2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二上学期期中数学试题 解析版

2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二上学期期中数学试题 解析版

‎2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.‎ ‎1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为　 　．‎ ‎2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为　 　．‎ ‎3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为　 　．‎ ‎4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=　 　．‎ ‎5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　 　．‎ ‎6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是　 　．‎ ‎7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为　 　．‎ ‎8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有　 　．‎ ‎①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；‎ ‎②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；‎ ‎④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．‎ ‎9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是　 　．‎ ‎10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为　 　．‎ ‎11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2‎ ‎=8分成长度相同的四段弧，则ab=　 　．‎ ‎12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为　 　cm2．‎ ‎13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是　 　．‎ ‎14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是　 　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．‎ ‎（1）求证：AM∥平面PBC；‎ ‎（2）求证：CD⊥PA．‎ ‎16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．‎ ‎（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；‎ ‎（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；‎ ‎（3）求四边形ABCD的面积．‎ ‎17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．‎ ‎18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．‎ ‎（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；‎ ‎（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；‎ ‎（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．‎ ‎19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．‎ ‎20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上.‎ ‎1．（5分）已知直线l的斜率为﹣1，则它的倾斜角为　　．‎ ‎【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．‎ ‎【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．‎ ‎∴tanθ=﹣1，解得θ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，则它的圆心坐标为　（﹣1，）　．‎ ‎【分析】根据圆的一般方程的特征，求得圆的圆心坐标．‎ ‎【解答】解：圆C的方程为x2+y2+2x﹣y=0，即（x+1）2+（ y﹣）2 =，则圆心坐标为（﹣1，），‎ 故答案为：（﹣1，）．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的一般方程的特征，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若直线a和平面α平行，且直线b⊂α，则两直线a和b的位置关系为　平行或异面　．‎ ‎【分析】以正方体AC1为载体，得到直线a∥平面α，直线b在平面α内，则直线a与b的位置关系可能平行、可能异面．‎ ‎【解答】解：如图，在正方体AC1中，‎ 直线A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ A1B1∥AB，A1B1与BC异面．‎ ‎∴直线a∥平面α，直线b在平面α内，则直线a与b的位置关系可能平行、可能异面．‎ 故答案为：平行或异面．‎ ‎【点评】本题考查直线与直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两直线的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=　　．‎ ‎【分析】根据直线方程求出两直线的斜率，根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出实数a．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，‎ ‎∴斜率之积等于﹣1，他们的斜率分别为和，‎ ‎∴×=﹣1，∴a=，‎ 故答案为 ．