安徽省六安市第一中学2019届高三数学下学期模拟考试试题（三）文

安徽省六安市第一中学2019届高三数学下学期模拟考试试题（三）文

安徽省六安市第一中学2019届高三数学下学期模拟考试试题（三）文 考试时间：120分钟；满分：150‎ 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1. 设复数（i为虚数单位），z则的虚部为（　　）‎ A. i B. -i C. -1 D. 1‎ 2. 函数y=ln（2-|x|）的大致图象为（　　）‎ A. ‎ B. C. D.‎ 3. 已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 圆心在曲线上，与直线x+y+1=0相切，且面积最小的圆的方程为（　　）‎ A. x2+（y-1）2=2 B. x2+（y+1）2=2 C. （x-1）2+y2=2 D. （x+1）2+y2=2‎ ‎5.执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()　　．‎ ‎ A. B. C. ‎ D. ‎ ‎6.已知实数x，y满足不等式组,则的取值范围是（　　）‎ A. ‎（-1，-2] B. C. D. ‎ ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an-3n，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则 Γ的离心率为（　　）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为　　‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎11.在平行四边形ABCD中，，，，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为（　　）‎ A. 16π B. 8π C. 4π D. 2π ‎12.已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（　　）‎ A. （-1，+∞） B. （-1，1] C. （-∞，1） D. [-1，1）‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD，则其侧视图的面积为______．‎ ‎14.一般情况下，过二次曲线Ax2+By2=C（ABC≠0）上一点M（x0，y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C，．若过双曲线上一点M（x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线1，已知直线1过点N，且斜率的取值范围是，则该双曲线离心率的取值范围是______．‎ ‎15.已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在内的两个零点，则sin（x1+x2）=______．‎ ‎16.如图，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线及圆（x-2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是_____ ‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分）已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足 ， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，若是递增数列，求实数a的取值范围． ‎ ‎18.(本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面,,，是棱的中点 （1）证明：平面平面；‎ ‎（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.‎ ‎19.(本小题满分12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．‎ 组号 分组 回答正确 的人数 回答正确的人数 占本组的概率 第1组 ‎[15，25）‎ ‎5‎ ‎0.5‎ 第2组 ‎[25，35）‎ a ‎0.9‎ 第3组 ‎[35，45）‎ ‎27‎ x 第4组 ‎[45，55）‎ b ‎0.36‎ 第5组 ‎[55，65）‎ ‎3‎ y ‎（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值； （Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．‎ ‎ ‎ ‎ 20.(本小题满分12分）已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ 21. ‎(本小题满分12分）已知（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y-2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若∀x∈，使得对∀t∈上恒有f（x）≥t3-t2-2at+2成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2． ‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎ 22.(本小题满分10分)【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数）它与 曲线C：交于A、B两点． （1）求|AB|的长； （2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．‎ ‎23.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式】‎ ‎（Ⅰ）已知c＞0，关于x的不等式：x+|x-2c|≥2的解集为R． 求实数c的取值范围； （Ⅱ）若c的最小值为m，又p、q、r是正实数，且满足p+q+r=3m，求证：p2+q2+r2≥3． ‎ ‎ ‎ 文科数学模拟卷答案 ‎1.【答案】D 解：∵，‎ ‎∴z的虚部为1．故选D．‎ 2. ‎【答案】A ‎ 解：函数y=ln（2-|x|）是偶函数，排除选项D， 当x=时，函数y=ln（2-）＞0，排除选项C， 当x=时，函数y=ln＜0，排除选项B，故选：A． 3.【答案】A 解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直 ∴直线m⊂α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立 反之，直线m⊂α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立 所以直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 故选A ‎ 4.【答案】A ‎ 解：设与直线x+y+1=0平行与曲线相切的直线方程为：x+y+m=0，切点为．． ∴，，解得． 可得切点P（0，1）．两条平行线之间的距离为：面积最小的圆的半径； ∴半径． ∴圆心在曲线上，且与直线x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为：x2+（y-1）2=2． 故选：A．‎ 5. ‎【答案】B 【解析】由程序框图依次可得，输入 N＝4， T＝1， S＝1， k＝2； ，‎ ‎， k＝3； ， S＝， k＝4； ，， k＝5； 输出. ‎ 5. ‎ 【答案】D 解：设k=，则k的几何意义为区域内的点（x，y）到定点D（-2，-1）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图， 由图象可知AD的斜率最大， ∵O，B，D，三点共线， ∴OD的斜率最小，即最小值为k=， 由，解得，即A（，）， 则AD的斜率，故，故选：D ‎ 7.【答案】A 解：∵数列{an}的前n项和为Sn，3Sn=2an-3n，∴， 解得a1=-3，，①， 当n≥2时，‎ ‎，②， ①-②，得，，∴， ∵a1+1=-2，∴{an+1}是以-2为首项，以-2为公比的等比数列， ∴，∴a2018=（-2）2018-1=22018-1． 故选：A．‎ ‎8.【答案】C 解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形， 过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1， 显然当弦为CD时就是△BCD的边长， 要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|， 记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}， 由几何概型概率公式得， 即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．故选C ‎9..【答案】A 解：∵PF⊥x轴， ∴设M（-c，t），则A（-a，0），B（a，0）， AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a）， 令x=0，则y=，即E（0，）， BN的斜率，则BN的方程为， 令x=0，则y=，即N（0，）， ∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=， 则2（c-a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A． 10.【答案】A 解：∵在△ABC中，∴（2a-c）cosB=bcosC， ∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA， 约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac， ∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤故选A．‎ ‎11.【答案】C 解：在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，， ，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C， ∴三棱锥A-BDC镶嵌在长方体中， 即得出：三棱锥A-BDC的外接球与长方体的外接球相同， ∴2R==2，R=1， ∴外接球的表面积为4π×12=4π， 故选：C．