广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷（五）数学（文）试题 Word版含解析

广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷（五）数学（文）试题 Word版含解析

广西南宁三中2020届高考适应性月考卷（五）文科数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】由，得，所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.设是虚数单位，若复数满足，则其共轭复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的式子，利用复数除法运算求得，在根据共轭复数的定义求得结果.‎ ‎【详解】，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.‎ ‎3.某校高三有文科学生150名，理科学生540名，其性别比例如图所示，则该校高三女生的人数为( )‎ - 25 -‎ ‎ ‎ A. 261 B. ‎369 ‎C. 321 D. 429‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计图分别计算文科和理科的女生人数计算可得 ‎【详解】解：由统计图表可得：该校高三文科女生的人数为，该校高三理科女生的人数为，所以该校高三女生的人数为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查统计图表的应用，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，若有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直角坐标系内画出函数的图象，利用数形结合，结合对数的运算性质和绝对值的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】设四个根依次为，‎ 则，，，‎ - 25 -‎ 则由，‎ ‎∴.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了已知方程根的个数求根的乘积的取值范围，考查了数形结合思想，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.‎ ‎5.已知，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方可推出，然后用倍角公式和诱导公式可算出答案.‎ ‎【详解】因为 所以，即，所以 所以，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查是三角函数倍角公式和诱导公式的应用，考查了学生对公式的掌握情况，属于基础题.‎ ‎6.函数的图象在处的切线方程为，则( )‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ - 25 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数，令，求得切点为，然后求导，求得斜率，写出切线方程，再由切线方程对应系数求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 当时，，故切点为.‎ 所以，‎ 则斜率，‎ 所以切线方程为，‎ 又因为切线方程为：，‎ 比较系数知，，‎ 所以6.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎7.运行如图所示的程序算法，则输出的结果为( )‎ A. 2 B. C. 13 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 根据框图的流程模拟运行程序，得到的值出现的周期，根据条件确定跳出循环的值，从而确定结果.‎ ‎【详解】当时， ；当时，；‎ 当时，；…；当时，，‎ 当时，，跳出循环；‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序发现值出现的周期性的变化是解题的关键，属于基础题.‎ ‎8.已知函数的部分图象大致如图，则的解析式可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象的对称性可以排除A,C，结合在点附近的变化趋势可得D选项为正确答案.‎ ‎【详解】由图象观察可知，函数图象关于轴对称，‎ 对于选项A，，故为奇函数，不合题意；‎ 对于选项C，，故为奇函数，不合题 - 25 -‎ 意；对于选项B，当，且时，，故排除B.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别，由图选式，一般通过图象的性质进行排除，侧重考查直观想象的核心素养.‎ ‎9.如图，已知多面体是正方体，，分别是棱，的中点，点是棱上的动点，过点，，的平面与棱交于点，则以下说法不正确的是( )‎ A. 四边形是平行四边形 B. 四边形是菱形 C. 当点从点往点运动时，四边形的面积先增大后减小 D. 当点从点往点运动时，三棱锥的体积一直增大 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一判断，可得答案.项，由面面平行的性质定理可得，故四边形是平行四边形.项，由是正方体，易知平面，，故平面，故，故平行四边形是菱形.项，菱形的面积，线段的长度是定值，菱形的面积先减小后增大.项，由，点到平面的距离不变，当点从点往点运动时，三角形的面积一直增大，故三棱锥的体积一直增大.‎ ‎【详解】如图所示 - 25 -‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面平面，，同理，‎ 四边形是平行四边形，故正确.‎ 是正方体，，又平面，，‎ ‎，平面.‎ 分别是棱的中点，，平面，‎ 又平面，，平行四边形是菱形，故正确.‎ 菱形的面积，线段的长度是定值.当点从点往点运动时，线段的长度先减小后增大，菱形的面积先减小后增大，故不正确.‎ ‎，点到平面的距离不变.当点从点往点运动时，三角形的面积一直增大，三棱锥的体积一直增大，故正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查面面平行的性质定理、线面垂直的判定定理和求三棱锥体积的方法，属于中档题.‎ ‎10.已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值为( )‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由抛物线方程可知，抛物线的焦点和准线，过作准线的垂线，由抛物线的定义知，然后利用垂线段最短，连接M即为所求.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 抛物线的焦点为，准线为，‎ 过作交于点，连接，‎ 由抛物线定义得，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，，三点共线时取“”号，‎ ‎∴的最小值为8.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及线段和最小问题，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.