2009年辽宁省高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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文档介绍

2009年辽宁省高考数学试卷(理科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

‎2009年辽宁省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题 ‎1. 已知集合M={x|-30‎,V=S-T B.A<0‎,V=S-T C.A>0‎,V=S+T D.A<0‎,V=‎S+T ‎11. 正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为( )‎ A.‎1:1‎ B.‎1:2‎ C.‎2:1‎ D.‎‎3:2‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 ‎12. 若x‎1‎满足‎2x+‎2‎x=5‎,x‎2‎满足‎2x+2log‎2‎(x-1)=5‎,x‎1‎‎+x‎2‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎5‎‎2‎ B.‎3‎ C.‎7‎‎2‎ D.‎‎4‎ 二、填空题 ‎13. 某企业有‎3‎个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为‎1:2:1‎,用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从‎3‎个分厂生产的电子产品中共抽取‎100‎件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为‎980h,‎1020h,‎1032h,则抽取的‎100‎件产品的使用寿命的平均值为________h.‎ ‎14. 等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn,且‎6S‎5‎-5S‎3‎=5‎,则a‎4‎‎=‎________.‎ ‎15. 设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为 ‎4‎ m‎3‎.‎ ‎16. 已知F是双曲线x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎12‎=1‎的左焦点,A(1, 4)‎,P是双曲线右支上的动点,则‎|PF|+|PA|‎的最小值为________.‎ 三、解答题(共8小题,满分70分)‎ ‎17. 如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为‎75‎‎∘‎,‎30‎‎∘‎,于水面C处测得B点和D点的仰角均为‎60‎‎∘‎,AC=0.1 km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到‎0.01 km,‎2‎‎≈1.414‎,‎6‎‎≈2.449‎)‎ ‎18. 如图,已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.‎ ‎(1)若平面ABCD⊥‎平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;‎ ‎(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 ‎19. (‎2016‎·成都二诊)某人向一目标射击‎4‎次,每次击中目标的概率为‎1‎‎3‎.该目标分为‎3‎个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为‎1:3:6‎,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.‎ 设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;‎ 若目标被击中‎2‎次,A表示事件“第一部分至少被击中‎1‎次或第二部分被击中‎2‎次”,求P(A)‎.‎ ‎20. (西安中学四模)已知,椭圆C过点A(1,‎3‎‎2‎)‎,两个焦点为‎(-1, 0)‎,‎(1, 0)‎.‎ 求椭圆C的方程;‎ E‎,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎1‎‎2‎x‎2‎-ax+(a-1)lnx,a>1‎.‎ ‎(1)讨论函数f(x)‎的单调性;‎ ‎(2)证明:若a<5‎,则对任意x‎1‎,x‎2‎‎∈(0, +∞)‎,x‎1‎‎≠‎x‎2‎,有f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎>-1‎.‎ ‎22. 选修‎4-1‎:几何证明讲 已知‎△ABC中,AB=AC,D是‎△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至E.‎ ‎(1)求证:AD的延长线平分‎∠CDE;‎ ‎(2)若‎∠BAC=‎30‎‎∘‎,‎△ABC中BC边上的高为‎2+‎‎3‎,求‎△ABC外接圆的面积.