2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2020 届湖南省怀化市高三上学期期末数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化简集合 ，由交集定义即可求解. 【详解】 或 ， . 故选:D 【点睛】 本题考查交集运算，属于基础题. 2．复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：由已知等式变形得 ，再利用复数的四则运算法则求出z 的代数 形式，再写出虚部． 详解：由 有 ，则 z 的虚部 为 ，故选 B. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题．若复 数 ，则复数的虚部为 ． 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ， ， 人，现用分 层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本，则应从高三年 级抽取的学生人数为 A． B． C． D． 【答案】B ( )( ){ }1 2 0|A x x x= + − ≥ { }|1 3B x x= < < A B = ( )1,3− ( )2,3 ( )1,2 [ )2,3 A ( )( ){ }1 2 0|A x x x= + − ≥ 1{ |x x= ≤ − 2}x ≥ A B = [ )2,3 z (1 )i z i− = i z 1 2 − 1 2 1 2 i− 1 2 i 1 = − iz i (1 )i z i− = (1 ) 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i i iz ii i i + − += = = = − +− − + 1 2 ( , )z a bi a b R= + ∈ b 900 900 1200 50 ( ) 15 20 25 30 【解析】试题分析：三个年级的学生人数比例为 ，按分层抽样方法，在高三年 级应该抽取人数为 人，故选 . 【考点】分层抽样. 4．过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程， 代入，即可求解. 【详解】 设所求的直线方程为 ， 代入方程解得 ， 所求的直线方程为 . 故选:B 【点睛】 本题考查两直线垂直时方程间的关系，属于基础题. 5．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡 只，兔 只， 则输出 的分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】B ( )1,3− 2 3 0x y− + = 2 7 0x y− + = 2 1 0x y+ − = 2 5 0x y− − = 2 5 0x y+ − = ( )1,3− 2 0x y c+ + = ( )1,3− 1c = − 2 1 0x y+ − = x y ,x y 12,23 23,12 13,22 22,13 【解析】由 开始验证 ，直到满足 ，退出循环体，输出 . 【详解】 , ； , ； ； , .退出循环，输出 . 故选:B 【点睛】 本题考查循环结构运行结果，属于基础题. 6．已知 ，在区间 任取一个实数 ，则使得 的概率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由几何概型概率求法，转化为 在 解的区间长度除以 区间长度. 【详解】 ， ，解得 ， 的概率为 . 故选:C 【点睛】 本题考查几何概型概率的求法，属于基础题. 7．如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是 1, 34x y= = S 94S = ,x y 1, 34x y= = 138S = 2, 33x y= = 136S =  23, 12x y= = 94S = 23, 12x y= = ( )f x sinx= ,3 π π −   x ( )0 1 2f x ≥ 1 4 3 4 1 2 7 8 ( )0 1 2f x ≥ ,3 π π −   ,3 π π −   ( )0 1 2f x ≥ ,3x π ∈ − π   5,6 6x π π ∈   ( )0 1 2f x ≥ 2 13 4 2 3 π π = A．2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B．与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C．2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D．2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 【答案】D 【解析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表 示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息。 【详解】 对于 A，从折线统计图可得，2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位依次为江苏、辽 宁、山东、河南、浙江，故浙江省排在第五， 对于 B，从折线统计图可得，与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量 实现了增长率都为正值，所以与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量 实现了增长， 对于 C，根据统计图可计算 2017 年同期河南省的 GDP 总量为 ，所以 2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元， 对于 D, 2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个，江苏、 河南， 综述只有 D 选项不正确， 故答案选 D 【点睛】 本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得 到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题 4067.4 3815.6 40001.066 ≈ < 8．