2020年高中数学第一章导数及其应用1

2020年高中数学第一章导数及其应用1

‎1.4 生活中的优化问题举例 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)‎ A．8 B. C．－1 D．－8‎ 解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.‎ 答案：C ‎2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为(　　)‎ A．10 B．15‎ C．25 D．50‎ 解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点，‎ 连接OC，设∠COF＝α，则 CF＝5sin α，OF＝5cos α，‎ ‎∴S矩形CDEF＝2×5cos α·5sin α ‎＝25sin 2α(0<α<)．‎ ‎∴S矩形CDEF的最大值为25.‎ 答案：C ‎3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为(　　)‎ A．2,6 B．4,4‎ C．3,5 D．1,7‎ 解析：设第一次购买了x件礼物，则第二次购买了8－x件，则付款额f(x)＝x3＋(8－x)3，‎ f′(x)＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝4，‎ 7‎ ‎∴当x＝4时，付款额最省．‎ 答案：B ‎4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)‎ A．150 B．200‎ C．250 D．300‎ 解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3000)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为(　　)‎ A．0.032 B．0.024‎ C．0.04 D．0.036‎ 解析：设存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.0320)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当05时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．‎ 故当仓库建在离车站‎5千米处时，两项费用之和最小．‎ 答案：5‎ ‎9.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？‎ 解析：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积，‎ S＝2πRh＋2πR2‎ 由V＝πR2h，得h＝，则 S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，‎ 令S′(R)＝－＋4πR＝0，‎ 解得，R＝，‎ 从而h＝＝ 7‎ ‎＝＝2·.‎ 即h＝2R.‎ 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．‎ 所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．‎ ‎10．用长为‎90 cm，宽为‎48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？‎ 解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.‎ 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(00，V(x)是增函数；‎ 当100；当d0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．‎ 设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x2)(00；当0)，‎ 7‎ y′＝－x2，‎ 由y′＝0，得x＝25，‎ 当x∈(0,25)时，y′>0，当x∈(25，＋∞)时，y′<0，‎ 所以当x＝25时，y取得最大值．‎ 答案：25件 ‎4．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．‎ 解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcos θ，l＝2rsin θ.‎ ‎∴S侧＝2πR·l＝2πrcos θ×2rsin θ＝4πr2sin θcos θ.‎ ‎∴由S′侧＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，得θ＝.‎ ‎∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，且S侧最大值为2πr2.‎ 答案：2πr2‎ ‎5．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．‎ ‎(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？‎ ‎(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)‎ 解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(00；‎ 当20表示12点以后，t<0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为‎8 ℃‎，12点的温度为‎60 ℃‎，13点的温度为‎58 ℃‎，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．‎ ‎(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；‎ ‎(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？‎ 解析：(1)根据题意，得 即 又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T′＝3at2＋2bt＋c，‎ ‎∴T′(－4)＝T′(4)，即 ‎48a‎－8b＋c＝‎48a＋8b＋c.‎ ‎∴b＝0.‎ 将b＝0代入上述方程组中，并进行化简得 ∴ ‎∴该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为T＝t3－3t＋60.‎ ‎(2)由(1)，T′(t)＝3t2－3＝3(t－1)(t＋1)(－2≤t≤2)，‎ 令T′(t)＝0，得t＝±1.‎ 当t变化时，T′(t)和T(t)的变化情况如下表：‎ t ‎－2‎ ‎(－2，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ T′(t)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ T(t)‎ ‎58‎  极大值62‎  极小值58‎  ‎62‎ 可知t＝－1是函数的极大值点，且极大值为T(－1)＝62；t＝1是函数的极小值点，且极小值为T(1)＝58.‎ 又函数在区间[－2,2]的端点函数值为T(－2)＝58，T(2)＝62，‎ 比较以上数值可以得出，当t＝2或－1时，T(t)取最大值，即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为‎62 ℃‎.‎ 7‎