江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试（理）数学 Word版含解析

江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试（理）数学 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019年江西省鹰潭市高考数学一模试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知复数，则复数的实部为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴复数的实部为． ‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2.已知集合，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合研究对象是定义域，集合的研究对象是值域，分别求得的范围，由此得出选项.‎ ‎【详解】集合研究对象是定义域，即，解得.集合的研究对象是值域，由于，即.所以集合是集合的子集.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查函数的定义域与函数的值域，还考查了子集的知识，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎3.如图1为某省2018年1～4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（　　）‎ A. 2018年月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B. 2018年月的业务量同比增长率超过，在3月最高 C. 从两图来看，2018年月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合所给统计图确定选项中的说法是否正确即可.‎ ‎【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，‎ 差值为，接近2000万件，所以A是正确的；‎ 对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；‎ 对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；‎ 对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4.已知向量与的夹角为，，，则（　　）‎ - 23 -‎ A. 1 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件对两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出．‎ ‎【详解】解：根据条件，；‎ ‎∴解得，或（舍去）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程和 ．‎ ‎5.曲线在点处的切线的倾斜角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，在处的导数就是切线的斜率，然后求出倾斜角即可．‎ ‎【详解】解：可得，，， ‎ 设切线的倾斜角为， 可得 ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查计算能力，是基础题．‎ ‎6.已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（　　）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍．‎ ‎【详解】解：依题意 ‎,‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的最小值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．‎ ‎7.在如图算法框图中，若，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据积分和二项式定理的内容求出，，结合程序框图进行模拟运算即可．‎ 详解】解：，‎ 二项式的展开式中的系数为，即，‎ 根据程序图 若填，，，S不满足条件. ‎ ‎，，S不满足条件．‎ ‎，，则满足条件．‎ 输出，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，求出，的值，利用模拟运算法是解决本题的关键．‎ ‎8.已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过向抛物线的准线作垂线，垂足为，根据和在坐标求出的值，进而可得出的值，再计算出即可．‎ ‎【详解】解：过向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，故．‎ 又在抛物线上，故，于是，解得，‎ - 23 -‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.‎ 故选：B. ‎ - 23 -‎ ‎10.设为双曲线右支上一点，，分别为该双曲线的左右焦点，，分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若，直线交轴于点，则的内切圆的半径为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先应用向量的数量积等于零，可以断定向量垂直，从而得到三角形是直角三角形，之后应用直角三角形的内切圆的半径等于两直角边和减去斜边长，再结合双曲线的定义最后求得结果.‎ 详解：根据题意，可知是直角三角形，根据直角三角形的内切球的半径公式以及双曲线的定义可知，求得，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关直角三角形的内切圆的半径公式，一是要注意向量垂直的条件为向量的数量积等于零的应用，再者就是双曲线的定义要铭记.‎ ‎11.已知定义在上的函数满足，且时，，则函数的零点个数是（　　）‎ A. 4 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据可知，函数的周期为，画出与的图象如下图所示，由图可知它们交点个数为，也即的零点个数为个.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查周期函数图像的画法，考查分段函数图像的画法，考查含有绝对值函数的图像画法.对于分段函数，需要将图像每一段都画出来，题给函数第一段函数含有两个绝对值，则分成两段，去绝对值来画.的图像是由的图像保留，然后关于轴对称再画另一半所得.‎ ‎12.设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则（　　）‎ A. 是常数列 B. 不是单调数列 C. 是递增数列 D. 是递减数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据题意得，…，‎ ‎，又曲线的最低点为，则当时 当时，当时 …，则，，，，：‎ ‎， ‎ - 23 -‎ 则 所以是递减数列，故选 点睛：本题根据题意总结出最低点的规律，计算三角形面积时采用了点到线的距离为高，在计算出底边长度，从而计算出面积，这样虽计算量较大，但是最后好多可以约去，得出函数的单调性，本题也可以通过分割三角形计算面积 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设变量，满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，将目标函数化为，利用数形结合即可的得到结论．‎ ‎【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由得直线l：，‎ 平移直线l，由图象可知当直线l经过点时截距最小，此时最大，．‎ 即的最大值是6。‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．‎ ‎14.设的三个内角的对边分别是，若，，，那么角的大小为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得角和．再利用正弦定理即可得出的值和角，根据三角形的内角和定理可求的值．‎ ‎【详解】解：，‎ 为钝角，可得，．‎ 由正弦定理，可得．‎ 为锐角，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，以及推理能力与计算能力，属于基础题．‎ - 23 -‎ ‎15.一名同学想要报考某大学，他必须从该校的8个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若专业不能作为第一、第二志愿，则他共有______种不同的填法（用数字作答）．‎ ‎【答案】5040‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分2步进行分析：①从除之外的7个专业中任选2个，作为第一、第二志愿，②在剩下的6个专业中任选3个，作为第三、四、五志愿，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，分2步选专业：‎ ‎①专业不能作为第一、第二志愿有种选法， ‎ ‎②第三、四、五志愿，有种选法， ‎ 则这名同学共有种不同的填报方法， ‎ 故答案为：5040‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．‎ ‎16.已知正三棱柱底面边长为，高为3，圆是三角形的内切圆，点是圆上任意一点，则三棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出三角形的内切圆的半径，再求出三角形的外接圆的半径，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的体积．