已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，且 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 得出函数的周期为 4，以及 是定义在 上的奇函数， 将自变量-2019 可转化为 ，即可求解. 【详解】 ， 周期为 4，且 在 上的奇函数， . 故选:C 【点睛】 本题考查函数的性质在函数求值中的应用，属于基础题. 9．已知命题 ，使 ；命题 ，都有 .给出下列 结论： ①命题“ ”是真命题 ②命题“ ”是假命题 ③命题“ ”是真命题 ④命题“ ”是假命题 其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解析】先判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】 解：∵|sinx|≤1，∴：∃x∈R，使 sinx 错误，即命题 p 是假命题， ∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x∈R，都有 x2+x+1＞0 恒成立，即命题 q 是真命题， 则①命题“p∧q”是假命题；故①错误， ②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确， ③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确， ( )f x R ( ) ( )2f x f x+ = − 3 ,02x  ∈ −   ( ) ( )2 3 1f x log x= − + ( )2019f − = 4 2 2− 2 5log ( ) ( )2f x f x+ = − ( )f x R 3,02  −   ( ) ( )4 2 ( ( )) ( )f x f x f x f x+ = − + = − − = ( )f x∴ ( )f x R ( ) 22019 (1) ( 1) log 4 2f f f− = = − − = − = − :p x R∃ ∈ 5sin 2x = :q x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + > p q∧ p q∧ ¬ p q¬ ∨ p q¬ ∨ ¬ 5 2 = ④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题 p，q 的真假是解决本题 的关键． 10．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 三 点共线(该直线不过原点 )，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三点共线的充要条件得出 ，运用等差数列的前 项和公式， 以及等差数列序号和相等性质，即可求解. 【详解】 ，且 三点共线(该直线不过原点 )， ， . 故选:A 【点睛】 本题以三点共线为背景，考查数列的前 项和以及等差数列的性质，属于基础题. 11．若向量 ， ，函数 ，则 的 图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据向量数列积公式，求出 ，运用三角恒等变换公式，化简 ，结 合正弦函数的对称轴即特征可求解. 【详解】 ， 一条对称轴为 . { }na n nS 2 199OB a OA a OC= +   、 、A B C O 200S = 100 101 200 201 2 199 1a a+ = n 2 199OB a OA a OC= +   、 、A B C O 2 199 1a a∴ + = 1 200 200 2 199 200( ) 100 ( ) 1002 a aS a a += = × + = n sin , 32 xm  =     2cos ,cos2 2 x xn  =     ( )f x m n= ⋅  ( )f x 3x π= 6x π= 3x π= − 2x π= ( )f x ( )f x ( ) 2sin cos 3 cos2 2 2 x x xf x m n= ⋅ = +  1 3 3 3sin cos sin( )2 2 2 3 2x x x π= + + = + + ( )f x∴ 6x π= 故选:B 【点睛】 本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于 基础题. 12．对于函数 ，定义:设 是 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中 心.设函数 ，则 的 值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据拐点的定义，求出 对称中心，然后运用倒序相加法求值. 【详解】 ， ，令 ， 得 ，且 ， 关于点 对称， ， 故选:C 【点睛】 本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题. 二、填空题 ( ) 2 2 ( )0f x ax bx cx d a= + + + ≠ ( )f x′ ( )f x ( )f x′′ ( )f x′ ( )f x′′ 0x ( )( )0 0,x f x ( )y f x= ( ) 3 21 1 533 2 12g x x x x= − + − 1 2 2019 2020 2020 2020g g g     + +⋅⋅⋅+           2017 2018 2019 2020 ( )g x ( ) 2 3g x x x′ = − + ( ) 2 1g x x′′ = − ( ) 0g x′′ = 1 2x = 1 12g   =   ( )y g x∴ = 1 ,12      ( ) ( )1 2g x g x∴ + − = 1 2 2019 2020 2020 2020S g g g     = + +⋅⋅⋅+           2019 2018 1 2020 2020 2020S g g g     ∴ = + +⋅⋅⋅+           1 2019 2 2018 2019 12 2 20192020 2020 2020 2020 2020 2020S g g g g g g           ∴ = + + + +⋅⋅⋅+ + = ×                       2019S∴ = 13．