‎ ‎11.定义在上的奇函数满足，当时，，则在上( )‎ A. 是减函数，且 B. 是增函数，且 C. 是减函数，且 D. 是增函数，且 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求得函数的周期为4，再结合函数为奇函数和在 - 25 -‎ 时的函数解析式，即可得到答案；‎ ‎【详解】定义在上的奇函数满足，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即函数周期是4.‎ 在上的图象和在上的图象相同，‎ 当时，，‎ ‎∴此时单调递增，且.‎ ‎∵是奇函数，‎ ‎∴当时，单调递增，且，‎ 即当时，单调递增，且，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎12.已知函数（，），若函数在区间内没有零点，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，求出的零点，使其零点不在区间内，根据不等关系可求答案.‎ ‎【详解】，‎ - 25 -‎ 令，得，，即，‎ 因为函数在区间内没有零点，‎ 所以且，解得，，‎ 令可得，令可得，因为，所以的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质，把函数化简为最简形式，表示出零点是解题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，，则在方向上的投影为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与的夹角为，利用平面向量数量积的坐标运算可求得在方向上的投影为，即可得解.‎ ‎【详解】设与的夹角为，所以，在方向上的投影为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量投影的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.函数，的值域为______.‎ - 25 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简，然后通过的取值范围，求得的值域.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 由于，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即的值域为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎15.设，为双曲线：的两个焦点，为上一点且在第一象限若为等腰三角形，则点的坐标为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程求得，结合为等腰三角形以及双曲线的定义列方程组，解方程组求得点的坐标.‎ ‎【详解】设，分别为双曲线的左、右焦点，根据题意可知.‎ 因为为等腰三角形，所以易知或者是，‎ - 25 -‎ 如图分两种情况讨论，‎ 因为，所以或者.‎ 设，则或，‎ 解得或.‎ 所以点的坐标为或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本小题主要考查双曲线定义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16.某顶部有盖的几何体容器的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，若在该几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与顶部圆盖所在平面平行，则小圆柱体积的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 设小圆柱体的底面半径为，则高为，，小圆柱体的体积，设，，再利用导数求最值，即可得到答案；‎ ‎【详解】如图，设小圆柱体的底面半径为，则高为，，‎ 则小圆柱体的体积，设，，‎ 则，‎ 则，当时，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查圆柱体积的最大值求法，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助导数求最值.‎ 三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.等差数列的前项和为，，其中，，成等比数列，且数列为非常数数列.‎ ‎（1）求数列通项；‎ ‎（2）设，的前项和记为，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，成等比数列，得到， 再由，得到 - 25 -‎ 求解.‎ ‎（2）由（1）知：，则，用裂项相消法求解.‎ ‎【详解】（1）因为，，成等比数列，‎ 由所以， ‎ 即，‎ 解得得或（舍去），‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比中项，等差数列的通项公式和前n项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.为了了解市民对电视剧市场的爱好，某上星电视台邀请了100位电视剧爱好者（男50人、女50人）对4月份观看其播出的电视剧集数进行调研，得到这100名电视剧爱好者观看集数的中位数为39集（假设这100名电视剧爱好者的观看集数均在集内），且观看集数在集内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图.‎ - 25 -‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）有些观众喜欢带有主角光环意识来观剧.但是最近几年的影视作品里出现了一个有趣的趋势——攻气十足的女性角色越来越讨人喜欢，傻白甜的女主们则破了主角光环，各种被嫌弃，更有些剧集中明明是女配的脚本，却因为更具有大女主气场，而获得了比主角更多的关注与声量，如《完美关系》里的斯黛拉，《精英律师》里的栗娜，《我的前半生》里的唐晶，……已知在这100名电视剧爱好者的女性中有31名认为自己有主角光环意识，男性中有19名认为自己有主角光环意识，根据以上数据请同学们制作出列联表，并且判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系？‎ 参考公式及数据：，其中.‎ ‎（）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），；（2）列联表见解析，不能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据观看集数在集内的人数求得对应的频率，利用频率之和为，以及中位数列方程，解方程求得的值.‎ ‎（2）根据已知条件填写列联表，计算出 - 25 -‎ 的值，由此判断出不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系.‎ ‎【详解】（1）∵观看集数在内的人数为15，‎ ‎∴观看集数在内的频率为； ‎ 由频率分布直方图得，化简得，①‎ 由中位数可得，化简得，②‎ 由①②解得，.