数学文卷·2018届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测(2018

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数学文卷·2018届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测(2018

东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学(文科) 2018.1‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)已知集合,则 A. B. C. D. ‎ ‎(2)下列函数中为偶函数的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎(3)直线与圆相交于两点,,则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,‎ ‎(4)执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为 ‎ A.8 ‎ ‎ B.19 ‎ ‎ C. 42 ‎ ‎ D.89‎ ‎(5)已知向量a,b, c,‎ 若(2a-b) c,则实数 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(6)已知,则 A. B. C. D. ‎ ‎(7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(8)再一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 ‎ C.丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙 ‎ ‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)复数 .‎ ‎(10)双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎(11)若满足,则的最大值是 .‎ ‎(12)在中,,则 , 的面积为 .‎ ‎(13)函数当时,的值域为 ;当有两个不同零点时,实数的取值范围为 .‎ ‎(14)设命题已知,满足的所有点都在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为 .‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 已知是等差数列,是等比数列,且.‎ ‎(Ⅰ)数列和的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列前项和.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数在区间上的最大值与最小值;‎ ‎(Ⅱ)当的图像经过点时,求的值及函数的最小正周期. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(17)(本小题14分)‎ ‎“砥砺奋进的五年”,首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来,北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需,促进消费等政策的出台,居民消费支出全面增长,消费结构持续优化升级,城乡居民人均可支配收入快速增长,人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图(例如2012年,北京城镇居民收入实际增速为7.3%,农村居民收入实际增速为8.2%).‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)从2012-2016五年中任选一年,求城镇居民收入实际增速大于7%的概率;‎ ‎(Ⅱ)从2012-2016五年中任选一年,求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率;‎ ‎(Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大?(结论不要求证明)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(18)(本小题13分)‎ 如图,在四棱锥中,是等边三角形,为的中点,四边形为直角梯形,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求四棱锥的体积;‎ ‎(Ⅲ)在棱上是否存在点,使得平面?说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若对于任意,都有,求实数的取值范围.‎ 求证:“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.‎ ‎ ‎ ‎(20)(本小题13分)‎ 已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设点为椭圆的上一点,过原点且垂直于的直线与直线交于点,求面积的最小值.‎ ‎ ‎ 东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)C (2)D (3)A (4)C ‎(5)A (6)D (7)B (8)A 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9) (10) ‎ ‎(11) (12),‎ ‎(13),或 ‎ ‎(14) ‎ ‎(点的坐标只需满足,‎ 或,)‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎(15)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.‎ ‎ 因为,所以.‎ 解得. ‎ 又因为,所以.‎ 所以,,. ……………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,.‎ 因此 数列前项和为. ‎ 数列的前项和为. ‎ ‎ 所以,数列的前项和为,. ………13分 ‎(16)(共13分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)当时, ‎ ‎.‎ 因为,‎ 所以.‎ 所以,当,即时,取得最大值,‎ 当,即时,取得最小值为. ………6分(Ⅱ)因为,‎ 所以.‎ 因为的图象经过点,‎ 所以,即.‎ 所以.‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以.‎ 所以的最小正周期. ……13分 ‎(17)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)设城镇居民收入实际增速大于为事件,由图可知,这五年中有这三年城镇居民收入实际增速大于,所以. ……5分 ‎(Ⅱ)设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超为事件,这五年中任选两年,有,,,,,,,,, 共种情况,其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过的为前种情况,所以. ………10分 ‎(Ⅲ)从开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ………13分 ‎(18)(共14分)‎ 解:(Ⅰ) 因为,,,‎ 所以平面.‎ 因为平面,‎ 所以平面平面 ‎. ………5分 ‎(Ⅱ)连接.‎ 因为△为等边三角形,为中点,‎ 所以.‎ 因为平面,‎ 所以.‎ ‎ 因为,‎ 所以平面.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 在等边△中,,‎ ‎,‎ ‎ 所以. ………9分 ‎(Ⅲ)棱上存在点,使得∥平面,此时点为中点.‎ ‎ 取中点,连接.‎ 因为为中点, ‎ 所以∥.‎ 因为平面,‎ 所以∥平面.‎ 因为为中点,‎ 所以∥.‎ 因为平面,‎ 所以∥平面.‎ 因为,‎ 所以平面∥平面.‎ 因为平面,‎ 所以∥平面. ………14分 ‎(19)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)因为函数,‎ 所以,‎ ‎.‎ 又因为,‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ………4分 ‎(Ⅱ)函数定义域为,‎ ‎ 由(Ⅰ)可知,.‎ 令解得.‎ 与在区间上的情况如下:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ ‎ 所以,的单调递增区间是;‎ 的单调递减区间是. ………9分 ‎(Ⅲ)当时,“”等价于“”.‎ 令,,‎ ‎,.‎ 当时,,所以在区间单调递减.‎ 当时,,所以在区间单调递增.‎ 而,‎ ‎.‎ 所以在区间上的最大值为.‎ 所以当时,对于任意,都有. ………14分 ‎(20)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)由题意,得 ‎ 解得.‎ ‎ 所以椭圆的方程为. ………4分 ‎(Ⅱ)设,,则.‎ ① 当时,点,点坐标为或,‎ ‎.‎ ② 当时,直线的方程为.即,‎ 直线的方程为.‎ 点到直线的距离为 ‎,.‎ 所以,.‎ 又,‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 且,‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 综上,当时,取得最小值1. ………13分 ‎ ‎
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