2013泉州3月份质检理数试卷

2013泉州3月份质检理数试卷

准考证号________________姓名________________ （在此卷上答题无效） 保密★启用前 泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检查 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第 21 题为选考题，其它题为必考题．本试 卷共 6 页，满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题 区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案 使用 0．5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式： 样本数据 1x 、 2x 、…、 nx 的标准差： 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ns x x x x x xn           ，其中 x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高； 锥体体积公式： 1 3V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高； 球的表面积、体积公式： 24S R ， 34 3V R ，其中 R 为球的半径． 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知集合 { | 0}A x x  ， 1{ | 2 4}2 xB x   ，则 A B 等于 A．{ | 1 2}x x   B．{ | 1 0}x x   C．{ | 1}x x  D．{ | 2 0}x x   2．若数列{ }na 是等差数列，且 3 7 4a a  ，则数列{ }na 的前9 项和 9S 等于 A． 27 2 B．18 C．27 D．36 3．已知椭圆C 的上、下顶点分别为 1B 、 2B ，左、右焦点分别为 1F 、 2F ，若四边形 1 1 2 2B F B F 是正方形， 则此椭圆的离心率e 等于 A． 1 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 3 2 4．已知 m 、 n 是两条不同的直线， 、  是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若 ,m n   ，且 m n ，则  B．若 // , //m n  ，且 //m n ，则 //  C．若 , //m n  ，且 m n ，则  D．若 , //m n  ，且 //m n ，则 //  5．定义区间[ , ]a b 的长度为b a .若 ,4 2       是函数 ( ) ( )( 0,| | )f x sin x        的一个长度最大 的单调递减区间，则 A． 8  , 2   B． 8  , 2    C． 4  , 2   D． 4  , 2    6．函数   lnsin 2 xf x x e  的图象的大致形状是 7．已知函数   1 1f x x   ，点O 为坐标原点，点    * nA n, f n n N . 若记直线 nOA 的倾斜角为 n ， 则 1 2 ntan tan tan      A． 1 n n  B． 1 1n  C． 1 n D． 1n n  8．已知 O 为坐标原点，  1,2A ，点 P 的坐标 ,x y 满足约束条件 1 0 x y x     ，则 z OA OP   的最大 值为 A． 2 B． 1 C．1 D．2 9．甲袋内装有 2 个红球和 3 个白球，乙袋内装有 1 个红球和 n ( )n N 个白球．现分别从甲、乙两袋中 各取 1 个球，若将事件“取出的 2 个球恰为同色”发生的概率记为  f n .则以下关于函数  f n ( )n N 的判断正确的是 A．  f n 有最小值，且最小值为 2 5 B．  f n 有最大值，且最大值为 3 5 C．  f n 有最小值，且最小值为 1 2 D．  f n 有最大值，且最大值为 1 2 10．对于定义域为 D 的函数  y f x 和常数 c ，若对任意正实数 ， ,x D  使得 0 | ( ) |f x c    恒 成立，则称函数  y f x 为“敛c 函数”．现给出如下函数： ①    f x x x Z  ； ②    1 12 x f x x Z      ； ③   2logf x x ； ④   1xf x x  . 其中为“敛 1 函数”的有 A．①② B．③④ C． ②③④ D．①②③ 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置． 11．已知i 是虚数单位，复数 ( 3 i)(1+ 3i)z   ，则复数 z 的实部为 ． 12．二项式 61x x     的展开式中常数项是 ． 13．定义域为{ | , 0}x x R x  的函数 ( )y f x 的导函数为 1y x  ，直线 : 0l x ey e   是曲线 ( )y f x 的一条切线，则函数 ( )y f x 的解析式为 .（e 是自然对数的底数） 14．已知直线  1 0, 0ax by a b    与圆 2 2 1x y  相切，若 1(0, )A b ， 2( ,0)B a ，则| |AB 的最小值 为 ． 15．图 1 是一个由 27 个棱长为 1 的小正方体组成的魔方，图 2 是由棱长为 1 的小正方体组成的 5 种简单组 合体. 如果每种组合体的个数都有 7 个，现从总共 35 个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼 成 1 个图 1 所示的魔方，则所需组合体的序号．．和相应的个数．．是 ．（提示回答形式，如 2 个①和 3 个②，只需写出一个正确答案） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 图 2 ① ③② ④ ⑤ 图 1 16．(本小题满分 13 分) 已知 A B、 分别在射线CM CN、 （不含端点C ）上运动， 2 3MCN   ，在 ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别是 a 、b 、 c ． （Ⅰ）若 a 、b 、 c 依次成等差数列，且公差为 2．求 c 的值； （Ⅱ）若 3c  ， ABC   ，试用  表示 ABC 的周长，并求周长的最大值． 