2013广东卷（文）数学试题

2013广东卷（文）数学试题

‎2013·广东卷(文科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈}，则S∩T＝(　　)‎ A．{0} B．{0，2} ‎ C．{－2，0} D．{－2，0，2} ‎ ‎1．A　[解析] S＝{－2，0}，T＝{0，2}，S∩T＝{0}，故选A.‎ ‎2． 函数y＝的定义域是(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)‎ C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)‎ ‎2．C　[解析] 由题知得x∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.‎ ‎3． 若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈，则复数x＋yi的模是(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎3．D　[解析] 根据复数相等知|x＋yi|＝＝5.‎ ‎4． 已知sin＝，那么cos α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎4．C　[解析] sin＝sin＝cos α＝，选C.‎ ‎5． 执行如图1－1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是(　　)‎ 图1－1‎ A．1 B．2 ‎ C．4 D．7 ‎ ‎5．C　[解析] 1≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；s＝2＋2＝4，i＝4；4>3，故输出s＝4，选C.‎ ‎6． 某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是(　　)‎ 图1－2‎ A. B. ‎ C. D．1‎ ‎6．B　[解析] 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是××1×1×2＝，选B.‎ ‎7． 垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是(　　)‎ A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0‎ ‎7．A　[解析] 设直线方程为y＝－x＋m，且原点到此直线的距离是1，即1＝，解得m＝±.当m＝－时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.‎ ‎8．、 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎8．B　[解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.‎ ‎9． 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎9．D　[解析] 设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题知c＝1，＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，选D.‎ ‎10． 设是已知的平面向量且≠0，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使＝＋；‎ ‎②给定向量和，总存在实数λ和μ，使＝λ＋μ；‎ ‎③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使＝λ＋μ；‎ ‎④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使＝λ＋μ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎10．B　[解析] ①作＝，＝，如图(1)，连接AB，只要＝即可，故①对；‎ ‎　　‎ ‎②是对的，因为和不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量；‎ ‎③是错的，如图(2)，作＝，＝，＝μ，则||＝μ，即点C的轨迹是圆(去掉和共线的两个点)，过点A作OB的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将沿，方向分解；‎ ‎④不一定对，如图(3)，作＝，＝λ，＝μ，则点B，C的轨迹是圆(去掉和共线的两个点)，但不一定有＝λ＋μ综上，选B.‎ ‎11． 设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________．‎ ‎11．15　[解析] 方法一：易求得a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，∴a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.‎ 方法二：相当于求首项为1，公比为2的等比数列的前4项和，S4＝＝15.‎ ‎12． 若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________‎ ‎12.　[解析] 易知点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，y′＝2ax－，∴＝2a－1＝0，∴a＝.‎ ‎13． 已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．‎ ‎13．5　[解析] 根据图知，线性目标函数z＝x＋y在点C处取得最大值，易求点C(1，4)，故zmax＝5.‎ ‎14． (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．‎ ‎14.(θ为参数)　[解析] 将曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(θ为参数)．‎ ‎15． (几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．‎ 图1－3‎ ‎15.　[解析] AB＝，BC＝3⇒AC＝＝2 ，∵AB2＝AE·AC，∴AE＝.又∵tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝，故∠EAD＝.在△AED中，由余弦定理得ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos ∠EAD＝＋9－2××3cos ＝，故ED＝.‎ ‎16．， 已知函数f(x)＝cos，x∈‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若cos θ＝，θ∈，求f.‎ ‎16．解：16． (1)‎ ‎（2），，‎ ‎17． 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：‎ 分组(重量)‎ ‎[80，85)‎ ‎[85，90)‎ ‎[90，95)‎ ‎[95，100)‎ 频数(个)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？‎ ‎(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有1个的概率．‎ ‎17．解：17．（1）重量在的频率；‎ ‎（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数；‎ ‎（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有种情况，其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种；设“抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个”为事件，则事件的概率；‎ ‎18．，， 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.‎ 图1－4‎ ‎(1)证明：DE∥平面BCF；‎ ‎(2)证明：CF⊥平面ABF；‎ ‎(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．‎ ‎18．解：18．（1）在等边三角形中， ‎ ‎,在折叠后的三棱锥中也成立， ,平面，‎ 平面，平面；‎ ‎（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.‎ ‎ 在三棱锥中，，②‎ ‎；‎ ‎（3）由（1）可知，结合（2）可得.‎ ‎19．， 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈，且a2，a5，a14构成等比数列．‎ ‎(1)证明：a2＝；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ ‎19．解：19．（1）当时，， ‎ ‎（2）当时，，‎ ‎,‎ 当时，是公差的等差数列.‎ 构成等比数列，，，解得,‎ 由（1）可知，‎ ‎ 是首项,公差的等差数列.‎ ‎ 数列的通项公式为.‎ ‎（3）‎ ‎20．，， 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．‎ ‎20．解：20．（1）依题意，解得（负根舍去）‎ 抛物线的方程为；‎ ‎（2）设点,，，‎ 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为，‎ 即. ‎ ‎∵， ∴ .‎ ‎∵点在切线上, ∴. ①‎ 同理， . ②‎ 综合①、②得，点的坐标都满足方程 . ‎ ‎∵经过两点的直线是唯一的，‎ ‎∴直线 的方程为，即；‎ ‎（3）由抛物线的定义可知，‎ 所以 联立，消去得，‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值为 ‎ ‎21． 设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈)．‎ ‎(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.‎ ‎21．解：21．(1)当时 ‎ ‎,在上单调递增.‎ ‎（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 ‎ ‎-k k ‎ k ‎（i）当，即时，，在上单调递增，‎ 从而当时， 取得最小值 ,‎ 当时， 取得最大值.‎ ‎（ii）当，即时，令 解得：,注意到,‎ ‎(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值,‎ 的最大值 综上所述，当时，的最小值,最大值 解法2（2）当时，对，都有，故 故，而 ，‎ 所以 ，‎ （1） 解法3：因为，；‎ ① 当时，即时，，在上单调递增，此时无最小值和最大值；‎ ② 当时，即时，令，解得或；令，解得或；令，解得；因为，‎ 作的最值表如下：‎ f′(x)‎ f(x) ‎ 极大值 极小值 则，；‎ 因为 ‎；‎ ‎，所以；‎ 因为 ‎；‎ ‎；‎ 所以；‎ 综上所述，所以，。‎