‎ ‎【详解】解：∵正三棱柱底面边长为，‎ ‎∴等边三角形的内切圆的半径为，‎ 的外接圆的半径为．‎ 设球心到上下底面的距离分别为，，‎ - 23 -‎ 则，解得．‎ ‎∴．‎ 则三棱锥的外接球的体积为．‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键，是中档题．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.已知等比数列为递增数列，且，，数列满足：，．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列前项和．‎ ‎【答案】（I），（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用已知有条件，建立方程组求出数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项求和求出数列的和．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）对于数列，由题得（，）‎ 解得或，‎ 又为递增数列，则，‎ ‎，‎ - 23 -‎ 数列满足：，，‎ 数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∴。‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求和平面所成的角的大小．‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出．又，从而平面．进而为和平面所成的角，由此能示出和平面所成的角的大小． ‎ - 23 -‎ ‎（2）推导出，从而平面，进而平面．过点作，垂足为，连接，则是二面角的平面角．由此能求出二面角的正弦值．‎ ‎【详解】解：（1）在四棱锥中，∵平面，平面，‎ ‎∴．又，，∴平面．‎ 故在平面内射影为，从而为和平面所成的角．‎ 在中，，故．‎ 所以和平面所成角的大小为．‎ ‎（2）在四棱锥中，∵平面，平面，∴．‎ 由条件，，∴平面．‎ 又∵平面，∴．由，，可得．‎ ‎∵是的中点，∴．又∵，∴平面．‎ 过点作，垂足为，连接，如图所示．‎ ‎∵平面，在平面内的射影是，‎ ‎∴．∴是二面角的平面角．‎ 由已知∵，∴设，‎ 则，，，．‎ 中，．‎ 在中，∵，∴，得．‎ - 23 -‎ 在中，．‎ 所以二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面角的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎19.已知椭圆. ‎ ‎（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由a2=2，b2=n，所以c2=2-n，又，得n （2）若存在点M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°， 则直线AM和BM的斜率存在，分别设为k1，k2．等价于k1+k2=0． 依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x+2）．与椭圆方程联立，利用△＞0．求出．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过令，求出m．‎ ‎【详解】解：（1） 因为 ，，所以 ．‎ - 23 -‎ 又 ，所以有 ，得 ．‎ ‎    （2）若存在点 ，使得 ，‎ 则直线 和 的斜率存在，‎ 分别设为 ，，且满足 ．‎ 依题意，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ．‎ 由 得 ．‎ 因为直线 与椭圆 有两个交点，所以 ．‎ 即 ，解得 ．‎ 设 ，，则 ，，‎ ‎ ，．‎ 令 ，即 ，‎ 即 ，‎ 当 时，，‎ 所以 ，化简得，，所以 ．‎ 当 时，检验也成立．‎ 所以存在点 ，使得 ．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，考查转化思想的应用，存在性问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力，属于难题 - 23 -‎ ‎20.近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．‎ 附注：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；‎ ‎②参考数据：，，，，．‎ ‎（Ⅰ）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中（单位：年）表示二手车的使用时间，（单位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：‎ ‎5.5‎ ‎8.7‎ ‎1.9‎ ‎301.4‎ ‎79.75‎ ‎385‎ ‎①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎②该汽车交易市场对使用8年以内（含8年）的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上（不含8年）的二手车收取成交价格 - 23 -‎ 的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．‎ ‎【答案】（1）（2）①，②万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图求得该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在与的频率，作和估计的概率；‎ ‎（2）①由得，，即关于的线性回归方程为 ．分别求得与的值，则关于的线性回归方程可求，进一步得到关于的回归方程；‎ ‎②根据①中求出的回归方程和图1，对成交的二手车在不同区间逐一预测，即可求得该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金．‎ ‎【详解】解：（1）由题得，二手车使用时间在的频率为，‎ 在的频率为， ‎ ‎∴；‎ ‎（2）①由题得，，即关于的线性回归方程为．‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为；‎ ‎②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.2；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.36；‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.28；‎ 使用时间在平均成交价格为，对应的频率为0.12；‎ - 23 -‎ 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为0.04．‎ ‎∴该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元．‎ ‎【点睛】本题考查回归方程的求法，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．‎ ‎21.已知函数的图象在处的切线过点．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，．证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出切线方程，代入点的坐标，求出n的值，求出的解析式，求出导数，讨论m的取值范围，写出函数单调区间即可（Ⅱ）求出函数的导数，结合二次函数的性质证明即可.‎ ‎【详解】由题意的定义域是，，‎ 故，，故切线方程是：，‎ 又切线过，故，解得：，故；‎ Ⅰ，当时，，在递增，‎ 当时，令，解得：或舍，‎ 在递增，在递减，‎ 综上，时，在递增，‎ - 23 -‎ 时，在递增，在递减；‎ Ⅱ证明：，故，‎ 有两个极值点，，即有2个相异实根，，‎ ‎，，即，‎ ‎，‎ 令，，，，‎ 在递减，，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了切线方程，函数的单调性，利用导数证明不等式问题，涉及分类讨论思想，属于难题.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标系方程；‎ ‎（2）曲线：分别交直线和曲线交于、，求的最大值．‎ ‎【答案】(1) , (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2‎ - 23 -‎ ‎）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用三角函数的性质求出结果．‎ ‎【详解】解:(1)∵,∴直线的普通方程为: ,‎ 直线的极坐标方程为. ‎ 曲线C1的普通方程为,‎ ‎∵‎ ‎∴C1的参数方程为: ‎ ‎(2)直线的极坐标方程为，令，则 所以 ‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴时，即时，取得最大值 ‎【点睛】本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的定义域为，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（I）讨论的范围，去绝对值符号，解不等式； ‎ ‎（II）求出的最小值，令最小值大于零即可得出的范围．‎ ‎【详解】解：（I）由已知不等式，得，‎ 当时，不等式为，解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，此时无解．‎ 综上：不等式的解集为．‎ ‎（II）若的定义域为，则恒成立．‎ ‎∵，当且仅当时取等号．‎ ‎∴，即．‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．‎ - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