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 ‎23. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-π‎3‎)‎=‎1‎,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ ‎24. 设函数f(x)‎=‎|x-1|+|x-a|‎,‎ ‎(1)若a=‎-1‎,解不等式f(x)≥3‎;‎ ‎(2)如果x∈R,f(x)≥2‎,求a的取值范围.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 参考答案与试题解析 ‎2009年辽宁省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题 ‎1.B ‎2.D ‎3.B ‎4.B ‎5.A ‎6.B ‎7.D ‎8.C ‎9.A ‎10.C ‎11.C ‎12.C 二、填空题 ‎13.‎‎1013‎ ‎14.‎‎1‎‎3‎ ‎15.‎‎4‎ ‎16.‎‎9‎ 三、解答题(共8小题,满分70分)‎ ‎17.‎‎0.33 km ‎18.解:(1)解法一:‎ 取CD的中点G,连接MG,NG.设正方形ABCD,DCEF的边长为‎2‎,‎ 则MG⊥CD,MG=2‎,NG=‎‎2‎.‎ ‎∵ 平面ABCD⊥‎平面DCED,‎ ‎∴ MG⊥‎平面DCEF,‎ ‎∴ ‎∠MNG是MN与平面DCEF所成的角.‎ ‎∵ MN=MG‎2‎+GN‎2‎=‎‎6‎,∴ sin∠MNG=‎‎6‎‎3‎为MN与平面DCEF所成角的正弦值 解法二:‎ 设正方形ABCD,DCEF的边长为‎2‎,以D为坐标原点,‎ 分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则M(1, 0, 2)‎,N(0, 1, 0)‎,可得MN‎→‎‎=(-1, 1, -2)‎.‎ 又∵ DA‎→‎‎=(0, 0, 2)‎为平面DCEF的法向量,‎ ‎∴ cos(MN‎→‎, DA‎→‎)=‎||MN‎→‎||DA‎→‎|‎‎˙‎=-‎‎6‎‎3‎•‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 ‎∴ MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos(MN‎→‎,DA‎→‎)=‎‎6‎‎3‎•‎ ‎(2)假设直线ME与BN共面,‎ 则AB⊂‎平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知,两正方形不共面,∴ AB⊄‎平面DCEF.‎ 又∵ AB // CD,∴ AB // ‎平面DCEF.‎ ‎∵ 面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,∴ AB // EN.‎ 又∵ AB // CD // EF,‎ ‎∴ EN // EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.‎ ‎∴ ME与BN不共面,它们是异面直线.‎ ‎19.解  依题意知X∼B‎4,‎‎1‎‎3‎,‎ PX=0‎=C‎4‎‎0‎‎1‎‎3‎‎0‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎4‎=‎‎16‎‎81‎‎,‎ PX=1‎=C‎4‎‎1‎‎1‎‎3‎‎1‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎3‎=‎‎32‎‎81‎‎,‎ PX=2‎=C‎4‎‎2‎‎1‎‎3‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎2‎=‎‎24‎‎81‎‎,‎ PX=3‎=C‎4‎‎3‎‎1‎‎3‎‎3‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎1‎=‎‎8‎‎81‎‎,‎ PX=4‎=C‎4‎‎4‎‎1‎‎3‎‎4‎‎1-‎‎1‎‎3‎‎0‎=‎‎1‎‎81‎‎.‎ 即X的分布列为 设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2‎.‎ Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2‎.‎ 依题意知P(A‎1‎)=P(B‎1‎)=0.1‎,P(A‎2‎)=P(B‎2‎)=0.3‎,‎ A=A‎1‎B‎¯‎‎1‎∪A‎¯‎‎1‎B‎1‎∪A‎1‎B‎1‎∪‎A‎2‎B‎2‎‎,‎ 所求的概率为P(A)=P(A‎1‎B‎¯‎‎1‎)+P(A‎¯‎‎1‎B‎1‎)+P(A‎1‎B‎1‎)+P(A‎2‎B‎2‎)=P(A‎1‎)P(B‎¯‎‎1‎)+P(A‎¯‎‎1‎)P(B‎1‎)+P(A‎1‎)P(B‎1‎)+P(A‎2‎)P(B‎2‎)=‎ ‎0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28‎‎.‎ ‎20.‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎ 证明:设直线AE的方程为:y=k(x-1)+‎‎3‎‎2‎,‎ 代入x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎得 ‎(3+4k‎2‎)x‎2‎+4k(3-2k)x+4‎3‎‎2‎‎-k‎2‎-12=0‎‎.‎ 设E(xE, yE)‎,F(xF, yF)‎,因为点A‎1,‎‎3‎‎2‎在椭圆上,‎ 所以xE‎=‎‎4‎3‎‎2‎‎-k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,yE‎=kxE+‎3‎‎2‎-k.‎ 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,‎ 在上式中以‎-k代k,可得xF‎=‎‎4‎3‎‎2‎‎+k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,yF‎=-kxF+‎3‎‎2‎+k.‎ 所以直线EF的斜率kEF‎=yF‎-‎yExF‎-‎xE=‎-k(xF+xE)+2kxF‎-‎xE=‎‎1‎‎2‎,‎ 即直线EF的斜率为定值,其值为‎1‎‎2‎.‎ ‎21.(1)解:f(x)‎的定义域为‎(0, +∞)‎.‎ f‎'‎‎(x)=x-a+a-1‎x=x‎2‎‎-ax+a-1‎x=‎‎(x-1)(x+1-a)‎x‎.‎ ‎(ⅰ)若a-1=1‎,即a=2‎,则f‎'‎‎(x)=‎(x-1‎‎)‎‎2‎x≥0‎,故f(x)‎在‎(0, +∞)‎单调递增.‎ ‎(ⅱ)若a-1<1‎(a>1‎),即‎10‎.‎ 故f(x)‎在‎(a-1, 1)‎单调递减,在‎(0, a-1)‎,‎(1, +∞)‎单调递增.‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页 ‎(ⅲ)若a-1>1‎,即a>2‎,同理可得f(x)‎在‎(1, a-1)‎单调递减,在‎(0, 1)‎和‎(a-1, +∞)‎单调递增.‎ ‎(2)证明:构造函数g(x)=f(x)+x=‎1‎‎2‎x‎2‎-ax+(a-1)lnx+x(‎10‎),‎ 则g‎'‎‎(x)=x-(a-1)+a-1‎x≥2x⋅‎a-1‎x-(a-1)=1-(a-1‎-1‎‎)‎‎2‎,当且仅当x‎2‎‎=a-1‎时等号成立.‎ 由于‎10‎,即g(x)‎在‎(0, +∞)‎单调递增,从而当x‎1‎‎>x‎2‎>0‎时,有g(x‎1‎)-g(x‎2‎)>0‎,即f(x‎1‎)-f(x‎2‎)+x‎1‎-x‎2‎>0‎,故f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎>-1‎;当‎0-1‎.‎ 故对任意x‎1‎,x‎2‎‎∈(0,+∞)‎,x‎1‎‎≠‎x‎2‎,有fx‎1‎-fx‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎>-1‎成立.‎ ‎22.如图,设F为AD延长线上一点 ‎∵ A,B,C,D四点共圆,∴ ‎∠CDF=‎‎∠ABC 又AB=AC∴ ‎∠ABC=‎∠ACB,且‎∠ADB=‎∠ACB,∴ ‎∠ADB=‎∠CDF,‎ 对顶角‎∠EDF=‎∠ADB,故‎∠EDF=‎∠CDF,‎ 即AD的延长线平分‎∠CDE.‎ 设O为外接圆圆心,连接AO交BC于H,则AH⊥BC.‎ 连接OC,由题意‎∠OAC=‎∠OCA=‎15‎‎∘‎,‎∠ACB=‎75‎‎∘‎,∴ ‎∠OCH=‎60‎‎∘‎.‎ 设圆半径为r,则r+‎3‎‎2‎r=‎2+‎‎3‎,a得r=‎2‎,‎ 外接圆的面积为‎4π.‎ 故答案为‎4π.‎ ‎23.由ρcos(θ-π‎3‎)=1ρ(‎1‎‎2‎cosθ+‎3‎‎2‎sinθ)=1‎ 从而C的直角坐标方程为 ‎1‎‎2‎x+‎3‎‎2‎y=1‎ 即 x+‎3‎y=2‎ θ‎=‎0‎时,ρ=‎2‎,所以M(2, 0)‎ θ=π‎2‎,ρ=‎2‎‎3‎‎3‎,N(‎2‎‎3‎‎3‎,π‎2‎)‎ M点的直角坐标为‎(2, 0)‎ N点的直角坐标为‎(0,‎2‎‎3‎‎3‎)‎ 所以P点的直角坐标为‎(1.‎3‎‎3‎)‎,则P点的极坐标为‎(‎2‎‎3‎‎3‎,π‎6‎)‎,‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ=‎π‎6‎,‎ρ∈(-∞, +∞)‎ ‎24.当a=‎-1‎时,f(x)‎=‎|x-1|+|x+1|‎,由f(x)≥3‎有‎|x-1|+|x+1|≥3‎ 据绝对值几何意义求解,‎|x-1|+|x+1|≥3‎几何意义,是数轴上表示实数x的点距离实数‎1‎,‎-1‎表示的点距离之和不小‎3‎,‎ 由于数轴上数‎-‎‎3‎‎2‎左侧的点与数‎3‎‎2‎右侧的点与数‎-1‎与‎1‎的距离之和不小‎3‎,‎ 所以所求不等式解集为‎(-∞, -‎3‎‎2‎]∪[‎3‎‎2‎, +∞)‎ 由绝对值的几何意义知,数轴上到‎1‎的距离与到a的距离之和大于等于‎2‎恒成立,则‎1‎与a之间的距离必大于等于‎2‎,从而有a∈(-∞, -1]∪[3, +∞)‎ 第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页
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