江苏省南通市2021届高三上学期期初调研数学试题 Word版含解析

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江苏省南通市2021届高三上学期期初调研数学试题 Word版含解析

江苏省南通市2021届高三上学期开学考试 数学试题 ‎2020.9‎ 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1.记全集U=R,集合A=,集合B=,则=‎ A.[4,) B.(1,4] C.[1,4) D.(1,4)‎ ‎2.已知,,,则a,b,c的大小关系为 ‎ A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b ‎3.若,,,(0,),则=‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为 A.30 B.60 C.90 D.120‎ ‎5.函数(>0,<)的部分图像如图所示,且的图像过A(,1),B(,﹣1)两点,为了得到的图像,只需将的图像 A.向右平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向右平移 ‎ ‎ 23‎ ‎ 第5题 第6题 ‎6.《易经》是中国传统文化中的精髓,上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦),每一卦由三根线组成( -表示一根阳线,--表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A. B. C. D.‎ ‎7.设F1,F2分别为双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与圆O:相切,l与C的渐近线在第一象限内的交点是P,若PF2⊥x轴,则双曲线的离心率等于 A. B.2 C. D.4‎ ‎8.对于函数,若存在区间[a,b],当x[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称为k倍值函数.若是k倍值函数,则实数k的取值范围是 A.(e+1,) B.(e+2,) C.(,) D.(,)‎ 二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ ‎9.下列说法正确的是 A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原来的a倍 B.设有一个回归方程y=3﹣5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位 C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱 D.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,)(>0),则P(>1)=0.5‎ ‎10.已知抛物线C:过点P(1,1),则下列结论正确的是 23‎ A.点P到抛物线焦点的距离为 B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△OPQ的面积为 C.过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y+1=0 ‎ D.过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M,N,则直线MN的斜率为定值 ‎11.在△ABC中,已知bcosC+ccosB=2b,且,则 A.a,b,c成等比数列 B.sinA:sinB:sinC=2:1:‎ C.若a=4,则S△ABC= D.A,B,C成等差数列 ‎12.已知函数,若,则下列选项正确的是 A.‎ B.‎ C.‎ D.当时,‎ 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)‎ ‎13.高二某班共有60名学生,其中女生有20名,三好学生占全班人数的,而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下,选上的是三好学生的概率为 .‎ ‎14.曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .‎ ‎15.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 .‎ 23‎ ‎16.椭圆与双曲线有相同的焦点F1(﹣c,0),F2(c,0),椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为,,则= ;且的最小值为 .‎ 四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,C=,c=2,求△ABC的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎2020年寒假是特殊的寒假,因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11:13,其中男生30人对于线上教育满意,女生中有15名表示对线上教育不满意.‎ 23‎ 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 ‎120‎ ‎(1)完成2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;‎ ‎(2)从被调查中对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作学习经验介绍,其中抽取男生的个数为.求出的分布列及期望值.‎ 附公式及表:‎ ‎,其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C的中心在原点,其焦点与双曲线的焦点重合,点P(0,)在椭圆C上,动直线l:y=kx+m交椭圆于不同两点A,B,且(O为坐标原点).‎ 23‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)讨论7m2﹣12k2是否为定值;若是,求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,且的解集为[﹣1,2].‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)解关于x的不等式(m≥0);‎ ‎(3)设,若对于任意的,[﹣2,1]都有,求M的最小值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当a=1时,证明对于任意的[1,2]成立.‎ 23‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知点P是抛物线C1:的准线上任意一点,过点P作抛物线的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.‎ ‎(1)证明:直线AB过定点,并求出定点的坐标;‎ ‎(2)若直线AB交椭圆C2:于C、D两点,S1,S2分别是△PAB,△PCD的面积,求的最小值.