2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年广西南宁市第三中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设全集，，集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据一元一次不等式的解法求得集合，结合指数函数单调性求得集合，根据补集和交集的定义求得，最后求得结果.‎ 详解：由题得,,‎ 所以, ,故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，解决该题的关键是首先求出两个集合，确定出两个集合中的元素都有哪些，之后依据补集和交集的运算求得结果.‎ ‎2．若，则＝‎ A. B. 1 C. 5 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】= ,则|z|=1.‎ 故选：B.‎ ‎3．已知向量 .若与平行，则 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先根据向量的加法坐标运算法则求得的坐标，之后结合向量共线时坐标所满足的条件，得到关于的等量关系式，从而求得结果.‎ 详解：由题意得，由两向量平行可得，故选D.‎ 点睛：该题属于向量的有关概念及运算的问题，解决该题的关键是知道向量加法运算坐标公式，以及向量共线坐标所满足的条件，从而求得结果.‎ ‎4．设等比数列满足，则公比 ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题中的条件，找出等比数列的首项和公比所满足的等量关系式，两式相除，消元求得公比的值.‎ 详解：‎ 得：故选择B.‎ 点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，利用通项公式，将题的条件转化为关于的等量关系式，消元求得公比.‎ ‎5．将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为（ ）‎ A.6 B.10‎ C.20 D.30‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有C53=10种情况，‎ 剩下有2个盒子，2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；‎ 由分步计数原理，共有1×10=10种，‎ 故选B．‎ ‎6．设随机变量的概率分布列为，其中，那么的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于的等量关系式，最后求得结果.‎ 详解：根据分布列的性质可得，‎ ‎，‎ 解得，故选D.‎ 点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数所满足的等量关系式，最后求得结果.‎ ‎7．执行如图所示程序框图，输出的（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】依次运行框图中的程序，可得：‎ 第一次， ，不满足条件，继续运行；‎ 第二次， ，不满足条件，继续运行；‎ 第三次， ，不满足条件，继续运行；‎ 第四次， ，满足条件，输出4．选B．‎ ‎8．在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中， 平面BCD，且，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，分别取的中点，连，‎ 则，‎ ‎∴即为异面直线和所成的角（或其补角）．‎ 又由题意得，.‎ 设，则.‎ 又,‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线AC与BD所成角为，其余弦值为．选A．‎ 点睛：‎ 用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．‎ ‎9．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先应用三角函数的诱导公式，根据，求得，再利用诱导公式，将转化为，最后应用余弦的倍角公式从而求得结果.‎ 详解： ，‎ 故选择C．‎ 点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，所涉及的知识点有诱导公式和余弦的倍角公式，在解题的过程中，需要时刻保证相应的公式的正确性，最后算出结果即可.‎ ‎10．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,‎ ‎ ,‎ ‎ 切线方程为 ,即,‎ 与坐标轴的交点为(0.2)和(1,0)‎ 所以与坐标轴围成的三角形的面积为 ,故选D.‎ ‎11．抛物线与直线交于A，B两点，其中A点的坐标是．该抛物线的焦点为F，则（ ）‎ A. 7 B. C. 6 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上，得到点既在抛物线上，又在直线上，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程，从而求得的值，联立方程组求得另一个交点的坐标，之后结合抛物线的定义求得最后的结果.‎ 详解：将点A的坐标代入抛物线与直线，得，‎ 所以得抛物线与直线，‎ 由得或，所以得，‎ 又抛物线的准线是，‎ 再结合抛物线的定义得，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题，在解题的过程中，需要明确两曲线相交交点的特征以及点在曲线上的条件，求得参数的值，从而确定抛物线和直线的方程，再联立方程组求得直线与抛物线的另一个交点，之后借助抛物线的定义，将其转化为到准线的距离即可求得结果.