高中数学 函数概念与基本初等函数专题

高中数学 函数概念与基本初等函数专题

‎ 高中数学 函数概念与基本初等函数 专题 函数与方程 ‎2019年 ‎ ‎1.（2019全国Ⅱ理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.（2019江苏14）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 .‎ ‎3.（2019浙江9）已知，函数，若函数恰有3个零点，则 A．a<-1，b<0 B．a<-1，b>0 ‎ C．a＞-1，b<0 D．a＞-1，b>0 ‎ ‎2010-2018年 ‎ 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎2．（2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则=‎ A． B． C． D．1‎ ‎3．（2017山东）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．(2016年天津)已知函数=（,且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 A．(0，] B．[，] C．[，]{} D．[，）{}‎ ‎5．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A． B． C． D．‎ ‎6．（2015福建）若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎7．（2015天津）已知函数 函数 ，其中 ‎ ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．（2015陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A．－1是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 ‎9．(2014山东)已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10．（2014北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A． B． C． D．‎ ‎11．（2014重庆）已知函数, 且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．（2014湖北）已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎13．（2013安徽）已知函数有两个极值点，若 ‎，则关于的方程的不同实根个数为 A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎14．（2013重庆）若，则函数的两个零点分别位于区间 A．和内 B．和内 ‎ C．和内 D．和内 ‎15．(2013湖南)函数的图像与函数的图象的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 ‎ ‎16．（2013天津）函数的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎17．（2012北京）函数的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎18．（2012湖北）函数在区间上的零点个数为 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎19．（2012辽宁）设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为 A．5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎20．(2011天津)对实数与，定义新运算“”： 设函数 若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A． 　B．‎ C． D．‎ ‎21．（2011福建）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A．（1,1） B．（2,2）‎ C．（∞，2）∪（2，+∞） D．（∞，1）∪（1，+∞）‎ ‎22．(2011全国新课标)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎23．(2011山东)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为 A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎24．（2010年福建）函数，的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎25．(2010天津)函数的零点所在的一个区间是 A．（2，1） B．（1，0） C．（0，1） D．（1，2）‎ ‎26．（2010广东）“”是“一元二次方程有实数解”的 A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 ‎27．（2010浙江）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是 A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎28．(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为________．‎ ‎29．(2018天津)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． ‎ ‎30．(2018江苏)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．‎ ‎31．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．‎ ‎32．(2018浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则，当时， ， ．‎ ‎33．（2017江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．‎ ‎34．(2016年山东)已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_________.‎ ‎35．（2015湖北）函数的零点个数为 ．‎ ‎36．（2015北京）设函数 ‎①若，则的最小值为 ；‎ ‎②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎37．（2015湖南）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．‎ ‎38．（2014江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，‎ ‎．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 ．‎ ‎39．（2014福建）函数的零点个数是_________．‎ ‎40．（2014天津）已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.‎ ‎41．（2012福建）对于实数和，定义运算“*”： 设 ‎=，且关于的方程为（∈R）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．‎ ‎42．(2011北京)已知函数，若关于的方程=有两个不同的实根，则数的取值范围是_______．‎ ‎43．(2011辽宁)已知函数有零点，则的取值范围是_____．‎ 参考答案部分 ‎2019年 ‎ ‎1.解析：因为，所以，‎ ‎ 当时，，‎ 当时，，，‎ 当时，，，‎ 当时，由解得或，‎ 若对任意，都有，则． 故选B．‎ ‎ 2.解析 作出函数与的图像如图所示，‎ ‎ 由图可知，函数与仅有2个实数根； 要使关于x的方程有8个不同的实数根， 则，与，的图象有2个不同交点， 由到直线的距离为1，得，解得，‎ 因为两点，连线的斜率， 所以，‎ 即的取值范围为.‎ ‎3.解析：当时，，最多一个零点；‎ 当时，，‎ ，‎ 当，即时，，在上递增，最多一个零点不合题意； 当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2‎ 个零点； 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点， 如下图：‎ ‎ 所以且， 解得，，． 故选C．‎ ‎2010-2018年 ‎ ‎1．C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，‎ 由图可知，，解得，故选C．