‎ 江苏省南通市2021届高三上学期开学考试 数学试题 ‎2020.9‎ 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1.记全集U=R,集合A=,集合B=,则=‎ A.[4,) B.(1,4] C.[1,4) D.(1,4)‎ 答案:C 23‎ 解析:∵集合A=, ‎ ‎∴,又∵B=,‎ ‎∴=[1,4),故选C.‎ ‎2.已知,,,则a,b,c的大小关系为 ‎ A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b 答案:A 解析:∵,∴,∴,∴,‎ 又,,∴b<a<c,故选A.‎ ‎3.若,,,(0,),则=‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案:C 解析:∵,(0,),∴(0,π),(,),‎ ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎,故选C.‎ ‎4.我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为 A.30 B.60 C.90 D.120‎ 答案:B 23‎ 解析:有两种情况,①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇,另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇,②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇,另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇,,故选B.‎ ‎5.函数(>0,<)的部分图像如图所示,且的图像过A(,1),B(,﹣1)两点,为了得到的图像,只需将的图像 ‎ ‎ A.向右平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向右平移 答案:C 解析:由题意知,,∴=2,,,‎ ‎ ∵<,∴,∴,故选C.‎ ‎6.《易经》是中国传统文化中的精髓,上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦),每一卦由三根线组成( -表示一根阳线,--表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案:C 23‎ 解析:P=,故选C.‎ ‎7.设F1,F2分别为双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与圆O:相切,l与C的渐近线在第一象限内的交点是P,若PF2⊥x轴,则双曲线的离心率等于 A. B.2 C. D.4‎ 答案:A 解析:,,,,故选A.‎ ‎8.对于函数,若存在区间[a,b],当x[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称为k倍值函数.若是k倍值函数,则实数k的取值范围是 A.(e+1,) B.(e+2,) C.(,) D.(,)‎ 答案:B 解析:是单调增函数,故,故a,b是方程的两个根,令,,当k>2,x=时,有最小值为,解得k>e+2,故选B.‎ 二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)‎ ‎9.下列说法正确的是 A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后,方差也变为原来的a倍 B.设有一个回归方程y=3﹣5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位 C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱 23‎ D.在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,)(>0),则P(>1)=0.5‎ 答案:BD 解析:选项A,方差变为原来的a2倍,故A错误;线性相关系数r的绝对值越大,两个变量的线性相关性越强;线性相关系数r的绝对值越接近0,线性相关性越弱,由此可见C错误,故选BD.‎ ‎10.已知抛物线C:过点P(1,1),则下列结论正确的是 A.点P到抛物线焦点的距离为 B.过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△OPQ的面积为 C.过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y+1=0 ‎ D.过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M,N,则直线MN的斜率为定值 答案:BCD 解析:∵抛物线C:过点P(1,1),∴,∴,故该抛物线焦点坐标为(,0),准线方程为x=,故点P到抛物线焦点的距离为,故A错误;△OPQ的面积,故B正确;设过点P的直线方程为,与抛物线联立并化简得,,解得k=,故过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y+1=0,C正确;设PM的斜率为k,则PN的斜率为﹣k,求得M(,),N(,),求得MN的斜率为,D正确,故选BCD.‎ ‎11.在△ABC中,已知bcosC+ccosB=2b,且,则 A.a,b,c成等比数列 B.sinA:sinB:sinC=2:1:‎ 23‎ C.若a=4,则S△ABC= D.A,B,C成等差数列 答案:BC 解析:由得,,,故ab=c2,故a,c,b成等比数列,故A错误;∵bcosC+ccosB=2b,∴a=2b,又ab=c2,∴c=b,∴a:b:c=2:1:,∴sinA:sinB:sinC=2:1:,故B正确;cosC=,sinC=,∴S=,故C正确;cosB=,故B≠60°,故D错误,故选BC.‎ ‎12.已知函数,若,则下列选项正确的是 A.‎ B.‎ C.‎ D.当时,‎ 答案:CD 解析:首先注意到函数,在(0,)单调递减,在(,)单调递增,故A错误,,故D正确;令,不是单调函数,故B错误;令,是单调增函数,故C正确,故选CD.‎ 三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)‎ 23‎ ‎13.高二某班共有60名学生,其中女生有20名,三好学生占全班人数的,而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下,选上的是三好学生的概率为 .‎ 答案:‎ 解析:P=.‎ ‎14.曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .‎ 答案:‎ 解析:,,设切点横坐标为,,所以切点(1,2),故切线方程为,即.‎ ‎15.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 .‎ 答案:(﹣2,6)‎ 解析:点P与点F重合时,有最小值为﹣2,当点P与点C重合时,有最大值为6,故的取值范围是(﹣2,6).‎ ‎16.