17．(本小题满分 13 分) 甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为 t (cm)，相关行业质检部门规定：若 (2.9,3.1]t  ，则该零件为优等品；若 (2.8,2.9] (3.1,3.2]t   ，则该零件为中等品；其余零件为次 品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取 50 件，经质量检测得到下表数据： 尺寸 [2.7,2.8] (2.8,2.9] (2.9,3.0] (3.0,3.1] (3.1,3.2] (3.2,3.3] 甲机床零件频数 2 3 20 20 4 1 乙机床零件频数 3 5 17 13 8 4 （Ⅰ）设生产每件产品的利润为：优等品 3 元，中等品 1 元，次品亏本 1 元. 若将频率视为概率，试 根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望； （Ⅱ）对于这两台机床生产的零件，在排除其它因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估 计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由. 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      . 参考数据： 2 0( )P K k 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0.010 0k 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6.635 18．（本小题满分 13 分） 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， / /AD BC ， 1AD  ， 3BC  ， E 为 BC 上一点， 2BE EC ， 且 3DE  ．将梯形 ABCD 沿 DE 折成直二面角 B DE C  ，如图 2 所示． （Ⅰ）求证：平面 AEC  平面 ABED ； （Ⅱ）设点 A 关于点 D 的对称点为G ，点 M 在 BCE 所在平面内，且直线GM 与平面 ACE 所成的 角为60 ，试求出点 M 到点 B 的最短距离． 19．（本小题满分 13 分） 已知点 F 为抛物线C :  2 2 0y px p  的焦点，   4, 0M t t  为抛物线C 上的点，且 5MF  ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程和点 M 的坐标； （Ⅱ）过点 M 引出斜率分别为 1 2,k k 的两直线 1 2,l l ， 1l 与抛物线C 的另一交点为 A ， 2l 与抛物线C 的 另一交点为 B ，记直线 AB 的斜率为 3k ． （ⅰ）若 1 2 0k k  ，试求 3k 的值； （ⅱ）证明： 1 2 3 1 1 1 k k k   为定值． 20．（本小题满分 14 分） 已知函数    3 1 0nf x x nx x    ， n N  ． （Ⅰ）求函数  3f x 的极值； （Ⅱ）判断函数  nf x 在区间 , 1n n  上零点的个数，并给予证明； （Ⅲ）阅读右边的程序框图，请结合试题背景简要描述其算法功能，并求出执行框图所表达的算法后输 出的 n 值． 21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2 个小题作答，满分 14 分．如果多做， 则按所做的前两题记分．作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号 填入括号中． （1）（本小题满分 7 分）选修 4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中，把矩阵 1 02 0 1         B 确定的压缩变换 与矩阵 0 1 1 0      A 确定的 旋转变换 90R  进行复合，得到复合变换 90R   ． （Ⅰ）求复合变换 90R   的坐标变换公式； （Ⅱ）求圆 :C 2 2 1x y  在复合变换 90R   的作用下所得曲线C 的方程． （2）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 2 3 x t y t    （t 为参数）， P 、Q 分别为直线l 与 x 轴、 y 轴的交点，线段 PQ 的中点为 M ． （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标和直线OM 的 极坐标方程． （3）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲 已知不等式 2 1| x |  的解集与关于 x 的不等式 2 0x ax b   的解集相等． （Ⅰ）求实数 a ，b 的值； （Ⅱ）求函数 ( ) 3 5f x a x b x    的最大值，以及取得最大值时 x 的值． 2013 届泉州市普通中学高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法 与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分． 1． B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D 9 C． 10．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 4 分，满分 20 分. 11、 2 3 ； 12、15； 13、 ln 1x  ； 14、3； 15、4 个③和 1 个⑤. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．本小题主要考查三角函数的性质、两角和与差的三角函数公式、解三角形以及数列等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分 13 分． 解：（Ⅰ） a 、b 、c 成等差，且公差为 2，  4a c  、 2b c  .……………………………………1 分 又 2 3MCN   ， 1cos 2C   ，  2 2 2 1 2 2 a b c ab     ， …………………………4 分         2 2 24 2 1 2 4 2 2 c c c c c        ， 恒等变形得 2 9 14 0c c   ，解得 7c  或 2c  .