‎ ‎【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　（x﹣2）2+（y﹣1）2=5　．‎ ‎【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，直线l：x+2y﹣4=0与坐标轴的交点为（4，0）、（0，2），‎ 经过O、A、B三点的圆即△OAB的外接圆，‎ 又由△OAB为直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，‎ 则有2r==2，即r=，‎ 圆心坐标为（2，1），‎ 则要求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；‎ 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程，注意△OAB为直角三角形．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是　2　．‎ ‎【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．‎ ‎【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，‎ 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，‎ ‎2πr=，‎ r=1；‎ 圆锥的高为：=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为　　．‎ ‎【分析】由题意可得，PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，再利用两条平行直线间的距离公式d=，求得PQ的最小值．‎ ‎【解答】解：P，Q分别为直线x+3y﹣9=0和x+3y+1=0上的动点，则PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，‎ 为=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d= 应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面说法正确的有　①④　．‎ ‎①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；‎ ‎②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；‎ ‎④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．‎ ‎【分析】①根据面面垂直的判定可判断正误；‎ ‎②分别在两个互相垂直的平面内的两条直线不一定垂直；‎ ‎③m、n可能平行，可能异面；‎ ‎④根据线面平行的性质可判定．‎ ‎【解答】解：对于①，若m⊂α，m⊥β，根据面面垂直的判定可得α⊥β，故正确；‎ 对于②，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m、n不一定垂直，故错；‎ 对于③，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m于n可能平行，可能异面，故错；‎ 对于④，若m∥α，m⊂β，α∩β=n，根据线面平行的性质可判定m∥n，故正确．‎ 故答案为：①④．‎ ‎【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行、垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是　x+2y﹣3=0　．‎ ‎【分析】在直线x﹣2y+1=0上任取两点，分别求出这两点关于直线x=1的对称点，由此能求出直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程．‎ ‎【解答】解：在直线x﹣2y+1=0上任取两点（1，1），（0，），‎ 这两点关于直线x=1的对称点分别为（1，1），（2，），‎ 过这两点的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 即x+2y﹣3=0．‎ 故答案为：x+2y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查与直线关于直线对称的直线方程的求法，解题时要认真审题，注意对称思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为　　．‎ ‎【分析】由正四棱柱的底面边长与侧棱长，可以求出四棱柱的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的体积．‎ ‎【解答】解：因为正四棱柱底面边长为1，侧棱长为，‎ 所以它的体对角线的长是：2．‎ 所以球的直径是：2，半径为1．‎ 所以这个球的体积是：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正四棱柱的外接球的体积．考查空间想象能力与计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=　﹣7　．‎ ‎【分析】推导出圆心（1，2）到直线l1：y=x+a和l2：y=x+b的距离都是2，从而求出a=1﹣2，b=1+2或a=1+2，b=1﹣2．由此能求出ab的值．‎ ‎【解答】解：如图，∵直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，‎ ‎∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=，OA=OB=OC=OD=r=2，‎ E、F是AB和CD的中点，则OE=OF===2．‎ ‎∴圆心（1，2）到直线l1：y=x+a和l2：y=x+b的距离都是2，‎ ‎∴，解得a=1﹣2，b=1+2或a=1+2，b=1﹣2．‎ ‎∴ab=（1+2）（1﹣2）=﹣7．‎ 故答案为：﹣7．‎ ‎【点评】‎ 本题考查两数积的求法，考查直线、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．则它的侧面积为　18　cm2．‎ ‎【分析】利用三棱锥的体积求出底面面积，得到底面边长，求解侧面积即可．‎ ‎【解答】解：正三棱锥的体积为9cm3，高为3cm．‎ 可得底面正三角形的面积为：，解得S=9．