‎ ‎12．已知,若函数有四个零点,则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先根据题中所给的函数的解析式判断函数的奇偶性，从而得到图像的对称性，这就可以将函数有四个零点，转化为有两个正的零点，即对应的方程有两个正根，之后转化为函数图像与直线有两个不同的交点，利用最值解决问题.‎ 详解：由题意得函数是偶函数，‎ 所以要使函数有四个零点，只需要方程有两个正根，‎ 即有两个正根。设，则 ‎∴当时，单调递增；‎ 当时，单调递减.‎ ‎∴当 ，‎ 故要使有两个正根，即和有两个交点，需满足，‎ ‎∴实数的取值范围是，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，通过函数为偶函数，可以将研究区间从简化为，之后通过导数研究出对应函数的单调性，之后将根的问题转化为图像与直线的交点的个数问题，将问题简单明了化.‎ 二、填空题 ‎13．实数， 满足约束条件： ，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，可知是一个封闭的三角区，结合目标函数的类型，可知其为截距型的，分析找到动直线过哪个点时使得目标函数取得最大值，联立方程组，求得对应点的坐标，代入目标函数解析式，最后求得最大值.‎ 详解：画出可行域可知，当目标函数经过点时取到最大值，最大值为 ‎.‎ 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解决该题的关键是根据题中的约束条件画出相应的可行域，之后根据目标函数的类型，确定其几何意义，结合图形，判断出目标函数在哪个点处取得最大值，即最优解是哪个点，代入求值即可.‎ ‎14．的展开式中含项的系数是__________（用数字作答）．‎ ‎【答案】-20.‎ ‎【解析】分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的幂指数相等，从而求得的值，再代入通项公式，求得对应的项的系数，得出结果.‎ 详解：由二项式定理可知，展开式的通项为 ‎ ， ‎ 要求解的展开式中含的项，则，‎ 所求系数为．‎ 点睛：该题考查的是有关二项式定理的有关内容，解题的关键是掌握二项展开式的通项公式，之后对项的幂指数做相应的要求，得出对应的的值，之后再代入通项公式求得项的系数，此处还需要分清项的系数与二项式系数.‎ ‎15．将函数的图像向左平移个单位，若所得的图像关于直 线对称，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：在解题的过程中，首先利用辅助角公式将函数解析式化简，得到，之后利用图像的变换原则，求得平移后的图像所对应的函数解析式，再利用图像关于直线对称，求得，再结合的条件，求得最后的结果.‎ 详解：将函数的图像向左平移个单位，‎ 得到的图像，‎ 依题意，所得图像关于直线对称，‎ 则：，，即，‎ ‎∵，∴当时，最小值．‎ 点睛：该题所考查的是有关三角变换的有关问题，在解题的过程中，最关键的一步就是先化简函数解析式，之后应用左右评议的原则求得平移后的解析式，结合函数的性质，求得满足图像关于直线对称的条件，结合，求得最后的结果.‎ ‎16．设F为双曲线C： 的右焦点，过F且斜率为的直线与双曲 线C的两条渐近线分别交于两点，且，则双曲线C的离心率为______．‎ ‎【答案】2或 ‎【解析】若，则由图1可知，渐近线的斜率为，，在 中，由角平分线定理可得，所以，，所以，.若，则由图2可知，渐近线为 边AF的垂直平分线，故△AOF为等腰三角形，故，，，即该双曲线的离心率为2或.‎ 三、解答题 ‎17．已知是等差数列， 是其前项和， ， ，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当取何值时最大，并求出这个最大值.‎ ‎【答案】(1) ; (2) 时， 最大值为30.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）令an≥0，解得n≤6．可得n=5，或6时，Sn取得最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1+a3=16，S4=28．∴2a1+2d=16，4a1+d=28，‎ 联立解得：a1=10，d=﹣2．‎ ‎∴an=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n．‎ ‎（2）令an=12﹣2n≥0，解得n≤6．‎ ‎∴n=5或6时，Sn取得最大值，为S6==30．‎ ‎18．已知三个内角所对的边分别是，若 ‎.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求周长的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：第一问利用正弦定理将式子中的正弦值都转化为角的对边，从而得到边之间的关系，整理得出，利用余弦定理确定出.，第二问利用正弦定理，将各边转化为角的式子，再利用三角形内角和以及诱导公式，将三角形的周长化为 ‎，再利用差角公式以及辅助角公式化为，利用三角形内角的取值范围以及正弦型函数的最值的求法，最后求得相应的最值.‎ 详解：（1）由正弦定理得，∴，‎ ‎∴，即又因，所以.‎ ‎（2）由正弦定理 ‎∴，，，‎ ‎∴周长 ‎ ‎ ‎ ‎∵，∴‎ ‎∴当即时 ‎∴当时，周长的最大值.‎ 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的考点有正弦定理、余弦定理、三角形内角和、差角公式、辅助角公式等，尤其在解第二问的时候，将周长转化为关于的函数就显得尤为重要.‎ ‎19．