‎ ‎12.【答案】B 解：作函数f（x）=，的图象如下， 由图可知，x1+x2=-2，x3x4=1；1＜x4≤2； 故，其在1＜x4≤2上是增函数， 故-2+1＜≤-1+2；即-1＜≤1； 故选：B． 13.【答案】 ‎ 解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为4，3，一个侧面是直角三角形与底面垂直，AB=4，BC=3，B到AC的距离为：侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为：． ‎ 所以侧视图的面积为：．故答案为：．‎ ‎14.【答案】‎ 解：由双曲线的在M（x0，y0）切线方程：，将N代入切线方程，解得：y0=-2b，代入双曲线方程解得：， 则切线方程：，即y=x+， 由斜率的取值范围是[，]，即≤≤，1≤≤2， 由双曲线的离心率e==，1≤≤4，‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围，‎ ‎15.【答案】 ‎ 解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，]内的两个零点， 可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2， 即为2（sin2x1-sin2x2）=-cos2x1+cos2x2， 即有4cos（x1+x2）sin（x1-x2）=-2sin（x2+x1）sin（x2-x1）， 由x1≠x2，可得sin（x1-x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2）， 由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±， 由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=． 另解：由对称性可知=2sin（x2+x1）+cos（x1+x2）， 由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1， 由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：． 16.【答案】（8，12） ‎ 解：抛物线的准线l：x=-2，焦点F（2，0）， 由抛物线定义可得|AF|=xA+2， ∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB-xA）+4=6+xB， 由抛物线y2=8x及圆（x-2）2+y2=16， 得交点的横坐标为2，∴xB∈（2，6）∴6+xB∈（8，12） ∴三角形ABF的周长的取值范围是（8，12）． 抛物线的准线l：x=-2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+2，可得△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB-xA）+4=6+xB，由抛物线y2=8x及圆（x-2）2+y2=16，解出交点坐标即可得出． 17.解：（1），=Sn-1+Sn-2，（n≥3）． 相减可得：，∵an＞0，an-1＞0，∴an-an-1=1，（n≥3）． n=2时，=a1+a2+a1，∴=2+a2，a2＞0，∴a2=2．因此n=2时，an-an-1=1成立． ∴数列{an}是等差数列，公差为1．∴an=1+n-1=n． （2）=（n-1）2+a（n-1）， ∵{bn}是递增数列，∴bn+1-bn=n2+an-（n-1）2-a（n-1）=2n+a-1＞0， 即a＞1-2n恒成立，∴a＞-1．∴实数a的取值范围是（-1，+∞）． ‎ ‎18.证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， ∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°， ∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C， ∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC； （2）设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得=， 又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1，∴（V-V1）：V1=1：1， ∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1． ‎ ‎19.解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…（1分） 第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18，…（2分） 第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9，…（3‎ 分） 第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9…（4分） 第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．…（5分） （Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1， 所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分） （Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种， 它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1）， （a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c）， （b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（10分） 其中第2组至少有1人的情况有9种， 它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1）， （a2，b2），（a2，b3），（a2，c）． 故所求概率为．…（12分） ‎ ‎20.解：（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2=16，圆心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|， 又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2， 所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 设其标准方程C：，则2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3， 所以曲线C：； （Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y=k（x-1）与椭圆方程， 消去y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则由韦达定理得①，②， 由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补， ​即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即，即 ‎，即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③， 把①、②代入③并化简得，即（t-4）k=0④， 所以当k变化时④成立，只要t=4即可，所以存在定点R（4，0）满足题设.‎ ‎21.解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得， 由条件可得，把x=-1代入x+y=2可得，y=1， ∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1， 故只需t3-t2-2at+2≤1，即对任意的上恒成立， 令，易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增， 而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为 ‎ ‎（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0， ∴g（x1）=g（x2）=0， ∴，，相加可得，相减可得， 由两式易得：；要证，即证明，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故ϕ（t）在（1，+∞）上是增函数，‎ ‎∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0，∴，故原不等式成立． ‎ ‎22.解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2-12t-5=0‎ ‎， 设A，B对应的参数分别为t1 和t2，则 t1+t2=，t1•t2 =．    所以|AB|=．  （Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（-2，2）， 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为．    所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=． ‎ ‎23..解：（I）不等式x+|x-2c|≥2的解集为R ⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2， ∵x+|x-2c|=，∴函数y=x+|x-2c|，在R上的最小值为2c，∴2c≥2⇔c≥1． 所以实数c的取值范围为[1，+∞）； （Ⅱ）证明：由（1）知p+q+r=3，又p，q，r是正实数， 所以（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=9， 即p2+q2+r2≥3．当且仅当p=q=r=1等号成立． ‎