‎ 设底面边长为xcm．‎ 由题意可得：，解得x=6．‎ 侧面斜高h==2．‎ ‎∴它的侧面积S=3××6×2=18．‎ 故答案为：18．‎ ‎【点评】本题考查了正三角形的面积计算公式、正三棱锥的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是　（1，3）　．‎ ‎【分析】先求得|AB|=5，根据题意可得两点M，N到直线AB的距离为2．求出AB的方程为3x﹣4y+5=0，当圆上只有3个点到直线AB的距离为2时，求得r的值，即可求得满足条件的r的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得|AB|==5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，‎ 可得两点M，N到直线AB的距离为2．‎ 由于AB的方程为，即3x﹣4y+5=0．‎ 若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，‎ 则有圆心（0，0）到直线AB的距离=r﹣2，解得r=3，‎ 又圆上的点到AB的距离最大值为1+r（只有一个点），故当r≤1时1+r≤2，不可能存在两点到AB的距离都是2．‎ 故r＞1‎ 此时AB与圆相交 要满足题意，则r﹣1＜2得r＜3‎ ‎∴1＜r＜3‎ 故答案为：（1，3）．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是　（﹣1，﹣]∪[，+∞）　．‎ ‎【分析】以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，‎ 设点C（x，y），利用坐标表示以及点C不在以点B为圆心为半径的圆内，‎ 从而求出μ的范围．‎ ‎【解答】解：以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示；‎ 设点C（x，y），则A（﹣1，0），B（1，0），‎ ‎=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）；‎ 由，得（﹣1﹣x）（1﹣x）+（﹣y）2=μ，‎ ‎∴u=x2+y2﹣1；①‎ 又点C不在以点B为圆心为半径的圆内，‎ ‎∴（x﹣1）2+y2≥，‎ 即x2+y2﹣2x+1≥；②‎ 由①②得μ≥2x﹣，其中x≤或x≥；‎ 当x≤时，μ≤﹣，当x≥时，μ≥；‎ 又μ＞﹣1，‎ ‎∴μ的范围是﹣1＜μ≤﹣或μ≥．‎ 故答案为：（﹣1，﹣]∪[，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了圆与不等式的应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（14分）如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．‎ ‎（1）求证：AM∥平面PBC；‎ ‎（2）求证：CD⊥PA．‎ ‎【分析】（1）推导出四边形ABCM是平行四边形，从而AM∥BC，由此能证明AM∥平面PBC．‎ ‎（2）由PD=PC，点M是CD的中点，得PM⊥CD，由AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，得CD⊥AM，从而CD⊥平面PAM，由此能证明CD⊥PA．‎ ‎【解答】证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点 ‎∴ABCM，∴四边形ABCM是平行四边形，‎ ‎∴AM∥BC，‎ ‎∵AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴AM∥平面PBC．‎ ‎（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，‎ ‎∴PM⊥CD，‎ ‎∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，‎ ‎∴CD⊥AM，‎ ‎∵PM∩AM=M，‎ ‎∴CD⊥平面PAM，‎ ‎∵PA⊂平面PAM，‎ ‎∴CD⊥PA．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．‎ ‎（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；‎ ‎（2）在△ACD中，求CD边上的高所在直线方程；‎ ‎（3）求四边形ABCD的面积．‎ ‎【分析】（1）法一：设D（x，y），由，能求出D点坐标．‎ 法二：求出AC中点为，该点也为BD中点，设D（x，y），由此能求出D点坐标；‎ ‎（2）求出CD边的斜率，从而得到CD边上的高的斜率，由此能求出CD边上的高所在的直线方程．‎ ‎（3）法一：求出直线BC，从而求出A到BC的距离，再求出BC，由此能求出四边形ABCD的面积．‎ 法二：求出，，，由余弦定理得，从而，由此能求出四边形ABCD的面积．‎ ‎【解答】解：（1）解法一：设D（x，y），‎ ‎∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），，‎ ‎∴（﹣1，﹣6）=（2﹣x，3﹣y），‎ ‎∴x=3，y=9，即D（3，9）．‎ 解法二：∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），‎ ‎∴AC中点为，‎ 该点也为BD中点，设D（x，y），‎ 则可得D（3，9）；‎ ‎（2）∵A（﹣1，5），B（﹣2，﹣1），C（2，3），‎ ‎∴CD边的斜率kCD==6，‎ ‎∴CD边上的高的斜率为，‎ ‎∴CD边上的高所在的直线方程为y﹣5=﹣（x+1），即x+6y﹣29=0．‎ ‎（3）解法一：∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．‎ ‎∴直线BC：=，即x﹣y+1=0，‎ ‎∴A到BC的距离为d=，‎ 又BC==4，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为．‎ 解法二：∵，，‎ ‎∴由余弦定理得 ‎∴‎ ‎∴四边形ABCD的面积为．‎ ‎【点评】本题考查点的坐标、直线方程、四边形面积的求法，考查直线、中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）已知圆C经过A（﹣2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）动直线l：（m+2）x+（2m+1）y﹣7m﹣8=0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．