2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第四次月考数学（理）试题（解析版）

2020届江西省宜春市上高二中高三上学期第四次月考数学（理）试题（解析版）

2020 届江西省宜春市上高二中高三上学期第四次月考数学 （理）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先解指数型不等式，得到集合 进而求其补集，然后与集合 取交集即可. 【详解】 解:集合 ， 所以 故选：C 【点睛】 本题考查交集与补集运算，考查不等式的解法，考查计算能力，属于常考题型. 2．复数 满足： （ 为虚数单位）， 为复数 的共轭复数，则下列说法正 确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知求得 z，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】 由（z﹣2）•i＝z，得 zi﹣2i＝z， ∴z ， ∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i， ， ， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 1 2 xX x e  = >    2 }6{ | 0Y x x x= + − ≤ ( )RC X Y∩ = [ )3, 2ln− − [ ]2, 2ln− − [ ]3, 2ln− − [ ]2,2ln− { }2 ,X x x ln= > − Y { }2 ,X x x ln= > − { }2 , { | 3 2}RC X x x ln Y x x= ≤ − = − ≤ ≤ ( ) { }3 2RC X Y x x ln∩ = − ≤ ≤ − z ( 2) iz z− ⋅ = i z z 2 2iz = 2z z⋅ = | | 2z = 0z z+ = ( ) ( )( ) 2 12 11 1 1 i ii ii i i − +−= = = −− − + 2| | 2z z z⋅ = = 2z = 2z z+ = 3．平面直角坐标系 xOy 中，点 在单位圆 O 上，设 ，若 ，且 ，则 的值为 　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】 ， ， ， ， 则 ， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键． 4．设 是首项为正数的等比数列,公比为 则“ ”是“对任意的正整数 ”的 A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得， ，故是必要不充分条 件，故选 C. 【考点】充要关系 ( )0 0,P x y xOP α∠ = 3,4 4 π πα  ∈   3sin 4 5 πα + =   0x ( ) 3 10 2 10 2 10 − 3 10 − 3,4 4 π πα  ∈   ,4 2 π πα π ∴ + ∈   3sin 4 5 πα + =   4cos 4 5 πα ∴ + = −   0 cos cos cos cos sin sin4 4 4 4 4 4x π π π π π πα α α α      = = + − = + + +             4 2 3 2 2 5 2 5 2 10 = − × + × = − 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法： ①定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假．并注意和图示相结合，例如 “p⇒q”为真，则 p 是 q 的充分条件． ②等价法：利用 p⇒q 与非 q⇒非 p，q⇒p 与非 p⇒非 q，p⇔q 与非 q⇔非 p 的等价关系， 对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． ③集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A＝B，则 A 是 B 的充要条件． 5．函数 的图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出 f（x）的单调性，问题得以解决． 【详解】 因为 x﹣ ＞0，解得 x＞1 或﹣1＜x＜0， 所以函数 f（x）=ln（x﹣ ）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）． 所以选项 A、D 不正确． 当 x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣ 是增函数， 因为 y=lnx 是增函数，所以函数 f（x）=ln（x- ）是增函数． 故选 B． 【点睛】 函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从 函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图 象. 6．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） ( ) 1lnf x x x  = −   1 x 1 x 1 x 1 x 2 sin3y x= − sin3 cos3y x x= + A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移个 单位长度 D．