2012年湖南省高考数学试卷（文科）

2012年湖南省高考数学试卷（文科）

‎2012年湖南省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）‎ ‎1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（　　）‎ A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}‎ ‎2．（5分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（　　）‎ A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i ‎3．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎4．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎6．（5分）已知双曲线C：‎ 的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．（5分）设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：‎ ‎①＞；‎ ‎②ac＜bc； ‎ ‎③logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．‎ 其中所有的正确结论的序号（　　）‎ A．① B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎8．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题（共7小题，满分30分）（10-11为选做题，两题任选一题，12-16为必做题）‎ ‎10．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=　　．‎ ‎11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃～63℃．精确度要求±1℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为　　．‎ ‎12．（5分）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为　　．‎ ‎13．（5分）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为　　．‎ ‎（注：方差+…+，其中为x1，x2，…，xn的平均数）‎ ‎14．（5分）如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=　　．‎ ‎15．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=　　．‎ ‎16．（5分）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，ai=1，当0≤i≤k﹣1时，ai为0或1．定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0．‎ ‎（1）b2+b4+b6+b8=　　；‎ ‎（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎17．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件以上 顾客数（人）‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间（分钟/人 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎20．（13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．‎ ‎21．（13分）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．‎ ‎22．（13分）已知函数f（x）=ex﹣ax，其中a＞0．‎ ‎（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；‎ ‎（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．‎ ‎　‎ ‎2012年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）‎ ‎1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（　　）‎ A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}‎ ‎【分析】集合M与集合N的公共元素，构成集合M∩N，由此利用集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，能求出M∩N．‎ ‎【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，‎ ‎∴M∩N={0，1}，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•湖南）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（　　）‎ A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i ‎【分析】由z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，能求出复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数．‎ ‎【解答】解：∵z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，‎ ‎∴复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．‎ ‎【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项 ‎【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；‎ 若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；‎ 故选C ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．‎ ‎【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；‎ 对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；‎ 对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；‎ 对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，‎ ‎∴a2+b2=25，=1，‎ ‎∴b=，a=2‎ ‎∴双曲线的方程为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•湖南）设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：‎ ‎①＞；‎ ‎②ac＜bc； ‎ ‎③logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．‎ 其中所有的正确结论的序号（　　）‎ A．① B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎【分析】利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=xc的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．‎ ‎【解答】解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；‎ ‎②考查幂函数y=xc，∵c＜0∴y=xc在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则ac＜bc正确；‎ ‎③当a＞b＞1时，有logb（a﹣c）＞logb（b﹣c）＞loga（b﹣c）；正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•湖南）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB ‎【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB 把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×‎ 整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0‎ ‎∴AB=3‎ 作AD⊥BC垂足为D Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=，‎ 即BC边上的高为 故选B ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•湖南）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．8‎ ‎【分析】根据x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，‎ ‎∴x∈（0，），函数单调减，x∈（，π），函数单调增，‎ ‎∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，‎ 在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f（x）草图象如下，‎ 由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为4个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（共7小题，满分30分）（10-11为选做题，两题任选一题，12-16为必做题）‎ ‎10．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=　　．‎ ‎【分析】根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，‎ ‎∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）‎ ‎∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2‎ ‎∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上 ‎∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上 解得a=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎11．（2012•湖南）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃～63℃．精确度要求±1℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为　7　．‎ ‎【分析】由题知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点，由分数法的最优性定理可得结论．‎ ‎【解答】解：由已知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点 由分数法的最优性定理可知F8=33，即通过7次试验可从这33个分点中找出最佳点．‎ 故答案为：7．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•湖南）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为　{x|2≤x≤3}　．‎ ‎【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．‎ ‎【解答】解：不等式x2﹣5x+6≤0，‎ 因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）≤0，‎ 可化为：或，‎ 解得：2≤x≤3，‎ 则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}．‎ 故答案为：{x|2≤x≤3}．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•湖南）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为　6.8　．‎ ‎（注：方差+…+，其中为x1，x2，…，xn的平均数）‎ ‎【分析】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．‎ ‎【解答】解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11‎ ‎∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]‎ ‎=[9+4+1+4+16]‎ ‎=6.8‎ 故答案为：6.8．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=　4　．‎ ‎【分析】计算循环中x，与i的值，当x＜1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．‎ ‎【解答】解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，‎ 第1次循环，i=2，x=2.5，‎ 第2次判断后循环，i=3，x=1.5，‎ 第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=　18　．