‎ ‎2．C【解析】令，则方程有唯一解，‎ 设，，则与有唯一交点，‎ 又，当且仅当时取得最小值2．‎ 而，此时时取得最大值1，‎ 有唯一的交点，则．选C．  ‎ ‎3．B【解析】当时，，函数，在上单调递减，函数，在上单调递增，因为，，，，所以，，此时与在有一个交点；当时，，函数，在 上单调递减，在上单调递增，此时，在无交点，‎ 要使两个函数的图象有一个交点，需，即，解得．‎ 选B．‎ ‎4．C【解析】当时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以．当时，函数的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需当时，方程 只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程 ‎，即在上恰有唯一的实数解．判别式，当时，，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，此时方程有两个负根，不满足要求；综上实数的取值范围是．‎ ‎5．A【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇函数又不是偶函数，是偶函数但没有零点．故选A．‎ ‎6．D【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；‎ 当是等差中项时，，解得，，综上所述，，‎ 所以，选D．‎ ‎7．D【解析】由得，‎ 所以，‎ 即，‎ ‎，所以 恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数 的图象的4个公共点，由图象可知．‎ ‎8．A【解析】由A知；由B知，；由C知 ‎，令可得，则，则；‎ 由D知，假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A．‎ ‎9．B【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选．‎ ‎10．C【解析】∵，，‎ ‎，∴零点的区间是．‎ ‎11．A【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数 的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，‎ 当直线与和都相交时 ‎；当直线与有两个交点时，‎ 由，消元得，即，‎ 化简得，当，即时直线 与相切，当直线过点 时，，所以，综上实数的取值范围是．‎ ‎12．D【解析】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当时，由是奇函数得，‎ 即，由得（正根舍去）．‎ ‎13．A【解析】，是方程的两根，‎ 由，则又两个使得等式成立，‎ ‎，，其函数图象如下：‎ 如图则有3个交点，故选A.‎ ‎14．A【解析】由，可得，，‎ ‎．显然，，‎ 所以该函数在和上均有零点，故选A．‎ ‎15．B【解析】二次函数的图像开口向上，在轴上方，对称轴为 ‎，； ．所以，从图像上可知交点个数为2．‎ ‎16．B【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．‎ ‎17．B【解析】因为在内单调递增，又，‎ 所以在内存在唯一的零点．‎ ‎18．C【解析】，则或，，又，‎ 所以共有6个解.选C．‎ ‎19．B【解析】由题意知，所以函数为偶函数，所以 ‎，所以函数为周期为2的周期函数，‎ 且，，而为偶函数，‎ 且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B．‎ ‎20．B【解析】由题意知，若，即时，；当，即或时，，要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可，即函数的图像与直线有两个不同的交点即可，画出函数的图像与直线，不难得出答案B．‎ ‎21．C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即，解得或，故选C．‎ ‎22．D【解析】图像法求解．的对称中心是也是的中心，他们的图像在的左侧有4个交点，则右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为，‎ 则，所以选D ‎23．B【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,‎ 所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B．‎ ‎24．C【解析】当时，令解得；‎ 当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C．‎ ‎25．B【解析】因为，，所以选B．‎ ‎26．A【解析】有实数解等价于，即．当时，‎ 成立，但时，不一定成立，故选A．‎ ‎27．A【解析】，，由于，所以，故函数在上存在零点；由于，故函数在 上存在零点，在上也存在零点，令，‎ 则，而，‎ 所以函数在上存在零点，故选A．‎ ‎28．3【解析】由题意知，，所以，，‎ 所以，，当时，；当时，；‎ 当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．‎ ‎29．【解析】当时，由，得；‎ 当时，由，得．‎ 令，作出直线，，‎ 函数的图象如图所示，‎ 的最大值为，由图象可知，若恰有2个互异的实数解，则，得．‎ ‎30．【解析】()，当时在 上恒成立，则在上单调递增，又，所以此时在内无零点，不满足题意．当时，由得，由得，则在上单调递减，在上单调递增，又在内有且只有一个零点，所以，得，所以，‎ 则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，，，则，所以在上的最大值与最小值的和为．‎ ‎31．；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．‎ ‎32．8；11【解析】因为，所以，解得．‎ ‎33．8【解析】由于，则需考虑的情况，‎ 在此范围内，且时，设，且互质，‎ 若，则由，可设，且互质，‎ 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，‎ 因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，‎ 只需考虑与每个周期的部分的交点，‎ 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，‎ 且处，则在附近仅有一个交点，‎ 因此方程的解的个数为8．‎ ‎34．【解析】由题意，当时，，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为．‎ ‎①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；‎ ‎②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，的取值范围为．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎35．2【解析】因为 ‎=‎ ‎36． 【解析】①若，则，作出函数的图象如图所示，由图可知的最小值为．‎ ‎②当时，要使恰好有3个零点，需满足，即．所以；‎ 当时，要使恰好有2个零点，需满足，解得．‎ ‎37．【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组 有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而；综上，实数的取值范围是 ‎．‎ ‎38．【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点，即函数 与的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数在一个周期内的图象，可知．‎ ‎39．2【解析】当时，令，解得；‎ 当时，，∵，∴在上单调递增，因为，，所以函数在有且只有一个零点，所以的零点个数为2．‎ ‎40．或【解析】法一 显然．(ⅰ)当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根．‎ ‎（ⅱ）当直线与函数相切时，，此时 恰有2个互异的实数根.结合图象可知或．‎ ‎ ‎ 法二：显然，所以.令，则．‎ 因为，所以．‎ 结合图象可得或.‎ ‎41．【解析】由定义运算“*”可知 ‎=，如图可知满足题意的的范围是，‎ 不妨设，当时，=，即 ‎∴；∴‎ 当时，由，得 ‎∴，‎ ‎42．【解析】当时，，说明函数在上单调递增，函数的值域是，又函数在上单调递减，函数的值域是，因此要使方程有两个不同实根，则．‎ ‎43．【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程有解问题，即方程有解．令函数，则，令，得，所以在上是增函数，在上是减函数，所以的最大值为，所以．‎