向左平移个 单位长度 【答案】C 【解析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 【详解】 因为 ， 所以将其图象向左平移 个单位长度， 可得 ， 故选 C. 【点睛】 该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图 象的平移变换的原则，属于简单题目. 7．已知各项不为 0 的等差数列 满足 ，数列 是等比数列且 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得： ， ，则： . 本题选择 C 选项. 8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ） 3 4 π 2 π 4 π 2 π sin3 cos3 2sin 3 4y x x x π = + = +   4 π ( )2sin 3 2sin 3 2sin34 4y x x x π π π  = + + = + = −     { }na 2 5 7 82 2 0a a a− + = { }nb 7 7b a= 2 12b b 4 9 3 2 9 4 2 3 ( ) ( )2 2 2 5 7 8 7 7 7 7 72 2 2 2 2 3 2 0a a a a d a a d a a− + = − − + + = − = 7 7 30, 2a a≠ ∴ = 2 2 2 12 7 7 9 4b b b a= = = A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面 面积的最大值。 【详解】 由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图） ，可在边长为 的正方体 中截取， 由图可知， ， ， 所以侧面 ， 侧面 ， 侧面 故侧面的面积最大值为 故选：B 【点睛】 本题考查三视图还原直观图，考查学生的空间想象能力，属于中档题。 9．已知变量 满足约束条件 若目标函数 的最 2 2 3 2 5 2 2 P ABC− 1 1 1 2CP = + = 1 1 2AP = + = 1 1 2AC = + = 1 2 2 2ABPS AB AP∆ = ⋅ ⋅ = 1 2 2 2BCPS BC CP∆ = ⋅ ⋅ = 1 3sin2 2ACPS AC CP ACP∆ = ⋅ ⋅ ∠ = 3 2 ,x y 6, { 3 2, 1, x y x y x + ≤ − ≤ − ≥ ( 0, 0)z ax by a b= + > > 小值为 2，则 的最小值为 A． B．5+2 C． D． 【答案】A 【解析】【详解】 由约束条件可得到可行域如图所示， 目标函数 ，即 当过点 时目标函数取得最小值 ，即 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 时等号成立， 所以 的最小值为 ，故选 A. 10．设 为数列 的前 项和， ， ，则数列 的前 20 项和为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 相减得 由 得出 ， = 1 3 a b + 2+ 3 6 8+ 15 2 3 ( 0, 0)z ax by a b= + > > a zy xb b = − + (1,1)A 2 2a b+ = 1 3 1 1 3 1 3 1 3( )( ) ( 4) (2 4) 2 32 2 2 b a b aa ba b a b a b a b + = × + + = × + + ≥ × ⋅ + = + 3b a a b = 3b a= 3b a a b + 2 3+ nS { }na n 1 1a = 1 2n na S+ = 1{ } na 19 3 1 2 2 3 − × 19 7 1 4 4 3 − × 18 3 1 2 2 3 − × 18 7 1 4 4 3 − × 1 2n na S+ = ∴ 12n na S −= ( )1 3 2n na a n+ = ≥ 1 1a = 2 2 12, 3a a a= ≠ ( ) 2 1, 1 2 3 , 2nn n a n− ==  ≥ 1 na 2 1, 1 1 1 , 22 3 n n n − =    ≥    0 1 18 1 2 20 1 1 1 1 1 1 1...... 1 ......2 3 3 3a a a       ∴ + + + = + + + +              = 故选 D 点睛：已知数列的 与 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一 定要注意 n 的范围，有的时候要检验 n=1 的时候，本题就是检验 n=1,不符合，通项是分 段的. 11．已知函数 与函数 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】通过两函数图象关于 轴对称，可知 在 上有解； 将问题转化为 与 在 上有交点，找到 与 相 切时 的取值，通过图象可得到 的取值范围. 