………………………………5 分 又 4c  ， 7c  . ………………………………………6 分 （Ⅱ）在 ABC 中， sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB     ，………………8 分  3 22sin sinsin 33 AC BC        ， 2sinAC   ， 2sin 3BC       .  ABC 的周长  f  AC BC AB   2sin 2sin 33          1 32 sin cos 32 2          2sin 33        ，………11 分 又 0, 3     ， 2 3 3 3      , …………………………12 分 当 3 2     即 6   时，  f  取得最大值 2 3 ． ……………………13 分 17．本小题主要考查概率统计的基础知识和独立性检验、频率估计概率、样本估计总体等统计思想方法， 考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分 13 分． 解：（Ⅰ）设甲机床生产一件零件获得的利润为 X 元，它的分布列为 ………………………………………………………………3 分 则有 ( )E X =3×0.8+1×0.14+（-1）×0.06=2.48（元）. 所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为 2.48 元. ………6 分 （Ⅱ）由表中数据可知：甲机床优等品 40 个，非优等品 10 个；乙机床优等品 30 个，非优等品 20 个. 制作 2×2 列联表如下: 甲机床 乙机床 合计 优等品 40 30 70 非优等品 10 20 30 合计 50 50 100 ……9 分 计算 2K = 2100(40 20 30 10) 100 4.76250 50 70 30 21        .…………………………11 分 考察参考数据并注意到3.841 4.762 5.024  ，可知：对于这两台机床生产的零件，在排 除其它因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有 95%的把握认为“零件优等与 否和所用机床有关”． ………………………………13 分 18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、函数等基础知识，考 查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程 X 3 1 1 P 0.8 0.14 0.06 思想及应用意识. 满分 13 分. 解：（Ⅰ）在图 1 中，由平几知识易得 DE BC ，……1 分 在图 2 中，∵ ,DE BE DE CE  ， ∴ BEC 是二面角 B DE C  的平面角，…………………………………………2 分 ∵二面角 B DE C  是直二面角，∴ BE CE . ……………………………3 分 ∵ DE BE E ， ,DE BE  平面 ABED ， CE  平面 ABED ， ………4 分 又CE  平面 AEC ，平面 AEC  平面 ABED ． ……………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 , ,DE BE CE 两两互相垂直， 以 E 为原点，分别以 , ,EB EC ED 为 , ,x y z 轴，建立空间直角坐标系 E xyz ，如图所示． …6 分 则 (0,0,0)E ， (1,0, 3)A ， (2,0,0)B ， (0,1,0)C ， (0,0, 3)D ， ( 1,0, 3)G  , (1,0, 3)EA  ， (0,1,0)EC  . 设平面 ACE 的一个法向量为 ( , , )n x y z ， 则 0 0 EA n EC n          ，即 3 0 0 x z y     . 取 3x  ，得 ( 3,0, 1)n   .………………8 分 设 ( , ,0)M x y ，则 ( 1, , 3)GM x y   . 直线GM 与平面 ACE 所成的角为 60 ， | | sin 60 | | | | GM n GM n         ，……………………………………………………10 分 即 2 2 | 3( 1) 3 | 3 22 ( 1) 3 x x y        ，化简得 2 2y x ，……………………………11 分 从而有 2 2 2| | ( 2) ( 2) 2MB x y x x      2 22 4 ( 1) 3x x x      ，…………12 分 所以，当 1x  时，| |MB 取得最小值 3 . 即点 M 到点 B 的最短距离为 3 ．…………………………………………13 分 19．本题主要考查抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考 查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分 13 分． 解：（Ⅰ）方法一：∵ 5 4 2 pMF    ，∴ 2p  ，…………………………………………2 分 x y z A B C E D A B C D E 图 1 F 图 2 ∴抛物线C ： 2 4y x ．…………………………………………………3 分 又   4, 0M t t  在抛物线C 上， ∴ 2 4 4 16 4t t     ．∴  4,4M ．…………………………………4 分 方法二：∵   4, 0M t t  为抛物线C 上的点，∴ 2 8t p …①. …1 分 ∵抛物线C :  2 2 0y px p  的焦点 F 坐标为 ( ,0)2 p ，且 5MF  ， ∴ 2 2(4 ) 252 p t   …②． …3 分 联立①②解得 2, 4( 0)p t t   ， ∴抛物线C 的方程为 2 4y x ，点 M 的坐标为  4,4 . …4 分 （Ⅱ）（ⅰ）设直线  1 1: 4 4l y k x   ， ∵ 1l 与抛物线C 交于 M 、 A 两点，∴ 1 0k  .………………5 分 由  1 2 4 4 4 y k x y x      得： 2 1 14 16 16 0k y y k    ，………………6 分 设  1 1,A x y ，则 1 1 1 1 1 44 16 164 y k ky k       ，……………………………7 分 ∴  2 11 1 1 2 1 1 4 14 4 , kky xk k   ，即  2 1 1 2 1 1 4 1 4 4,k kA k k       .