2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）

‎2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（　　）‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　）‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC ‎11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　）‎ A．﹣ B． C． D．1‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　 　．‎ ‎14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=‎ x，则a=　 　．‎ ‎15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=　 　．‎ ‎16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，‎ ‎∴A∩B={2，4}，‎ ‎∴A∩B中元素的个数为2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（　　）‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：‎ 月接待游客量逐月有增有减，故A错误；‎ 年接待游客量逐年增加，故B正确；‎ 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；‎ 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．‎ ‎【解答】解：∵sinα﹣cosα=，‎ ‎∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，‎ ‎∴sin2α=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2] D．[0，3]‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．‎ ‎【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：‎ 目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，‎ 由解得A（0，3），‎ 由解得B（2，0），‎ 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，‎ 目标函数的取值范围：[﹣3，2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）‎ ‎=sin（x+）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．‎ ‎【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，‎ 则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，‎ 当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．‎ ‎【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，‎ 要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，‎ 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，‎ 要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，‎ 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，‎ 要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，‎ 此时N的最小值为2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）‎ A．π B． C． D．‎ ‎【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积．‎ ‎【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，‎ ‎∴该圆柱底面圆周半径r==，‎ ‎∴该圆柱的体积：V=Sh==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　）‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC ‎【分析】法一：连B1C，推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而BC1⊥平面A1ECB1，由此得到A1E⊥BC1．‎ 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．‎ ‎【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，‎ ‎∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，‎ ‎∴A1B1⊥BC1，‎ ‎∵A1B1∩B1C=B1，‎ ‎∴BC1⊥平面A1ECB1，‎ ‎∵A1E⊂平面A1ECB1，‎ ‎∴A1E⊥BC1．‎ 故选：C．‎ 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，‎ 则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），‎ ‎=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），‎ ‎=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），‎ ‎∵•=﹣2，=2，=0，=6，‎ ‎∴A1E⊥BC1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．‎ ‎【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，‎ ‎∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．‎ ‎∴椭圆C的离心率e===．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　）‎ A．﹣ B． C． D．1‎ ‎【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+‎ ‎）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．‎ ‎【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0，‎ 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解，‎ 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点．‎ ‎①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；‎ ‎②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，‎ 且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，‎ 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），‎ 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；‎ ‎③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，‎ 且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，‎ 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），‎ 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；‎ 综上所述，a=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=　2　．‎ ‎【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，‎ ‎∴=﹣6+3m=0，‎ 解得m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=　5　．‎ ‎【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．‎ ‎【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，‎ 可得，解得a=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=　75°　．‎ ‎【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可 ‎【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，‎ ‎∴sinB==，‎ ‎∵b＜c，‎ ‎∴B=45°，‎ ‎∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，‎ 故答案为：75°．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题 ‎　‎ ‎16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　（，+∞）　．‎ ‎【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣，‎ 则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，‎ 此时＜x≤0，‎ 当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，‎ 当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，‎ 当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，‎ 此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，‎ 综上x＞，‎ 故答案为：（，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和．‎ ‎【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．‎ ‎（2）==﹣．利用裂项求和方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．‎ ‎∴（2n﹣1）an=2．∴an=．‎ 当n=1时，a1=2，上式也成立．‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）==﹣．‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[‎ ‎20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．‎ ‎（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，‎ 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54，‎ 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．‎ 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，‎ 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，‎ 如果最高气温低于20，需求量为200瓶，‎ ‎∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p==．‎ ‎（2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，‎ Y=450×2=900元，‎ 当温度在[20，25）°C时，需求量为300，‎ Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元，‎ 当温度低于20°C时，需求量为200，‎ Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元，‎ 当温度大于等于20时，Y＞0，‎ 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C的天数有：‎ ‎90﹣（2+16）=72，‎ ‎∴估计Y大于零的概率P=．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．‎ ‎（2）法一：连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，‎ ‎∵△ABC是正三角形，AD=CD，‎ ‎∴DO⊥AC，BO⊥AC，‎ ‎∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，‎ ‎∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．‎ 解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，‎ ‎∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，‎ 设AD=CD=，则OC=OA=1，EC=EA，‎ ‎∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，‎ ‎∴EC=EA==CD，‎ ‎∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=，‎ 由余弦定理得：‎ cos∠CBD==，‎ 即，解得BE=1或BE=2，‎ ‎∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，‎ ‎∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，‎ ‎∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，‎ ‎∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．‎ 法二：设AD=CD=，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，‎ ‎∴BO==，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，‎ 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），‎ 设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），‎ ‎∴=（1，），=（﹣1，），‎ ‎∵AE⊥EC，∴=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，‎ 由λ∈[0，1]，解得，∴DE=BE，‎ ‎∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，‎ ‎∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，‎ ‎∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．‎ ‎【点评】‎ 本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎【分析】（1）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；‎ ‎（2）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，‎ 可设A（x1，0），B（x2，0），‎ 由韦达定理可得x1x2=﹣2，‎ 若AC⊥BC，则kAC•kBC=﹣1，‎ 即有•=﹣1，‎ 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，‎ 故不出现AC⊥BC的情况；‎ ‎（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），‎ 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，‎ 可得D=m，F=﹣2，‎ 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，‎ 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，‎ 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，‎ 另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），‎ 则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，‎ 即有2=|OH|，‎ 再令x=0，可得y2+y﹣2=0，‎ 解得y=1或﹣2．‎ 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），‎ 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．‎ ‎【分析】（1）题干求导可知f′（x）=（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．‎ ‎【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，‎ 求导f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0），‎ ‎①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣．‎ 因为当x∈（0，﹣）f′（x）＞0、当x∈（﹣，+∞）f′（x）＜0，‎ 所以y=f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减．‎ 综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；‎ ‎（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减，‎ 所以当x=﹣时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）．‎ 从而要证f（x）≤﹣﹣2，即证f（﹣）≤﹣﹣2，‎ 即证﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）≤﹣﹣2，即证﹣（﹣）+ln（﹣）≤﹣1+ln2．‎ 令t=﹣，则t＞0，问题转化为证明：﹣t+lnt≤﹣1+ln2．…（*） ‎ 令g（t）=﹣t+lnt，则g′（t）=﹣+，‎ 令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0，‎ 所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，‎ 即g（t）≤g（2）=﹣×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，‎ 所以当a＜0时，f（x）≤﹣﹣2成立．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2‎ 的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x2﹣y2=4；‎ ‎（2）将l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点M的极径为ρ=．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），‎ ‎∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；‎ 又直线l2的参数方程为，（m为参数），‎ 同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；‎ 联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；‎ ‎（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，‎ ‎∴其普通方程为：x+y﹣=0，‎ 联立得：，‎ ‎∴ρ2=x2+y2=+=5．‎ ‎∴l3与C的交点M的极径为ρ=．‎ ‎【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，‎ ‎∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；‎ 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，‎ 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．‎ 由（1）知，g（x）=，‎ 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，‎ ‎∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；‎ 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），‎ ‎∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；‎ 当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，‎ ‎∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；‎ 综上，g（x）max=，‎ ‎∴m的取值范围为（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．‎ ‎　‎