【详解】 由 得： 由题意可知 在 上有解 即： 在 上有解 即 与 在 上有交点 时， ，则 单调递增； ， ，则 单 调递减 当 时，取极大值为： 函数 与 的图象如下图所示： 19 19 111 1 3 131 1 112 2 2 31 3   −       = + = + ⋅ −       −    18 7 1 4 4 3 − × na nS 2( ) lnxf x e x x= + + 2( ) 2xg x e x ax−= + − ( , ]e−∞ − ( , 1]−∞ − 1( , ]2 −∞ − 1( , ]e −∞ − y ( ) ( )f x g x= − ( )0,x∈ +∞ y x a= + ln xy x = ( )0, ∞+ y x a= + ln xy x = a a ( ) 22xg x e x ax−= + − ( ) 22xg x e x ax− = + + ( ) ( )f x g x= − ( )0,x∈ +∞ ln xx a x + = ( )0,x∈ +∞ y x a= + ln xy x = ( )0, ∞+ ln xy x = 2 1 ln xy x −′⇒ = ( )0,x e∴ ∈ 0y′ > ln xy x = ( ),x e∈ +∞ 0y′ < ln xy x = ∴ x e= 1 e y x a= + ln xy x = 当 与 相切时，即 时， 切点为 ，则 若 与 在 上有交点，只需 即： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与 曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围. 12．已知定义在 R 上的奇函数 满足 ，且对任意的 ，都有 ．又 ，则关于 的不等式 在区间 上的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，函数 在 是增函数，故 恒成 立，设 ，可判断函数是单调递减函数，所以当 时， ，可推出 ，又根据函数 的性质画出函数 和 的函数图象，根据图象解不等式. 【详解】 是奇函数， 设 ， 由 ，可知 ， y x a= + ln xy x = 2 1 ln 1x x − = 1x = ( )1,0 0 1 1a = − = − y x a= + ln xy x = ( )0, ∞+ 1a ≤ − ( ], 1a∈ −∞ − B ( )f x (1 ) ( )f x f x+ = − 1 2 1[ 0 ]2x x ∈， ， 1 2( )x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x π− >− ( ) sing x xπ= x ( ) ( )f x g x≥ 3 3[ ]2 2 − ， 3[ ] [ 0 ]2 4 4 π π− − ， ， 3[ ]2 4 π− −， 3[ 1] [ 0 1]2 − − ， ， 3[ 0 ]2 − ， ( )y f x xπ= − 10, 2      ( ) 0f x xπ− ≥ ( ) siny g x x x xπ π π= − = − 10, 2      ( ) 0g x xπ− ≤ ( ) ( )f x g x≥ ( )y f x= ( )y f x= ( )y g x= ( )f x ( )0 0f∴ = 1 2 10 2x x≤ < ≤ 1 2 1 2 ( ) ( )f x f x x x π− >− ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x x xπ− < − 整理为： ， 是增函数， 当 时， ， 即 设 ， ， 是单调递减函数， 当 时， ， 即 ， 当 时， 恒成立，即 ， 又 ， 关于 对称， 又有 ， ， ， 是周期为 的函数， 综上可画出 和 的函数图象， ( ) ( )1 1 2 2f x x f x xπ π− < − ( )y f x xπ∴ = − 10, 2x  ∈   ( ) ( )0 0 0f x x fπ π− ≥ − × = ( ) 0f x xπ− ≥ ( ) siny g x x x xπ π π= − = − cos 0y xπ π π′ = − ≤ ( )y g x xπ∴ = − 10, 2x  ∈   ( ) ( )0 0 sin 0 0 0g x x gπ π− ≤ − × = − = ( ) 0g x xπ− ≤ ∴ 10, 2x  ∈   ( ) ( )f x x g x xπ π− ≥ − ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )1f x f x+ = − ( )f x∴ 1 2x = ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( )1f x f x∴ + = − ( ) ( ) ( )2 1f x f x f x∴ + = − + = ( )f x∴ 2T = ( )y g x= ( )y f x= 由图象可知不等式的解集是 . 故选：C 【点睛】 本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力 ，以 及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为 ，确定函数 是增函数，另一个是判断 的单调性，这样当 时，不等式 转化为 的解集. 二、填空题 13．已知平面向量 、 满足 ， ，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】设平面向量 与 的夹角为 ，计算出 ，然后利用平面向量数量积的定 义和运算律可得出 的值. 【详解】 设平面向量 与 的夹角为 ，由题意可得 ， ，解得 . 