2018-2019学年河北省石家庄市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版

2018-2019学年河北省石家庄市第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版

石家庄市第一中学 ‎2018—2019 学年度第一学期期中考试高二年级数学(文）试题 命题人：胡海芳 审核人：刘春香 第 I 卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上．‎ ‎1．已知集合 M = {x 3 - x > 0} ， N = {1, 2, 3, 4, 5} ，则 M I N = （ ）‎ A．{1, 2, 3} ‎B．{3, 4, 5} ‎C．{1, 2} ‎D．{4, 5} ‎2．已知命题 p : -1 < x < 2, q : log 2 x < 1, 则 p 是 q 成立的 ( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 uuur 1 uuuur ‎3．已知两点 M (3, 2 ) ， N (-5, -5) ， MP = MN ，则 P 点坐标是 （ ）‎ ‎2‎ A． ( -8,1) ‎B． (-1,- 3 )‎ ‎2‎ ‎C． (1, 3 )‎ ‎2‎ ‎D． (8, -1) ‎4. 直线 3x - ‎3 y + 1 = 0 的倾斜角是 ( )‎ A．30° B．60° C．120° D．135°‎ ‎5.a是一个平面， m, n 是两条直线， A 是一个点．若 m Ë a，‎ n Ì a ，且 A Î m ‎A Îa，则 m, n 的位置关系不可能是( )‎ A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 ‎6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 （ ）‎ A． 2 B．1 C． 4 D． 8‎ ‎3 3 3‎ ‎7．中国古代数学著作“算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意 为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的 一半，走了 6 天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为 （ ）‎ A. 24 里 B. 12 里 C. 6 里 D. 3 里 ‎8.函数 f ( x) = cos(wx +j)‎ ‎(w，j是常数，w> 0 ,‎ j < p )的部分图象如图所示，为得到函数 y = sinwx ‎2‎ 的图象,只需将函数 f ( x) 的图象 ( )‎ A．向右平移 2p 个长度单位 B．向右平移 p 个长度单位 C．向左平移 ‎3‎ p 个长度单位 D．向左平移 ‎6‎ ‎3‎ p 个长度单位 ‎3‎ ‎9. 若不等式 x 2 + 2 x < a + 16b 对任意 a, b Î (0,+¥) 恒成立，则实数 x 的取值 b a 范围是 （ ）‎ A. (-2,0)‎ ‎B. (-¥,-2) U (0,+¥)‎ ‎C. (-4,2)‎ ‎D. (-¥,-4) U (2,+¥)‎ ‎10.若aÎ æ p ,p ‎‎ ‎，且 3 cos 2a = 4 sin ‎æ p ö -a ‎‎ ‎，则 sin 2a 的值为 （ ）‎ ç 4 ÷ ‎ç 4 ÷ è ø è ø ‎7 7 1 1‎ A． B． - C． - D．‎ ‎9 9 9 9‎ ‎11.在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 (a2 + c2 - b2 ) tan B = ‎3ac ,‎ 则角 B 的值为 （ ）‎ p p A. B．‎ ‎6 3‎ ‎p 5p C． 或 ‎6 6‎ ‎p 2p D． 或 ‎3 3‎ ‎12．在三棱锥 A - BCD 中，底面 BCD 为边长为 2 的正三角形，顶点 A 在底面 BCD 上 的射影为 DBCD 的中心，若 E 为 BC 的中点，且直线 AE 与底面 BCD 所成角的正切值 为 2 2 ，则三棱锥 A - BCD 外接球的表面积为 ( )‎ A． 8p B．12p C． 6p D． 4p ‎3‎ 第 II 卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、填空题：本题共 4 小题，共 20 分.把正确答案填在答题卡上．‎ ì y £ 2，‎ í ‎13．若 x, y 满足约束条件 ï y ³ 2x - 1， ,则 z = x - y 的最大值为 ．‎ î ï x + y ³ -4．‎ ‎14． 函数 f ( x ) = sin x + cos æ x + pö 的值域为 .‎ ç 6 ÷ è ø ‎15．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的序号）．‎ ‎①已知 a, b Î R ，“ a > 1且b > 1 ”是“ ab > 1 ”的充要条件；‎ ‎②已知平面向量 a, b ，“ a > 1 且 b > 1 ”是“ a + b > 1 ”的必要不充分条件；‎ ‎③已知 a, b Î R ，“ a2 + b2 ³ 1 ”是“ a + b ³ 1 ”的充分不必要条件；‎ ‎0 0‎ ‎④命题 p：“ $x ‎Î R , e x0 ³ x ‎+ 1 ”的否定为 Øp ：“ "x Î R, e x < x + 1 ”．‎ ‎16. 若 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , × × ×, P10 ( x10 , y10 ) 是抛物线 y ‎= 2x 上的点，‎ 且 x1 + x2 + × × × + x10 = 10 ， F 是抛物线的焦点，则 P1F + P2 F + × × × + P10 F ‎= .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分 10 分）‎ 已知圆 O : x 2 + y 2 = 9 及点 C (2,1) ，过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P, Q 两点， 当 DOPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．