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 __________． 【答案】 【解析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值. 【详解】 作出可行域，如下图所示： 当目标函数 过 时， 取最大值为 8. 故答案为: 【点睛】 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 14．函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线 上,其中 ,则 的最小值为____________________. 【答案】8. 【解析】根据对数函数的性质先求出 的坐标，代入直线方程可得 的关系，再利 用 1 的代换结合均值不等式求解即可． 【详解】 解： 时， ， ∴函数 的图象恒过定点 ， ∵点 在直线 上， ，即 ， ,x y 2 2 0 2 4 0, 1 0 x y x y x + − ≥  − + ≥  − ≤ 3 2z x y= + 8 3 2z x y= + 5(1, )2A z 8 log ( 3) 1( 1, 0)ay x a a= + − ≠ > A A 1 0mx ny+ + = 0, 0m n> > 1 2 m n + A ,m n 2x = − log 1 1 1ay = − = − log ( 3) 1( 1, 0)ay x a a= + − ≠ > ( 2, 1)A − − A 1 0mx ny+ + = 2 1 0m n∴− − + = 2 1m n+ = ， ， 当且仅当 时取等号． 故答案为：8 【点睛】 本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查 的重点内容． 15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒 中， 平面 ，且 ，则此鳖儒的外接球的表面积为 __________． 【答案】 【解析】利用四个面都是直角三角形， 平面 ，且 ，将 三棱锥补成以 为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为 1 的正方体的 外接球，即可求解. 【详解】 根据题意，将鳖儒 补成以 为棱的正方体， 边长为 1 的正方体的外接球半径为 ，其表面积为 . 故答案为: 【点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于 基础题. 16．如图，已知双曲线 上有一点 ,它关于原点的对称点为 ，点 为双曲线的右焦点，且满足 ,设 ,且 ,则该 0, 0m n> > 1 2 1 2 4 4(2 ) 2 2 4 2 8n m n mm nm n m n m n m n  ∴ + = + + = + + + ≥ + ⋅ ⋅ =   1 1,4 2m n= = ABCD AB ⊥ BCD 1AB BD CD= = = 3π AB ⊥ BCD 1AB BD CD= = = , ,AB BD CD ABCD , ,AB BD CD 3 2 3π 3π ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > A B F AF BF⊥ ABF α∠ = ,12 6 π πα  ∈   双曲线离心率 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】试题分析：设 是左焦点，由对称性得 ，设 ， ，则 ，又 ，因为 ， ，又 ，则 ． 又 ， ，∴ ， ，再由 ，得 ，即 ． 【考点】双曲线的定义，双曲线的性质． 【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，从已知与所求结论知要建立双曲线的离心率 与 的等量关系，由离心率的定义可退一步，建立 与 的关系，为此可把 的面积用两种方法求出，从而建立得出等式，一方面 ，另一方 面 ，其中 ， 是双曲线上点到焦点的距离，可由双曲线的定义 把它们与 建立联系，从而得解． 三、解答题 17．已知等比数列 是递减数列， . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据等比数列的性质，转化为解关于 的方程组，再结合 是递减 数列，求出公比，即可求得结论； e 2, 3 1 +  1F 1AF BF= 1AF BF= x= AF y= 2x y a− = OA OB OF c= = = AF BF⊥ 2 2 2 2(2 ) 4x y c c+ = = 2 2( ) (2 )x y a− = 2 22( )xy c a= − 2ABF OAFS S∆ ∆= 21 12 ( sin 2 )2 2xy c α= × 2 2 2 sin 2c a c α− = 2 2 2 1 1 sin 2 ce a α= = − ,12 6 π πα  ∈   2 2[2,( 3 1) ]e ∈ + [ 2, 3 1]e∈ + e α α , ,a b c ABF∆ 21 sin 22S c α= 1 2S AF BF= AF BF ,a c { }na 1 4 2 3 1 3,32 8a a a a= + = { }na ( ) 21n nb n log a= − + 1 nb       n nT 1 2n na = 1n nT n = + 2 3,a a { }na （2）求出 的通项，进而求出 通项，用裂项相消法，即可求解. 【详解】 解：(1)设等比数列 的公比为 ，则 解得 或 所以 或 ， 即 或 ，又为数列 是递减数列， 所以 ， ， 故数列 的通项公式为 . (2) ， 可得 即有前 项和 【点睛】 本题考查等比数列通项的基本量的计算，考查裂项相消法求数列的前 项和，属于中档 题. 18．