【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第七章 第4讲 基本不等式学案
第4讲 基本不等式
一、知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
二、教材衍化
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
解析：选C.xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.
2．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 ．
解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，
所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．
答案：25 m2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4. ( )
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )
(4)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、易错纠偏
(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；
(2)忽视定值存在；
(3)忽视等号成立的条件．
1．若x<0，则x＋( )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以
x＋≤－2.
2．若x>1，则x＋的最小值为 ．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
答案：5
3．设0
0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤
－2 ＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
【答案】 (1) (2)1
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
角度二 通过常数代换法求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为 ．
【解析】 ＝＝
·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】 9
【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为 ．
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4
【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为 ．
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，
＝
＝
＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．
答案：＋
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
角度三 通过消元法求最值
若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )
A. B.
C. D．
【解析】 因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得00，y>0，＋＝＋－1≥2－1＝4－1＝3(当且仅当x＝3y时等号成立)．
3．已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy，则x＋y的最小值为 ．
解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy.
即＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝16＋1＋＋≥17＋2＝25，当且仅当x＝4y＝20时等号成立，
所以x＋y的最小值为25.
答案：25
利用基本不等式解决实际问题(师生共研)
某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－
eq f(1,2)x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
应用基本不等式解决实际问题的基本步骤
(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
(3)还原为实际问题，写出答案．
某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．
解：设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．
[基础题组练]
1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以xy≤＝＝1，
所以≥1.
2．下列选项中，正确的是( )
A．x＋的最小值为2
B．sin x＋的最小值为4，x∈(0，π)
C．x2＋1的最小值为2
D．4x(1－x)的最大值为1
解析：选D.对于A，当x<0时，x＋<0，错误；对于B，当x∈(0，π)时，00，则函数y＝x＋－的最小值为( )
A．0 B.
C．1 D．
解析：选A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.
4．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法三：由题意知a＝(b>1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
6．函数y＝(x>－1)的最小值为 ．
解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
答案：0
7．(2020·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为 ，＋的最小值为 ．
解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.
答案：2
8．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[综合题组练]
1．设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A．16 B．9
C．4 D．2
解析：选C.在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)．
由题意知2＋1≥5，所以a≥4.
2．(2020·陕西铜川一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A．3 B．5
C．7 D．9
解析：选C.因为x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.
3．已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为 ；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是 ．
解析：因为x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，所以x2＋y2的最小值为.
若a≤＋恒成立，则a小于等于的最小值，因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．
答案： (－∞，9]
4．(2020·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为 ．
解析：因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋2y)(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.
答案：7＋4