‎ ‎18. (本小题满分 12 分）‎ 已知等差数列{an } 单调递增，首项 a1 = 1，且满足 a1 ， a3 - 1 ， a5 + 7 成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an } 的通项公式；‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）设 bn = an an +1‎ ‎，求数列{bn } 的前 n 项和Tn ．‎ ‎19．(本小题满分 12 分）‎ 在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a = 2b cos B ‎‎ ‎( b ¹ c ).‎ ‎（Ⅰ）证明： A = 2B ;‎ ‎（Ⅱ）若 a 2 + c 2 = b 2 + 2ac sin C ，求角 A .‎ ‎20.(本小题满分 12 分）‎ 四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， AB = 2, BC = PAB ^ 底面 ABCD ．‎ ‎2 , PA = PB ．侧面 ‎(Ⅰ)证明： PC ^ BD ；‎ ‎(Ⅱ)若三棱锥 P - BCD 的体积为 ‎21. (本小题满分 12 分）‎ ‎‎ ‎6‎ ‎，求点 C 到平面 PBD 的距离．‎ ‎3‎ 已知向量 a = (cos 3x , sin 3x ), b = (cos x ,- sin x ) ，函数 f ( x) = a × b - m a + b + 1 ，‎ ‎2 2 2 2‎ é p pù x Î ê- 3 , 4 ú, m Î R .‎ ë û p ‎(Ⅰ)当 m = 0 时，求 f (‎ ‎) 的值；‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）若 f ( x) 的最小值为 - 1 ，求实数 m 的值.‎ ‎22．(本小题满分 12 分）‎ ‎2 2‎ x y 已知椭圆 + a2 b2‎ ‎= 1(a > b > 0) 的离心率为 e = ‎3 ，连接椭圆的四个顶点得到的 ‎2‎ 菱形的面积为 4 ． (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ．已知点 A 的坐标为 (-a, 0) ，点 Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA × QB = 4 ．求 y0 的值．‎ 石家庄市第一中学 ‎2018—2019学年度第一学期期中考试高二年级数学(文)试题答案 一、 选择题：‎ C B B B D C C B C C D C 二、填空题：‎ ‎13．2 14． 15．③④ 16.15‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：当直线的斜率不存在时，的方程为，‎ 则，的坐标分别为，，‎ 所以. .......... 2分 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 则圆心到直线的距离为， .......... 4分 且，‎ 则 当且仅当，‎ 即时，取得最大值. ..........8分 因为，所以的最大值为，‎ 此时，由，‎ 解得或，‎ 则直线的方程为或. .......... 10分 18. ‎ 解：（Ⅰ） 因为 又，，成等比数列．‎ ‎∴，‎ 解得或，又因为等差数列单调递增，所以 ‎∴. ...........6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，.........8分 ‎ ..........12分 ‎19．解:(Ⅰ)证明:中,,  由,得,  …………2分 ，, , ,  或,  若,则,这与“”矛盾,  ;  …………6分 (Ⅱ) 由余弦定理得, …………8分 ‎， ,或 ,  ①当时,则这与“”矛盾,;  ②当时,由(Ⅰ)得, ‎ ‎ …………12分 ‎20.解：(Ⅰ)设中点为，连接，由已知，所以，‎ 而平面平面，交线为 故平面，从而 ①‎ 在矩形中，连接，设与交于，‎ 则由知，‎ 所以 所以，‎ 故 ②‎ 由①②知平面 所以． ..........6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)平面，连结，则,‎ ‎,, ............8分 ‎ 由已知条件得: ...........10分 ‎ ‎ ............12分 ‎21. 解：（Ⅰ）‎ 当时，，‎ 则； .........4分 ‎(Ⅱ)∵，∴，‎ 则， .......... 6分 令，则，则，对称轴，‎ ‎①当，即时，‎ 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），‎ ‎②当，即时，‎ 当时，函数取得最小值此时最小值，得，‎ ‎③当，即时，‎ 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），‎ 综上若的最小值为，则实数． ...........12分 22. 解：（Ⅰ）由，得，再由，得，.....2分 ‎ 由题意可知，即．解方程组，得，，‎ 所以椭圆的方程为． ............4分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，且直线的斜率必存在．设点的坐标为，‎ 直线的斜率为，则的方程为．‎ 于是，两点的坐标满足方程组 ‎ 由方程消去并整理，得． ‎ 由，得，从而．‎ 设线段的中点为， 则点的坐标为． ...........6分 以下分两种情况：‎ ‎①当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴，‎ 于是，． 由，得．.......8分 ‎②当时，线段的垂直平分线方程为 ‎．令，解得． ‎ 由，，‎ ‎，‎ 整理得．故， ......10分 所以． 综上，或. .......12分