‎在区间‎[-π‎3‎,π‎4‎]‎上的最小值是‎-2‎,则ω的最小值等于( )‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎10. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的右焦点为F,若过点F且倾斜角为‎60‎‎∘‎的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(        )‎ A.‎(1, 2]‎ B.‎(1, 2)‎ C.‎[2, +∞)‎ D.‎‎(2, +∞)‎ ‎11. ‎|OA‎→‎|‎=‎1‎,‎|OB‎→‎|=‎‎3‎,OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=0‎,点C在‎∠AOB内,且‎∠AOC=‎30‎‎∘‎,设OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎(m、n∈R)‎,则mn等于( )‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎ ‎12. 对于直角坐标平面内的任意两点A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,定义它们之间的一种“距离”:‎||AB||‎=‎|x‎2‎-x‎1‎|+|y‎2‎-y‎1‎|‎.给出下列三个命题:‎ ‎①若点C在线段AB上,则‎||AC||+||CB||‎=‎||AB||‎;‎ ‎②在‎△ABC中,若‎∠C=‎90‎‎∘‎,则‎||AC|‎|‎‎2‎+||CB|‎‎|‎‎2‎=‎||AB|‎‎|‎‎2‎;‎ ‎ 8 / 8‎ ‎③在‎△ABC中,‎||AC||+||CB||>||AB||‎.‎ 其中真命题的个数为( )‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13. 在二项式‎(x‎2‎-‎‎1‎x‎)‎‎5‎的展开式中,含x‎4‎的项的系数是________.‎ ‎14. 已知直线x-y-1=0‎与抛物线y=ax‎2‎相切,则a=‎________.‎ ‎15. 一个均匀小正方体的‎6‎个面中,三个面上标以数‎0‎,两个面上标以数‎1‎,一个面上标以数‎2‎.将这个小正方体抛掷‎2‎次,则向上的数之积的数学期望是________.‎ ‎16. 如图,连接‎△ABC的各边中点得到一个新的‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎,又连接‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的各边中点得到‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎,如此无限继续下去,得到一系列三角形:‎△ABC,‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎,‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎,…,这一系列三角形趋向于一个点M.已知A(0, 0)‎,B(3, 0)‎,C(2, 2)‎,则点M的坐标是________.‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17. 已知函数f(x)=sin‎2‎x+‎3‎sinxcosx+2cos‎2‎x,x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)‎的最小正周期和单调增区间;‎ ‎(2)函数f(x)‎的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)‎的图象经过怎样的变换得到?‎ ‎18.‎ 如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2‎,AB=AD=‎‎2‎.‎ ‎(1)‎求证:AO⊥‎平面BCD;‎ ‎(2)‎求异面直线AB与CD所成角的大小;‎ ‎(3)‎求点E到平面ACD的距离.‎ ‎ 8 / 8‎ ‎19. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=‎1‎‎128000‎x‎3‎-‎3‎‎80‎x+8(0=BA‎→‎‎.‎CD‎→‎‎|BA‎→‎||CD‎→‎|‎=‎‎2‎‎4‎,‎ ‎∴ 异面直线AB与CD所成角的大小为arccos‎2‎‎4‎.‎ ‎(3)‎解:设平面ACD的法向量为n‎→‎‎=(x,y,z)‎,‎ 则n‎→‎‎.AD‎→‎=(x,y,z)⋅(-1,0,-1)=0,‎n‎→‎‎.AC‎→‎=(x,y,z)⋅(0‎3‎,-1)=0,‎ ‎∴ ‎x+z=0,‎‎3‎y-z=0.‎ 令y=1‎,得n‎→‎‎=(-‎3‎,1,‎3‎)‎是平面ACD的一个法向量.‎ 又EC‎→‎‎=(-‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎,0)‎,‎ ‎∴ 点E到平面ACD的距离h=‎|EC‎→‎.n‎→‎|‎‎|n‎→‎|‎=‎3‎‎7‎=‎‎21‎‎7‎.‎ ‎19.