已知 中，内角 所对边分别为 ，若 . (1)求角 的大小； (2)若 ， 求 的面积 S. { }nb 1 nb       { }na q 1 4 2 3 2 3 1 32 3 8 a a a a a a  = =  + = 2 3 1 8 ,1 4 a a  =  = 2 3 1 4 ,1 8 a a  =  = 2q = 1 2 1 1 16 2 a q  =  = 1 1 2 1 2 a q  =  = { }na 1 1 2a = 1 2q = { }na 1 2n na = ( ) ( )21 1n nb n log a n n= − + = + ( ) 1 1 1 1 1 1nb n n n n = = −+ + n 1 1 11 2 2 3 1 1 1n n nT      = − + − +⋅⋅⋅+       −   +  11 1 1 n n n = − =+ + n ABC , ,A B C , ,a b c ( )2 0a c cosB bcosC− − = B 2, 2 3b a c= + = ABC 【答案】(1) (2) 【解析】（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角 的三角函数值，进而求解； （2）由余弦定理求出 ，即可求出面积. 【详解】 解:(1) 由 可得: . 可得: . 可得 又由 得 又由 得 . (2)由余弦定理及已知得 . 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题. 19．如图四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 为 中点 (1)求证: 平面 ； (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 3B π= 2 3 3 B ac  ( )2 0a c cosB bcosC− − = ( )2sinA sinC cosB sinBcosC− = 2sinAcosB sinBcosC cosBsinC∴ = + ( )2sinAcosB sin B C sinA= + = ( )0, , 0A sinAπ∈ > ∴ 1 2cosB = (0, )B π∈ 3B π= (0, )B π∈ 3B π= ( )22 2 2 2 3b a c accosB a c ac= + − = + − 84 12 3 , 3ac ac∴ = − ∴ = 1 2 3 2 3S acsinB∴ = = P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2,PA AB E= = PD / /PB EAC C ABE- 2 3 【解析】（1）连接 交 于 ，运用中位线定理，可证 ，即可证结论； （2）利用 平面 ，用等体积法即可求解. 【详解】 证明: (1)连接 交 于 ， 底面 为正方形， 是 的中点， 为 中点， ， 又 面 ， 面 ， 面 ； (2) 平面 ，且 ，又 为 的中点， 到平面 的距离为 ，在正方形 中， ， . 【点睛】 本题考查线面平行的证明，考查用等体积法求三棱锥的体积，属于基础题. 20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行 方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 中设置了用户评价反馈系统， 以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出 条较为详细的评价 信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的 列联表如下: 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 对车辆状况不满意 合计 (1)能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间 有关系? (2)为了回馈用户，公司通过 向用户随机派送骑行券，用户可以将骑行券用于骑行 BD AC O / /OE PB PA ⊥ ABCD BD AC O  ABCD O∴ BD E PD / /OE PB EO ⊂ EAC PB ⊄ EAC / /PB∴ EAC AP ⊥ ABCD 2PA = E PD E∴ ABC 1 ABCD 2,AB BC= = 1 2 2 22ABCS = × × =  1 22 13 3C ABC E ABCV V− −∴ = = × × = APP 300 2 2× 150 50 200 60 40 100 210 90 300 0.001 APP 付费，也可以通过 转赠给好友某用户共获得了 张骑行券，其中只有 张是一元 券现该用户从这张骑行券中随机选取 张转赠给好友，求选取的 张中至少有 张是一 元券的概率. 附:下面的临界值表仅供参考: (参考公式: ，其中 ) 【答案】(1) 不能(2) 【解析】（1）根据列联表，以及 公式，即可求解判 断； （2）列出 张骑行券中随机选取 张的所有情况，确定出满足条件包含的个数，按古 典概型求概率的公式，即可求解. 【详解】 解(1).由 列联表的数据，有 因此，在犯错误的概率不超过 的前提下， 不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. (2) 张一元券分别记为 ，其 余张券分别记为 . 则从 张骑行券中随机选取 张的所有情况为: ， ， ， 共 种.记“选取的 张券中至少有 张是一元券”为事件 ，则事件 包含的基本事件个数为 ， . APP 5 2 2 2 1 ( )2 0P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 7 10 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 5 2 2 2× ( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 2300 6000 3000 200 100 210 90K n ad bc a b c d a c b d − −= =+ + + + × × × 50 7.143 10.8287 = ≈ < 0.001 2 ,A B 3 , ,a b c 5 2 ( ) ( ), , ,A B A a ( ),A b ( ) ( ) ( ) ( ),, , , , , ,A c B a B b B c ( ) ( ) ( ), , , , ,a b a c b c 10 2 1 M M 7 ( ) 7 10P M∴ = 【点睛】 本题考查独立性检验，考查古典概型概率，属于基础题. 21．