因此，向量 与 夹角的余弦值为 . [ ]3 , 1 0,12  − −    ( ) ( )1 1 2 2f x x f x xπ π− < − ( )y f x xπ= − ( )y g x xπ= − 10, 2x  ∈   ( ) ( )f x g x≥ ( ) ( )f x x g x xπ π− ≥ − a b ( )cos ,sina α α= 2b = ( ) 2a a b⋅ + =   a b 1 2 a b θ 1a = cosθ a b θ 2 2cos sin 1a α α= + = ( ) 22 cos 1 2cos 2a a b a a b a a b θ θ∴ ⋅ + = + ⋅ = + ⋅ = + =         1cos 2 θ = a b 1 2 故答案为： . 【点睛】 本题考查平面向量夹角余弦值的计算，涉及平面向量数量积的定义和运算律，考查计算 能力，属于基础题. 14．设 ，则 _____．（不用化简） 【答案】 【解析】 ， ， ，故答案为 . 15．已知函数 为偶函数，若曲线 的一条切线的斜率为 ，则该切点 的横坐标等于______． 【答案】 【解析】函数 为偶函数，利用 ， 可得： ， 利用导数的几何意义即可得出． 【详解】 函数 为偶函数， ，即 ， 可得： ． ， ， 设该切点的横坐标等于 ，则 ， 令 ，可得 ，化为： ，解得 ． ，解得 ． 则该切点的横坐标等于 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属 1 2 1 1 1 1( ) 1 2 3 4 2 1f n n = − + − + + − ( 1) ( )f k f k+ = + 1 1 2 1 2k k −+ ( ) 1 1 1 11 ...2 3 4 2 1f n n = − + − + + − ( ) 1 1 1 1 1 11 1 ...2 3 4 2 1 2 2 1f k k k k ∴ + = − + − + + − +− + ( ) 1 1 1 11 ...2 3 4 2 1f k k ∴ = − + − + + − ( ) ( ) 1 11 2 1 2f k f k k k ∴ + − = −+ 1 1 2 1 2k k −+ 于中档题． 16．已知 为锐角三角形，满足 ， 外接圆的圆心为 ，半径为 1，则 的取值范围是______. 【答案】 【解析】利用正弦定理，将 转化为边，得 到 ，将所求的 转化成 ，结合 ，全部 转化为 的函数，再求出 的范围，从而得到答案. 【详解】 根据正弦定理 ， 将 转化为 即 ，又因 为锐角，所以 . 所以 因为 是锐角三角形， 所以 ，所以 ，得 ， 所以 ABC∆ ( )2 2 2sin sin sin sin sin tanB C B C A A= + − ABC∆ O ( )AA B ACO +⋅   72 3, 2  − − −   ( )2 2 2sin sin sin sin sin tanB C B C A A= + − 6A π= ( )AA B ACO +⋅   cos2 cos2 2C B+ − 6A π= B B sin sin sin a b c A B C = = ( )2 2 2sin sin sin sin sin tanB C B C A A= + − 2 2 2 sin 1 2 cos 2 b c a A bc A + − ⋅ = 1sin 2A = A 6A π= ( ) ( )2AB AOA OA OB OC AC O⋅ =+ ⋅ + −       2 2OA OB OA OC OA= ⋅ + ⋅ −     cos cos 2AOB AOC= ∠ + ∠ − cos2 cos2 2C B= + − 5cos 2 cos2 22 B B π = − + −   3 3cos2 sin 2 22 2B B= − − 3 cos 2 26B π = + −   ABC∆ 2 2 B B A π π  <  + > 3 2B π π< < 5 726 6 6B π π π< + < 73 cos 2 2 2 3,6 2B π   + − ∈ − − −      故 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质， 属于难题. 三、解答题 17．已知函数 ， ． （1）当 时，解关于 的不等式 ； （2）若对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，求实数 的 取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）当 时， ，则 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时， 恒成立； 当 时，由 得， ，解得 ． 所以 的解集为 ． （2）因为对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立， 所以 ． 因为 ，所以 ， 且 ，① 当 时，①式等号成立，即 ． 