解:‎(1)‎当x=40‎时,汽车从甲地到乙地行驶了‎100‎‎40‎‎=2.5‎小时,‎ 要耗油‎(‎1‎‎128000‎×‎40‎‎3‎-‎3‎‎80‎×40+8)×2.5=17.5‎(升).‎ 答:当汽车以‎40‎千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油‎17.5‎升.‎ ‎(2)‎当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了‎100‎x小时,设耗油量为h(x)‎升,‎ 依题意得h(x)=(‎1‎‎128000‎x‎3‎-‎3‎‎80‎x+8)⋅‎‎100‎x ‎=‎1‎‎1280‎x‎2‎+‎800‎x-‎15‎‎4‎(00‎,h(x)‎是增函数.‎ 所以当x=80‎时,h(x)‎取到极小值h(80)=11.25‎.‎ 因为h(x)‎在‎(0, 120]‎上只有一个极小值,‎ 所以它是最小值.‎ 答:当汽车以‎80‎千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,‎ ‎ 8 / 8‎ 最少为‎11.25‎升.‎ ‎20.解:(1)∵ a‎2‎‎=2‎,b‎2‎‎=1‎,‎ ‎∴ c=1‎,F(-1, 0)‎,l:x=-2‎.‎ ‎∵ 圆过点O、F,‎ ‎∴ 圆心M在直线x=-‎‎1‎‎2‎上.‎ 设M(-‎1‎‎2‎,t)‎,则圆半径r=|(-‎1‎‎2‎)-(-2)|=‎‎3‎‎2‎.‎ 由‎|OM|=r,得‎(-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎t‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 解得t=±‎‎2‎.‎ ‎∴ 所求圆的方程为‎(x+‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+(y±‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎9‎‎4‎.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)‎,‎ 代入x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎,整理得‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+4k‎2‎x+2k‎2‎-2=0‎.‎ ‎∵ 直线AB过椭圆的左焦点F,∴ 方程有两个不等实根.‎ 记A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,AB中点N(x‎0‎, y‎0‎)‎,‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎4‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,x‎0‎‎=-‎‎2‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎,‎y‎0‎‎=k(x‎0‎+1)=‎k‎2k‎2‎+1‎ ‎∴ AB的垂直平分线NG的方程为y-y‎0‎=-‎1‎k(x-x‎0‎)‎.‎ 令y=0‎,得xG‎=x‎0‎+ky‎0‎=-‎2‎k‎2‎‎2k‎2‎+1‎+k‎2‎‎2k‎2‎+1‎=-k‎2‎‎2k‎2‎+1‎=-‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎4k‎2‎+2‎.‎ ‎∵ k≠0‎,∴ ‎-‎1‎‎2‎4‎时,f(x)‎在‎[t, t+1]‎上单调递减,h(t)=f(t)=-t‎2‎+8t.‎ 综上,‎h(t)=‎‎-t‎2‎+6t+7,t<3,‎‎16,3≤t≤4,‎‎-t‎2‎+8t,t>4.‎ ‎(2)‎函数y=f(x)‎的图象与y=g(x)‎的图象有且只有三个不同的交点,即函数m(x)=g(x)-f(x)‎的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.‎ ‎∵ m(x)=x‎2‎-8x+6lnx+m,‎ ‎∴ m‎'‎‎(x)=2x-8+‎6‎x=‎2x‎2‎-8x+6‎x=‎2(x-1)(x-3)‎x(x>0)‎.‎ 当x∈(0, 1)‎时,m‎'‎‎(x)>0‎,m(x)‎是增函数;‎ 当x∈(1, 3)‎时,m‎'‎‎(x)<0‎,m(x)‎是减函数;‎ 当x∈(3, +∞)‎时,m‎'‎‎(x)>0‎,m(x)‎是增函数;‎ 当x=1‎或x=3‎时,m‎'‎‎(x)=0‎,‎ ‎∴ m(x‎)‎最大值=m(1)=m-7‎,m(x‎)‎最小值=m(3)=m+6ln3-15‎.‎ ‎∵ 当x充分接近‎0‎时,m(x)<0‎,当x充分大时,m(x)>0‎,‎ ‎∴ 要使m(x)‎的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,‎ ‎ 8 / 8‎ 须有m(x‎)‎最大值=m-7>0,‎m(x‎)‎最小值=m+6ln3-15<0,‎ 即‎7n‎2‎-‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴ n‎2‎‎-‎1‎‎3‎
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