椭圆与双曲线有相同的焦点F1(﹣c,0),F2(c,0),椭圆的一个短轴端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为,,则= ;且的最小值为 .‎ 答案:1;‎ 解析:设椭圆方程为,双曲线方程为,则由直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,得,∴=1;‎ 23‎ ‎ 所以,当且仅当取等号.‎ 四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,C=,c=2,求△ABC的面积.‎ 解:(1)∵sin2x﹣cos2x ‎=2sin(2x),‎ 令2kπ2x2kπ,k∈Z,解得kπx≤kπ,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为:[kπ,kπ],k∈Z. ‎ ‎(2)∵f(A)=2sin(2A)=2,‎ ‎∴sin(2A)=1,‎ ‎∵A∈(0,π),2A∈(,),‎ ‎∴2A,解得A, ‎ ‎∵C,c=2,‎ 23‎ ‎∴由正弦定理,可得,‎ ‎∴S△ABCabsinC(1).‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎2020年寒假是特殊的寒假,因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为了研究学生在网上学习的情况,某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查,其中男生与女生的人数之比为11:13,其中男生30人对于线上教育满意,女生中有15名表示对线上教育不满意.‎ 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 ‎120‎ ‎(1)完成2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”;‎ ‎(2)从被调查中对线上教育满意的学生中,利用分层抽样抽取8名学生,再在8名学生中抽取3名学生,作学习经验介绍,其中抽取男生的个数为.求出的分布列及期望值.‎ 附公式及表:‎ ‎,其中.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解:(1)因为男生人数为:,所以女生人数为,‎ 于是可完成列联表,如下:‎ 23‎ 满意 不满意 总计 男生 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ 女生 ‎50‎ ‎15‎ ‎65‎ 合计 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 根据列联表中的数据,得到的观测值 ‎,‎ 所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关” ‎ ‎(2)由(1)可知男生抽3人,女生抽5人,依题可知的可能取值为,并且服从超几何分布,,即 ‎,‎ ‎.‎ 可得分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 可得. ‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 23‎ 已知椭圆C的中心在原点,其焦点与双曲线的焦点重合,点P(0,)在椭圆C上,动直线l:y=kx+m交椭圆于不同两点A,B,且(O为坐标原点).‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)讨论7m2﹣12k2是否为定值;若是,求出该定值;若不是,请说明理由.‎ 解:(1)因为双曲线的焦点为,所以在椭圆C中,‎ 设椭圆C的方程为,‎ 由点在椭圆C上得,解得,则,‎ 所以椭圆C的方程为 ‎(2)为定值,理由如下:‎ 设,由可知,‎ 联立方程组,‎ 由得, ‎ ‎,① ‎ 由及得,‎ 整理得,‎ 将①式代入上式可得,‎ 23‎ 同时乘以可化简得,‎ 所以,即为定值.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,且的解集为[﹣1,2].‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)解关于x的不等式(m≥0);‎ ‎(3)设,若对于任意的,[﹣2,1]都有,求M的最小值.‎ 解:(1)因为的解集为,所以的根为,2,‎ 所以,,即,;所以; ‎ ‎(2),化简有,整理,‎ 所以当时,不等式的解集为,‎ 当时,不等式的解集为,‎ 当时,不等式的解集为,‎ 当时,不等式的解集为, ‎ ‎(3)因为时,根据二次函数的图像性质,有,‎ 23‎ 则有,所以,, ‎ 因为对于任意的都有,‎ 即求,转化为, ‎ 而,,所以,‎ 此时可得,‎ 所以M的最小值为.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当a=1时,证明对于任意的[1,2]成立.‎ 解:(1)的定义域为; ‎ ‎.‎ 当,时,,单调递增;‎ ‎,单调递减.‎ 当时,.‎ ① ‎,,‎ 23‎ 当或时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ ① 时,,在内,,单调递增;‎ ② 时,,‎ 当或时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减. ‎ 综上所述,‎ 当时,函数在内单调递增,在内单调递减;‎ 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;‎ 当时,在内单调递增;‎ 当,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增. ‎ ‎(2)由(Ⅰ)知,时,‎ ‎,,‎ 23‎ 令,.‎ 则,‎ 由可得,当且仅当时取得等号. ‎ 又,‎ 设,则在单调递减,‎ 因为,‎ 所以在上存在使得时,时,,‎ 所以函数在上单调递增;在上单调递减,‎ 由于,因此,当且仅当取得等号, ‎ 所以,‎ 即对于任意的恒成立 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知点P是抛物线C1:的准线上任意一点,过点P作抛物线的两条切线PA、PB,其中A、B为切点.‎ ‎(1)证明:直线AB过定点,并求出定点的坐标;‎ ‎(2)若直线AB交椭圆C2:于C、D两点,S1,S2分别是△PAB,△PCD的面积,求的最小值.‎ 23‎ 解:(1)证明:设点、,‎ 则以为切点的切线方程为,即,‎ 同理以为切点的切线方程为, ‎ 两条切线均过点,,即,‎ 所以,点、的坐标满足直线的方程, ‎ 所以,直线的方程为,‎ 在直线的方程中,令,可得,所以,直线过定点; ‎ ‎(2)设点到直线的距离为,则.‎ 由题意可知,直线不与轴重合,可设直线的方程为,‎ 设、,由,得,恒成立,‎ 由韦达定理得,,‎ 23‎ 由弦长公式可得 由,得,恒成立.‎ 由韦达定理得,,‎ 由弦长公式得.‎ ‎,‎ 当且仅当时,等号成立. ‎ 因此,的最小值为.‎ 23‎
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