‎ ‎【分析】设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求 ‎【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO ‎∵AP⊥BD，AP=3，‎ 在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3‎ ‎∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，‎ 由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18‎ 故答案为：18‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•湖南）对于n∈N*，将n表示为n=+…+，当i=k时，ai=1，当0≤i≤k﹣1时，ai为0或1．定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0．‎ ‎（1）b2+b4+b6+b8=　3　；‎ ‎（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是　2　．‎ ‎【分析】（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；‎ ‎（2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak﹣1…a1a0）2，则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a0=000时，cm=2；当a2a1a0=001时，cm=0；当a2a1a0=010时，cm ‎=1；当a2a1a0=011时，cm=0；当a2a1a0=100时，cm=2；当a2a1a0=101时，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，cm=2；当末位有奇数个1时，cm=1；当末位有偶数个1时，cm=0，由此可得cm的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1‎ ‎∴b2+b4+b6+b8=3‎ ‎（2）设{bn}中第m个为0的项为bi，即bi=0，构造二进制数（i）10=（akak﹣1…a1a0）2，则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0=000时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；‎ 当a2a1a0=001时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=010时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当a2a1a0=011时，bi+1=0，cm=0；当a2a1a0=100时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当a2a1a0=101时，bi+1=0，cm=0；当a0=0，前面有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1； 当a0=0，前面有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=1，bi+3=0，cm=2；当末位有奇数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=1；当末位有偶数个1时，bi+1=1，bi+2=0，cm=0；故cm的最大值为2．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件以上 顾客数（人）‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间（分钟/人 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1‎ ‎：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；‎ 顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9（分钟）；‎ ‎（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；‎ A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；‎ 将频率视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=‎ ‎∴P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.15+0.3+0.25=0.7‎ ‎∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•湖南）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．‎ ‎【分析】（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（‎ ‎，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；‎ ‎（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间 ‎【解答】解：（I）由图象可知，周期T=2（﹣）=π，∴ω==2‎ ‎∵点（，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0‎ ‎∴sin（+φ）=0，∴+φ=π+kπ，即φ=kπ+，k∈z ‎∵0＜φ＜‎ ‎∴φ=‎ ‎∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2‎ ‎∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）‎ ‎（II）g（x）=2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）‎ ‎=2sin2x﹣2（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x ‎=2sin（2x﹣）‎ 由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈z 得kπ﹣≤x≤kπ+‎ ‎∴函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎【分析】（1）由PA⊥平面ABCD，AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC，从而证得BD⊥PC；‎ ‎（2）设AC∩BD=O，连接PO，由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，于是∠DPO=30°，从而有PD=2OD，于是可证得△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而可求得梯形ABCD的高，继而可求SABCD，VP﹣ABCD．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD；‎ 又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，‎ ‎∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，‎ ‎∴∠DPO=30°，‎ 由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，‎ ‎∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，‎ 于是SABCD=×（4+2）×3=9．‎ 在等腰三角形AOD中，OD=AD=2，‎ ‎∴PD=2OD=4，PA==4，‎ ‎∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×9×4=12．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2012•湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出an+1与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可求得a1=2000（1+50%）﹣d，a2=a1（1+50%）﹣d=，…从而归纳出an+1=an﹣d．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an﹣1﹣d=（an﹣2﹣d）﹣d=…=a1﹣d[1+++…+]，利用等比数列的求和公式可求得an=（3000﹣3d）+2d，再结合题意am=4000，‎ 即可确定企业每年上缴资金d的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得：a1=2000（1+50%）﹣d=3000﹣d，‎ a2=a1（1+50%）﹣d=a1﹣d=4500﹣d，‎ ‎…‎ an+1=an（1+50%）﹣d=an﹣d．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=an﹣1﹣d ‎=（an﹣2﹣d）﹣d ‎=an﹣2﹣d﹣d ‎=…‎ ‎=a1﹣d[1+++…+]‎ 整理得：an=（3000﹣d）﹣2d[﹣1]‎ ‎=（3000﹣3d）+2d．‎ 由题意，am=4000，即（3000﹣3d）+2d=4000．‎ 解得d==，‎ 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2012•湖南）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．‎ ‎【分析】（Ⅰ）确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切，可得 ‎，同理可得，从而k1，k2是方程的两个实根，进而，利用，即可求得点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）‎ 设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，‎ ‎∵，∴a=4，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=12‎ ‎∴椭圆E的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y﹣y0=k1（x﹣x0）‎ l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且k1k2=‎ 由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得 ‎∴‎ 同理可得 从而k1，k2是方程的两个实根 所以①，且 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴x0=﹣2或 由x0=﹣2得y0=±3；由得满足①‎ 故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（）或（）‎ ‎　‎ ‎22．（13分）（2012•湖南）已知函数f（x）=ex﹣ax，其中a＞0．‎ ‎（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；‎ ‎（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．‎ ‎【分析】（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a﹣alna，令g（t）=t﹣tlnt，对其求导可得g′（t）=﹣lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a﹣alna≥1成立，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=﹣a，令φ（x）=f′（x）﹣k=ex﹣，可以求出φ（x1）与φ（x2）的值，令F（t）=et﹣t﹣1，求导可得F′（t）=et﹣1，‎ 分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0，进而讨论可得φ（x1）＜0、φ（x2）＞0，结合函数的连续性分析可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣a，‎ 令f′（x）=0，解可得x=lna；‎ 当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a﹣alna，‎ 对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a﹣alna≥1，①‎ 令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，‎ 当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜‎ ‎0，g（t）单调递减，‎ 故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，‎ 因此当且仅当a=1时，①式成立，‎ 综上所述，a的取值的集合为{1}．‎ ‎（2）根据题意，k==﹣a，‎ 令φ（x）=f′（x）﹣k=ex﹣，‎ 则φ（x1）=﹣[﹣（x2﹣x1）﹣1]，‎ φ（x2）=[﹣（x1﹣x2）﹣1]，‎ 令F（t）=et﹣t﹣1，则F′（t）=et﹣1，‎ 当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增，‎ 则F（t）的最小值为F（0）=0，‎ 故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0，‎ 从而﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，且＞0，则φ（x1）＜0，‎ ‎﹣（x1﹣x2）﹣1＞0，＞0，则φ（x2）＞0，‎ 因为函数y=φ（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈（x1，x2），使φ（x0）=0，‎ 即f′（x0）=K成立．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；吕静；xize；刘长柏；minqi5；庞会丽；qiss；wfy814；danbo7801（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日