又因为 ，② 当 时，②式等号成立，即 ． ( )AA B ACO +⋅   72 3, 2  − − −   2( ) | 2 3|f x x a x a= − + − + 2( ) 4,g x x ax a R= + + ∈ 1a = x ( ) 4f x ≤ 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )1 2f x g x> a { }2 2x x− ≤ ≤ ( )2, 2,5  −∞ − +∞   1a = ( ) 1 1f x x x= − + + ( ) 2 , 1, 2, 1 1, 2 , 1. x x f x x x x − < − = − ≤ <  ≥ 1x < − ( ) 4f x ≤ 2 4x− ≤ 2 1x− ≤ < − 1 1x− ≤ < ( ) 4f x ≤ 1x ≥ ( ) 4f x ≤ 2 4x ≤ 1 2x≤ ≤ ( ) 4f x ≤ { }2 2x x− ≤ ≤ 1 Rx ∈ 2 Rx ∈ ( ) ( )1 2f x g x> ( ) ( )min minf x g x> ( )22 2 3 1 2 0a a a− + = − + > 2 2 3a a> − ( ) ( )2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 3x a x a x a x a a a a a− + − + ≥ − − − + = − + = − + 22 3a x a− ≤ ≤ ( ) 2 min 2 3f x a a= − + 2 2 2 2 4 4 42 4 4 a a ax ax x + + = + + − ≥ −   2 ax = − ( ) 2 min 4 4 ag x = − 所以 ，整理得 ， 解得 或 ， 故 的取值范围为 ． 18．已知函数 . （1）若 ， ， ，求 的值； （2）若动直线 与函数 和函数 的图象分别交于 P，Q 两点，求线段 PQ 长度的最 大值，并求出此时 t 的值. 【答案】（1） ；（2）最大值为 ， 【解析】（1）先对 进行化简，求出 ，再根据同角三角函数求出 ，再根 据 特点，求出 ，利用和角公式求值即可 （2）先表示出 ，再根据绝对值特点和三角函 数的最值特点，求出对应的 值即可 【详解】 （1） ， ， 则 ，又 ，故 ， . . . （2） 由题意可知 2 2 2 3 4 4 aa a− + > − 25 8 4 0a a− − > 2 5a < − 2a > a ( )2, 2,5  −∞ − ∪ +∞   2( ) sin 4f x x π = −   1 2 6f α  =   tan 5β = ,2 2 π πα  ∈ −   tan(2 )α β+ [ ]( 0, )x t t π= ∈ ( )f x ( ) 3sin cos4 4g x x x π π   = + +       5 5 19 − 3 2 7 12t p= ( )f x sinα tanα ( )tan 2α β+ tan2α ( ) ( ) 1 sin 22 3PQ f t g t t π = − = − +   t ( ) 1 1 11 cos 2 sin22 2 2 2f x x x π  = − − = −     1 1 1sin2 2 2 6f α α  = − =   2sin 3 α = ,2 2 π πα  ∈ −   5cos 3 α = 2tan 5 α = 2 2tantan2 4 51 tan αα α= =− ( ) tan2 tan 5 5 5 5tan 2 1 tan2 tan 1 20 19 α βα β α β ++ = = = −− − ( ) 3 cos22g x x= ( ) ( ) 1 sin 22 3PQ f t g t t π = − = − +   当 时， 取到最大值 . 当 取到最大值时， ，又 ，所以 . 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的 求法，难度相对简单 19．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ， . (1)证明数列 为等差数列，并求 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和记为 ,证明： . 【答案】（1）证明见解析， ；（2）见解析 【解析】（1）当 时， ，两式相减变形为 ， 验证 后，判断数列 是等差数列；（2）根据（1）的结果求 和 ，利用裂项相消法求数列的前 项和，并证明不等式. 【详解】 （1）由已知： ①, 得 ② ①－②可得 . 因为 ，所以 检验：由已知 ， ，所以 ， 那么 ，也满足式子 .所以 . 所以 为等差数列，首项为 ，公差为 .于是 . （2）由 ，所以 . 所以 . 则 sin 2 13t π + = −   PQ 3 2 PQ ( )32 23 2t k k Z π π π+ = + ∈ [ ]0,t π∈ 7 12t π= { }na n nS 2 1 2n n na S S −= + + ( 2 *)n n N≥ ∈， 1 2a = { }na { }na 3 2n n b S = { }nb n nT 11 6nT < 1na n= + 3n ≥ 2 1 1 2 2n n na S S− − −= + + ( )1 1 3n na a n−− = ≥ 2 1a a− { }na nS ( ) 3 3 1 1 2 3 3n n b S n n n n = = = −+ + n 2 1 2( 2, )n n na S S n n N ∗ −= + + ≥ ∈ 2 1 1 2 2( 3, )n n na S S n n N ∗ − − −= + + ≥ ∈ 2 2 1 1( 3, )n n n na a a a n n N ∗ − −− = + ≥ ∈ 0na > 1 1( 3)n na a n−− = ≥ 2 2 1 2 1( ) 2a a a a= + + + 1 2a = 2 3a = 2 1 1a a− = 1 1n na a −− = 1 1( 2)n na a n−− = ≥ { }na 2 1 1na n= + 1na n= + (2 1) ( 3) 2 2n n n n nS + + ⋅ += = 3 3 1 1 2 ( 3) 3n n b S n n n n = = = −+ + 1 2 3n nT b b b b= + + + + . 