‎ ‎【分析】（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法能求出圆C的方程．‎ ‎（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+‎ y﹣8=0，列出方程组求出动直线l过定点M（3，2），从而求出直线m：y=x﹣1，由此能求出圆心C（2，4）到m的距离．‎ ‎【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ 则，‎ 解得D=﹣4，E=﹣8，F=﹣5，‎ ‎∴圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣8y﹣5=0；‎ ‎（2）动直线l的方程为（x+2y﹣7）m+2x+y﹣8=0．‎ 则得，∴动直线l过定点M（3，2），‎ ‎∴直线m：y=x﹣1，‎ ‎∴圆心C（2，4）到m的距离为，‎ ‎∴PQ的长为．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程、线段长的求法，考查直线、圆、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．‎ ‎（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；‎ ‎（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；‎ ‎（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）只需证明EC⊥AC，利用侧面AA1C1C⊥面ABC即可证明平面CEF⊥平面ABC；‎ ‎（2）可得CE为三棱锥E﹣BCF的高，求得，‎ 可得；‎ ‎（3）利用线面平行的判定、性质可得D为棱BC中点点 ‎【解答】解：（1）‎ ‎；‎ ‎（2）∵CE⊥面ABC，∴CE为三棱锥E﹣BCF的高，‎ 在Rt△CC1E中，可得，‎ 又∵，‎ ‎∴；‎ ‎（3）D为棱BC中点点，‎ ‎∵C1D∥EF，∴C1，D，E，F共面，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的证明、体积计算、考查使平面垂直的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的范围．‎ ‎【分析】（1）设圆心为（a，b），半径为r，利用待宝系数法能求出圆C的方程．‎ ‎（2）由圆心C在第四象限，得圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，从而，，进而，由此能求出的范围．‎ ‎【解答】解：（1）设圆心为（a，b），半径为r，‎ 则有 得或，‎ 圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9或．‎ ‎（2）∵圆心C在第四象限，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵x，y满足，‎ ‎∴（或），‎ 又∵P在圆C内，满足（x﹣1）2+（y+2）2＜9且 ‎∴4y2+8y﹣5＜0，解得，‎ ‎∴．‎ ‎∴的范围[﹣，10）．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程的求法，考查向量和数量积的取值范围的求法，考查直线、圆、和向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）已知，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，且l和以C为圆C相切．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）在圆C上是否存在点P，使得，若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若不过C的直线m与圆C交于M，N两点，且满足CM，MN，CN的斜率依次为等比数列，求直线m的斜率．‎ ‎【分析】（1）求出l：x﹣2y+4=0，从而求出圆C的半径r=，由此能求出圆C的方程．‎ ‎（2）设P（x，y），则由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，再由点P在圆C上得：3x﹣2y+5=0，由此能求出点P的坐标．‎ ‎（3）设直线m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），直线m与圆（x﹣1）2+y2=5联立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，由k2=kCMkCN，得：，由此能求出直线m的斜．‎ ‎【解答】解：（1）∵，B（0，2），C（1，0），斜率为的直线l过点A，‎ ‎∴l：x﹣2y+4=0，‎ ‎∵直线l和圆C相切，∴设圆C的半径为r，‎ 则，‎ ‎∴圆C：（x﹣1）2+y2=5．‎ ‎（2）设P（x，y），则由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，‎ 又∵点P在圆C上，∴，‎ 相减得：3x﹣2y+5=0，‎ 代入x2+y2﹣2x=4，得13x2+22x+9=0，‎ 解得x=﹣1或，‎ ‎∴点的坐标为P（﹣1，1）或；‎ ‎（3）若直线m的斜率不存在，则MN的斜率也不存在，不合题意：‎ 若直线m的斜率不存在，设直线m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 直线m与圆（x﹣1）2+y2=5联立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，‎ 由k2=kCMkCN，得，‎ 即k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=（kx1+b）（kx2+b）．‎ 整理得：，‎ ‎∵m不过C点，∴k+b≠0，∴上式化为k（x1+x2）+b﹣k=0．‎ 将代入得：k2b﹣k+k3﹣b=0，‎ 即（k2﹣1）（k+b）=0，‎ ‎∵k+b≠0，∴k2=1，‎ ‎∴直线m的斜率为±1．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程、点的坐标的求法，考查直线的斜率是否的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