我校的课外综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到 市气象观测站与市医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到 如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差 (°C)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数 (个)‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.‎ ‎（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程．‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?‎ 参考数据：‎ ‎ .‎ 参考公式：回归直线，其中 ‎.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 该小组所得线性回归方程是理想的．‎ ‎【解析】分析：第一问根据题中所给的数据以及相应的公式中所涉及的数据，利用求回归直线方程中的系数公式，求得对应的系数，从而求得回归直线方程，第二问将相应的自变量代入直线方程，求得对应的函数值，再求与实际的值的差距，看看是否满足题中的条件，最后求得结果.‎ 详解：（1）∵，，‎ ‎，．‎ ‎∴，∴．‎ 故关于的回归直线方程: ．‎ ‎（2）当时,, ； 而当时,, ．‎ ‎∴该小组所得线性回归方程是理想的．‎ 点睛：该题考查的是有关线性回归的问题，一是根据题中所给的数据，如何利用相应的条件求得回归直线方程中的系数，从而确定回归直线方程，二是如何判断其是否理想，就得需要死死地抓住题的条件，将自变量代入直线方程，求得的结果与实际的值找差距，满足条件与否显而易见.‎ ‎20．如图，在四棱锥中， ，且.‎ ‎（1）证明：平面⊥平面； ‎ ‎（2）若， ，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB//CD，就可证明出AB⊥平面PAD.‎ 进而证明出平面PAB⊥平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设是平面的法向量， 是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二面角的平面角.‎ 试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎（2）在平面内做，垂足为，‎ 由（1）可知， 平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得， ， ， .‎ 所以， ， ， .‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ 点睛:高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎21．椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于两点（直线不与轴重合），为椭圆的左顶点，试证明：．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）法一：由焦点坐标得，进而得到关系，设椭圆方程，带点求出；法二：用定义结合距离公式求，再求；法三：利用通径长公式得关系，再结合，求出；（2）设的方程为，与椭圆方程联立消去，得，于是由韦达定理有，法一：用坐标计算，结合韦达定理化简得，于是；法二：设弦的中点 ‎，根据韦达定理有，再由，用距离公式计算得，弦长公式计算，利用韦达定理化简得，由此有，因此.‎ 试题解析：（1）法一：由题意，设椭圆方程为，‎ 由已知则有，，联立解得；‎ 法二：由结合距离公式直接求出，结合，求出；‎ 法三：利用通径长公式可得，再结合，求出和，‎ 故所求椭圆方程为； （4分）‎ ‎（2）设直线的方程为：，‎ 由得：，‎ 因为点在椭圆内部，直线必与椭圆相交于两点，即恒成立，‎ 设，则； （8分）‎ 法一：则 ‎ ‎，‎ 将代入上式整理可得，‎ ‎，则的大小必为定值； （12分）‎ 法二：设弦的中点，则，，‎ 所以，‎ 而由弦长公式得，‎ 由此则有，即，‎ 则知点在以线段为直径的圆上，故，命题得证.‎ ‎【考点】1、椭圆方程的求法；2、直线与椭圆的关系；3、韦达定理；4、向量的数量积与几何意义；5、圆的性质.‎ ‎22．已知函数，其中．‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）记的导函数为．当时，证明：存在极小值点，且．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：第一问对函数求导，利用两直线垂直，斜率所满足的条件求得切线的斜率，即函数在对应点处的导数，从而求得，第二问写出函数的解析式，对其求导，根据，从而将研究的符号转化为研究的符号，对其再求导，从而确定出函数在给定区间上的变化趋势，以及极小值点所满足的条件，最后证得结果.‎ 详解：（1）‎ 依题意，有 ，解得.‎ ‎（2）令，‎ 所以．‎ 因为，所以与同号．‎ 设，则 ．‎ 所以对任意，有，故在单调递增．‎ 因，所以，，‎ 故存在，使得．‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ 所以若，存在，使得是的极小值点．‎ 令，得到，所以．‎ 点睛：该题属于导数的综合应用问题，一是要明确两直线垂直时斜率的关系，再结合导数的几何意义求导对应的参数的值，第二问研究的是函数的极值问题，通过研究导数的符号确定函数的单调区间，从而确定函数在哪个点处取得极值，在这里需要注意的是对导函数的转化问题，从而将函数解析式简化.‎