【点睛】 本题考查已知 求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，从 形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略 的条件，就会忘记验 证 ，第二问 ，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项. 20． 中， ， ， 为线段 上一点，且满足 . (1)求 的值； (2)若 ，求 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由已知可得 ，利用面积公式求 的值； （2）根据（1）可知 ，又因为 ，变形可求 ， ，设 ， 和 分别利用余弦定理 求 的长度. 【详解】 （1）由题： ，所以 , 即 . 所以 . （2）由 ，所以 ， 所以 ，所以， . 设 ，在 中，由 . 中， . 又因为 ,所以 ，即 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 5 3 6 4 7 2 1 1 2 3n n n n n n = − + − + − + − + + − + − + −− + − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( )2 3 4 4 5 6 1 2 3n n n n = + + + + + − + + + + + ++ + +  1 1 1 1 1(1 ) ( )2 3 1 2 3n n n = + + − + ++ + + 11 1 1 1 11( )6 1 2 3 6n n n = − + + <+ + + nS 3n ≥ 2 1a a− 1 1 3nb n n = − + ABC∆ 5AB = 4AC = D BC 2BD DC= sin sin BAD DAC ∠ ∠ 2BAD DAC∠ = ∠ AD 8 5 13 5AD = 2ABD ADCS S∆ ∆= sin sin BAD DAC ∠ ∠ sin 8 sin 5 BAD DAC ∠ =∠ 2BAD DAC∠ = ∠ 4cos 5DAC∠ = 7cos 25BAD∠ = AD x= ABD∆ ADC∆ AD 2BD DC= 2ABD ACDS S∆ ∆= 1 1sin 2 sin2 2AB AD BAD AC AD DAC⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ sin 2 8 sin 5 BAD AC DAC AB ∠ = =∠ 2BAD DAC∠ = ∠ sin =sin 2 2sin cosBAD DAC DAC DAC∠ ∠ = ∠ ∠ 4cos 5DAC∠ = 2 7cos cos2 2cos 1 25BAD DAC DAC∠ = ∠ = ∠ − = AD x= ABD∆ 2 2 2 2 14= 2 cos 25 5BD AB AD AB AD BAD x x+ − ⋅ ∠ = + − ACD∆ 2 2 2 2 32= 2 cos 16 5CD AC AD AC AD CAD x x+ − ⋅ ∠ = + − 2BD DC= 2 2=4BD CD 2 214 3225 4(16 )5 5x x x x+ − = + − 化简可得 ，即 ，则 或 . 又因为 为线段 上一点，所以 且 ，所以 . 【点睛】 本题考查利用正余弦定理解三角形的综合运用，重点考查转化与变形和计算能力，属于 中档题型，有多个三角形的解三角形时，一是可以先分析条件比较多的三角形，再求解 其他三角形，二是任何一个三角形都不能求解时，可以先设共有变量，利用等量关系解 三角形. 21．如图，在四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形， ， . （1）证明：平面 平面 ； （2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部 分，求二面角 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】(1) 取 的中点 ，连接 ， ，可证 为二面角 的 平面角,再根据计算可得 ,即二面角 为直二面角,根据平面与平 面垂直的定义可证平面 平面 ; (2) 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，以 的方向为 轴正方向，以 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，然 后求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可 求得答案. 【详解】 （1）证明：由题设可得 ，从而 ． 又 是直角三角形，所以 . 