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 的斜 率为 ，且原点到直线 的距离为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)若不经过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且与圆 相切.试探究 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明 理由. 【答案】(1) (2) 的周长为定值 . 【解析】（1）根据已知条件结合 ，即可求出标准方程； （2）直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得出 关系，直线与椭圆联立， 求出相交弦 长，再用两点间距离公式，求出 长，求出 的周长，即 可判定结论. 【详解】 解: (1)由题可知 ，则 ① 直线 的方程为 即 ，所以 ② 联立①②，解得 ，又 ， 所以椭圆 的标准方程式为 . (2)因为直线 与圆 相切， 所以 ，即 设 ，联立 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > F M FM 1− FM 6 3 C F ( ): 0, 0l y kx m k m= + < > C ,A B 2 2 1x y+ = ABF 2 2 13 x y+ = ABF 2 3 2 2 2a b c= + ,k m AB ,AF BF ABF ( ) ( ),0 , 0,F c M b 2 2 b c − = − FM 1x y a b + = 0bx xy bc+ − = 2 2 6 3 bc b c = + 1, 2b c= = 2 2 2 3a b c= + = C 2 2 13 x y+ = ( ): 0, 0l y kx m k m= + < > 2 2 1x y+ = 2 1 1 m k = + 2 21m k= + ( )1 1 2 2( ), , ,A x y B x y 2 2 13 x y y kx m  + =  = + 得 ， 所以 ， 则由根与系数的关系可得 所以 ， 又 所以 ， 因为 同理 ，所以 所以 的周长为定值 . 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查相交弦长以及焦点到椭圆上的点距离，考查计算能力， 属于较难题. 22．设函数 为常数) . (1)当 时，求曲线 在 处的切线方程: (2)若函数 在 内存在唯一极值点 ，求实数 的取值范围， 并判断 ，是 在 内的极大值点还是极小值点. 【答案】(1) (2) ， 为函数 的极小值点 【解析】（1）求出 ， ，即可求出切线方程； （2）转化为 在 有唯一解，分离参数，构造新函数，再转为直线与构造函数 的交点，通过求导研究所构造函数的性质，即可求解. 【详解】 解: (1)当 时， ， ( ) ( )2 2 23 1 6 3 1 0k x kmx m+ + + − = ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 236 12 3 1 1 12 3 1 24 0k m k m k m k= − + − = − + = > ( )2 1 2 1 22 2 3 16 ,3 1 3 1 mkmx x x xk k −−+ = =+ + ( )2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 16 2 3 11 4 3 13 1 3 1 3 1 mkm kAB k x x k mk k k  −− +   = + − = − ⋅ = + −   + + +    2 21m k= + 2 2 6 3 1 mkAB k = − + ( ) ( ) 22 22 1 1 1 1 1 62 2 1 33 3 xAF x y x x  = − + = − + − = −   2 63 3BF x= − ( )1 2 2 6 2 62 3 2 33 3 1 mkAF BF x x k + = − + = − + ABF 2 3 ( ) ( )ln (f x a x x a= − + 1a = ( )y f x= 1x = ( ) ( ) xeg x f x x = + ( )0,1 0x x= a 0x x= ( )f x ( )0,1 1y = − ( , )a e∈ +∞ 0x x= ( )g x (1)f ( )1f ′ ( )'g x ( )0,1 1a = ( )f x x lnx= − + ( ) ( )11 0f x xx ′ = − + > 所求切线的斜率 ，又 . 所以曲线 在 处的切线方程为 . (2) 又 ，则要使得 在 内存在唯一极值点， 则 在 存在唯一零点， 即方程 在 内存在唯一解， ， ，即 与 在 范围内有唯一交点. 设函数 ， 则 在 单调递减， 又 ；当 时， ， 时与 在 范围内有唯一交点，设为 当 时， ， 则 ， 在 为减函数: 当 时， ， 则 ， 在 为增函数. 即 为函数 的极小值点. 综上所述: ，且 为函数 的极小值点 【点睛】 本题考查导数的切线方程，考查利用导数研究函数的极值、零点、单调性以及图像变化 趋势，属于难题. ( )1 0f ′ = (1) 1f = − ( )y f x= 1x = 1y = − ( ) ( ) ( )( ) 2 2 11 1' 1 xx x e axe xg x ax x x − −⋅ −  = − − =   ( )0,1x∈ ( )f x ( )0,1 ( ) ( )( ) 2 1 ' 0 xx e ax g x x − − = = ( )0,1 0xe ax− = ( )0,1 xe ax∴ = xea x ∴ = ex y x = y a= ( )0,1 ( ) ( ), 0,1 xeh x xx = ∈ ( ) ( ) ( )2 1' 0, xx eh x h xx −= < ∴ ( )0,1 ( ) ( )1h x h e> = 0x → ( )g x → +∞ ( ),a e∴ ∈ +∞ y a= ( )0,1 0x ( )00,x x∈ ( ) , 0 x xeh x a e axx = > − > ( ) ( )( ) 2 1 ' 0 xx e ax g x x − − = < ( )g x ( )00, x ( )0 ,1x x∈ 0xe ax− < ( ) ( )( ) 2 1 ' 0 xx e ax g x x − − = > ( )g x ( )0 ,1x 0x x= ( )g x ( , )a e∈ +∞ 0x x= ( )g x