‎ ‎（2）根据题意得到列联表：‎ 男 女 总计 观剧有主角光环意识 ‎19‎ ‎31‎ ‎50‎ 观剧没有主角光环意识 ‎31‎ ‎19‎ ‎50‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎∴， ‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与是否观剧带有主角光环意识有关系.‎ ‎【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查列联表独立性检验，属于中档题.‎ ‎19.两个边长均为2正方形与按如图的位置放置，为的中点，（）.‎ ‎（1）当时，证明：平面；‎ ‎（2）若在平面上的射影为的中点，与平面所成角为30°，求的值.‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）,是的中点，取的中点，利用面面平行得证.‎ ‎（2）过作垂直于平面，垂足为，作中点,求得，，利用余弦定理求得得解.‎ ‎【详解】（1）证明：如图，取的中点，的中点为，连接，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴是的中点，‎ ‎∴，又平面，‎ ‎∴平面 同理可证，平面，又∵，‎ ‎∴平面平面.‎ 又平面，∴平面.‎ ‎（2）解：过作垂直于平面，垂足为，作中点,‎ - 25 -‎ 因为在平面上的射影为的中点， ‎ ‎∴，‎ ‎ , ， ‎ 在△中，.‎ 由与平面所成角为30，∴.‎ 在△中，由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴，.‎ ‎【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行及与空间角有关的探索性问题.‎ 与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题，常利用空间向量法求解,求解时，一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角公式;也可转化为利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.‎ ‎20.函数.‎ ‎（1）讨论在上的最大值；‎ ‎（2）有几个（，且为常数），使得函数在上的最大值为？‎ ‎【答案】（1）；（2）两个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ ‎（1）利用导数求出在上的最大值为，然后当时，，，，从而可得到答案；‎ ‎（2）当时，，然后分、两种情况讨论，当时，，记，利用导数得到在上有唯一的零点即可.‎ ‎【详解】（1），， ‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎∴在上的最大值为；‎ 又当时，，，‎ 此时，， ‎ 所以在上的最大值为.‎ ‎（2）当时，.‎ ‎①当时，，的最大值为，‎ ‎∴，； ‎ ‎②当时，的最大值为，∴.‎ - 25 -‎ 令，则有，‎ 记，‎ 则，.‎ 当时，，单调递减，又∵，‎ ‎∴在上有唯一的零点.‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ ‎∴，又∵，‎ 所以在上有唯一的零点，在上的函数值恒大于0.‎ 即在上有唯一的零点.‎ ‎∴在上有唯一解，.‎ 综上所述，有两个符合题意.‎ ‎【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论的思想，属于较难题.‎ ‎21.如图，椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为，，过，分别作两条相互垂直的直线，，分别交椭圆于，，，四点，，的交点为，三角形面积的最大值为1.‎ - 25 -‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当四边形的面积最小时，求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，根据面积公式及基本不等式可得，计算求得，进而可得即可得出结果；‎ ‎（2）设直线：，则直线：，分别与椭圆方程联立，根据弦长公式及韦达定理化简可得，令，化简可得，根据二次函数性质可知，进而得出，通过直线方程联立可求得交点坐标.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ 设，，则， ‎ ‎，‎ 当且仅当时取得最大值，∴，，‎ ‎∵椭圆的离心率，∴，‎ 又由，∴椭圆的方程为.‎ - 25 -‎ ‎（2）设直线：，由，‎ 设，，则，，‎ ‎， ‎ 若，，这时，， ‎ 若，则直线：，‎ 由，‎ 同理得，‎ ‎∴.‎ 设，则（），‎ ‎，‎ 当时，，∴，‎ 这时，，‎ 当时，：，：，‎ 由 当时，：，：，‎ - 25 -‎ 由 故当最小时，点的坐标为或.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的关系，考查韦达定理的应用和弦长公式，考查基本不等式及二次函数在求最值中的应用，属于综合题，难度较难.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出及直线的直角坐标方程，并指出是什么曲线；‎ ‎（2）设是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1），，表示以为圆心，为半径圆；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)消去参数，即得的直角坐标方程，利用，，可将直线方程化为普通方程；‎ ‎（2）计算点到直线的距离，再讨论直线与曲线的位置关系，即可得到答案；‎ ‎【详解】（1）消去参数，即得的直角坐标方程为， ‎ 所以，当时，表示以为圆心，为半径的圆. ‎ 因为，‎ - 25 -‎ 所以.‎ 因为，，‎ 所以直线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）圆心到直线的距离为， ‎ 若，即，圆与直线相交，点到直线距离的最小值为0， ‎ 若，即时，则点到直线的距离的最小值为.‎ 综上所述，当时，圆与直线相交，点到直线的距离的最小值为0；‎ 当时，则点到直线的距离的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、点到直线距离公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知（，）.‎ ‎（1）当，时，解不等式；‎ ‎（2）若的最小值为2，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当，时，利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，得到，利用基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）当，时，，‎ - 25 -‎ 所以，‎ 当时，，解得； ‎ 当时，，无解； ‎ 当时，，解得.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）依题意，，‎ ‎， ‎ ‎.‎ 取等号的条件为，即时，‎ 联立，得，‎ 因此的最小值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.‎ - 25 -‎