215 114 195 0x x− + = (3 15)(5 13) 0x x− − = 5x = 13 5x = D BC 5AD AB< = 4AD AC< = 13 5AD = ABCD ABC∆ ACD∆ ABD CBD∠ = ∠ AB BD= ACD ⊥ ABC AC BD E AEC ABCD D AE C− − 7 7 AC O DO BO DOB∠ D AC B− − 90DOB∠ = ° D AC B− − ACD ⊥ ABC O OA x OA OB y OD z O xyz− DAE AEC ABD CBD∆ ≅ ∆ AD CD= ACD∆ 90ADC∠ = ° 取 的中点 ，连接 ， ，则 ， . 又因为 是正三角形，故 ， 所以 为二面角 的平面角． 在 中， ，又 ，所以 ， 故 ,即二面角 为直二面角, 所以平面 平面 ． （2）由题设及（1）知， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长度，以 的方向为 轴正方向，以 的方向为 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， . 由题设知，四面体 的体积为四面体 的体积的 ，从而 到平面 的 距离为 到平面 的距离的 ，即 为 的中点，得 ， 故 ， ， . 设 是平面 的法向量， 则 ，即 ，可取 . 设 是平面 的法向量，则 ，同理可取 ， AC O DO BO DO AC⊥ DO AO= ABC∆ BO AC⊥ DOB∠ D AC B− − Rt AOB∆ 2 2 2BO AO AB+ = AB BD= 2 2 2 2 2 2BO DO BO AO AB BD+ = + = = 90DOB∠ = ° D AC B− − ACD ⊥ ABC OA OB OD O OA x OA OB y OD z O xyz− ( )1,0,0A ( )0, 3,0B ( )1,0,0C − ( )0,0,1D ABCE ABCD 1 2 E ABC D ABC 1 2 E DB 3 10, ,2 2E       ( )1,0,1AD = − ( )2,0,0AC = − 3 11, ,2 2AE  = −     ( ), ,n x y z= DAE 0 0 n AD n AE  ⋅ =  ⋅ =   0 3 1 02 2 x z x y z − + =− + + = 31, ,13n  =      m AEC 0 0 m AC m AE  ⋅ =  ⋅ =   ( )0, 1, 3m = − 则 . 所以二面角 的余弦值为 . 【点睛】 本题考查了平面与平面所成的角,考查了平面与平面垂直的定义,考查了利用法向量求二 面角的平面角,建立空间直角坐标系,利用向量解决角的问题是常用方法,属于中档题. 22．已知函数 . （1）若 ，函数 的极大值为 ，求实数 的值； （2）若对任意的 ， ，在 上恒成立，求实数 的取值 范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变 化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数 的值；（2）先求 ， 最大 值，再变量分离得 ，最后根据导数研究函数 最大值，即得 实数 的取值范围. 试题解析：（1）由题意， . ①当 时， ， 令 ，得 ； ，得 ， 所以 在 单调递增 单调递减. 所以 的极大值为 ，不合题意. ②当 时， ， 令 ，得 ； ，得 或 ， 31 0 ( 1) 1 3 73cos , 711 1 0 1 33 n mn m n m × + × − + ×⋅< >= = = ⋅ + + ⋅ + +       D AE C− − 7 7 2( ) ( ) xf x ax x a e−= + + ( )a R∈ 0a ≥ ( )f x 5 e a 0a ≤ ( ) ln( 1)f x b x≤ + [0, )x∈ +∞ b 2a = 1b ≥ a 0a ≤ ( )f x ln( 1) xxeb x − ≥ + ln( 1) xxey x − = + b ( )f x ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( )f x ( ) 1 51f e e = ≠ 所以 在 单调递增， ， 单调递减. 所以 的极大值为 ，得 . 综上所述 . （2）令 ， 当 时， ， 故 上递增， 原问题 上恒成立 ①当 时， ， ， ， 此时 ，不合题意. ②当 时，令 ， ， 则 ，其中 ， ， 令 ，则 在区间 上单调递增 （ⅰ） 时， ， 所以对 ， ，从而 在 上单调递增， 所以对任意 ， ， 即不等式 在 上恒成立. （ⅱ） 时，由 ， 及 在区间 上单 调递增， 所以存在唯一的 使得 ，且 时， . 从而 时， ，所以 在区间 上单调递减， 则 时， ，即 ，不符合题意. 综上所述， . 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等 式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一 ( )f x 11 ,1a  −   1,1 a  −∞ −   ( )1,+∞ ( )f x ( ) 2 1 51 af e e += = 2a = 2a = ( ) ( ]- 0g a ∞于 ， ( ) ( ) ( )0 , 0xg a g xe x−∴ ≤ = ≥ ∴ ( ) [ )ln 1 0,xxe b x x−⇔ ≤ + ∈ +∞于 ( )p x [ )0,+∞ 端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的， 如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.