………………8 分 同理可得  2 2 2 2 2 2 4 1 4 4,k kB k k       .…………………………………………9 分 1 2 2 10,k k k k     ，  2 1 1 2 1 1 4 1 4 4,k kB k k       . ∴     1 1 1 1 3 2 2 1 1 2 1 4 4 4 4 1 24 1 4 1AB k k k kk k k k k          ．………………10 分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知          1 2 1 2 2 11 2 3 2 1 2 1 2 2 11 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4 24 1 1 .1 4 1 12 2 k k k k k kk kk k k k k k kk k k k k k k k k k k k               13 2 1 1 21 k kk    ， 1 2 3 1 1 1 2k k k    ，即证得 1 2 3 1 1 1 k k k   为定值．……………13 分 20．本题主要考查函数、导数、零点、算法初步等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函 数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分 14 分． 解：（Ⅰ）∵   3 3 3 1f x x x   ，   2 3 3 3f x x   ，……………1 分 当 1x  时，  3 0f x  ；当0 1x  时，  3 0f x  .……………3 分 当 1x  时，  3f x 取得唯一的一个极小值 3 ，无极大值.……………………………4 分 （Ⅱ）函数  nf x 在区间 , 1n n  上有且只有一个零点. ……………5 分 证明如下： ∵    3 1 1 0nf n n n n      ，    3 1 1 1 1 1 1 0nf n n n n n          ，    1 0n nf n f n   ， 函数  nf x 在区间 , 1n n  上必定存在零点. …………………………6 分 ∵   23nf x x n   ，当  , 1x n n  时，   23( ) 2 0nf x n n n     ，   nf x 在区间 , 1n n  上单调递增， ………………………8 分 ∴函数  nf x 在区间 , 1n n  上的零点最多一个. ………………………9 分 综上知：函数  nf x 在区间 , 1n n  上存在唯一零点． （Ⅲ）程序框图的算法功能：找出最小的正整数 n ,使 ( )nf x 的零点 na 满足 1 2 n n n a   . ………………………10 分 ∵ 3 1 1 1 12 2 2n n n n n n nf n                      3 1 18 n n   ， 当 0 3n  时， 1 0 ( )2n n n n nf f a         ； 当 4n  时， 1 0 ( )2n n n n nf f a         . ……11 分 又  nf x 在区间 , 1n n  上单调递增， 当 3n  时， 1 2 n n n a   ；当 4n  时， 1 2 n n n a   .……………13 分 输出的 n 值为 4． …………………………………………………………………14 分 21．（1）（本小题满分 7 分）选修 4—2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分 7 分. 解：（Ⅰ）复合变换 90R   对应的矩阵为 0 1 1 0      AB 1 0 102 1 00 1 2                ，…………3 分 所以，复合变换 90R   的坐标变换公式为 1 2 x y y x      . ……………4 分 （Ⅱ）设圆C 上任意一点 ( , )P x y 在变换 90R   的作用下所得的点为 ( , )P x y   ， 由（Ⅰ）得 1 2 x y y x      ，即 2x y y x     ，………………………………………5 分 代入圆 :C 2 2 1x y  ，得 2 2(2 ) ( ) 1y x    ， 所以，曲线C 的方程是 2 24 1x y  ．………………………………………7 分 （2）（本小题满分 7 分）选修 4—4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想.满 分 7 分. （Ⅰ）由 2 , 3 x t y t    ，得 3 2 3 0x y   ， 直线l 的平面直角坐标方程为 3 2 3 0x y   . ……………………………3 分 （Ⅱ）当 0y = 时， 2x = ，点 P 的直角坐标为(2,0) ； 当 0x = 时， 2 3y = ， 点Q 的直角坐标为 (0,2 3) ． 线段 PQ 的中点 M 的直角坐标为 (1, 3) ， ∵ 2 21 ( 3) 2    和 3tan 31    ，且 1 0, 3 0x y    ，………5 分 ∴ M 的极坐标为 (2, )3 p ， ……………………………………………………6 分 直线OM 的极坐标方程为： ( )3 Rpq r= Î ． …………………………………7 分 （3）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力， 考查函数与方程思想.满分 7 分. （Ⅰ）∵不等式 2 1| x |  的解集为{ | 1 3}x x x 或 ，……………………1 分 ∴不等式 2 0x ax b   的解集为{ | 1 3}x x x 或 . 从而1,3为方程 2 0x ax b   的两根，………………………………………2 分 1 0 9 3 0 a b a b       ， 解得： 4, 3a b  ．…………………………………………………………………3 分 （Ⅱ）函数 ( )f x 的定义域为 ]5,3[ ，且显然有 0y ， 由柯西不等式可得： 4 3 3 5y x x    2 2 2 24 3 ( 3) ( 5 ) 5 2x x       ，……………5 分 当且仅当 3354  xx 时等号成立， ………………………………………6 分 即 25 107x 时，函数取得最大值 25 ．………………………………………………7 分