2020高中数学 第2章 数列 2

2020高中数学 第2章 数列 2

等比数列的前n项和 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎**1. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________。‎ ‎**2. 设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于________。‎ ‎*3. 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ （n≥1），且a4＝54，则a1＝________。‎ ‎**4. 已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n（n≥3），则当n≥3时，log‎2a1＋log‎2a2＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1＝________。‎ ‎**5. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________。‎ ‎*6. 已知等比数列{an}中a2＝1，则前3项的和S3的取值范围是________。‎ ‎*7. （临沂高二检测）已知等比数列{an}前n项之和为Sn，若S4＝－20，S8＝－1 640，求a1和q。‎ ‎**8. （扬州检测）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝－10，且a2，a4，a5成等比数列。‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a＞0，求数列{aan＋12}的前n项和Sn。‎ ‎***9.（泗阳检测）已知等差数列{an}的公差d＜0，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960。‎ ‎（1）求an与bn；‎ ‎（2）求Sn的最大值。‎ 3‎ ‎1. 30 解析：∵S3n≠3Sn，∴q≠1，‎ 由已知条件得 ‎②÷①整理得（qn＋3）（qn－2）＝0，则qn＝2（qn＝－3舍去），∴＝2，S4n＝ （q4n－1）＝30.‎ ‎2. n2＋n 解析：设数列{an}的公差为d（d≠0），则有（2＋2d）2＝2（2＋5d），即4d2－2d＝0.又d≠0，所以d＝，所以Sn＝2n＋×＝n2＋n。‎ ‎3. 2 解析：由数列{an}的前n项和Sn＝ （n≥1），则a4＝S4－S3＝－＝‎27a1，且a4＝54，则a1＝2。‎ ‎4. n（2n－1）‎ 解析：由等比数列的性质知 a1·a2n－1＝a2·a2n－2＝…＝an－1·an＋1＝a＝a5·a2n－5＝22n，‎ ‎∴log‎2a1＋log‎2a2＋log‎2a3＋…＋log‎2a2n－1‎ ‎＝log2（a1·a2·a3·…·a2n－1）＝log2（2n）2n－1＝n（2n－1）。‎ ‎5. 解析：设公比为q，则＝＝1＋q3＝3，所以q3＝2，于是＝＝＝。‎ ‎6.（－∞，－1]∪[3，＋∞）‎ 解析：∵{an}是等比数列，∴设数列{an}的公比为q（q≠0），又∵a2＝1，∴a1＝，a3＝q，∴S3＝a1＋a2＋a3＝＋1＋q，∴q2＋（1－S3）q＋1＝0，∴Δ＝（1－S3）2－4≥0，∴S3≤－1或S3≥3。综上可知，S3的取值范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞）。‎ ‎7. 或 解析：（1）当q＝1时，S4＝‎4a1＝－20，∴a1＝－5；‎ S8＝‎8a1＝－1640，∴a1＝－205，∴无解。‎ ‎（2）当q≠1时，S4＝＝－20，S8＝＝－1640，‎ 3‎ ‎∴＝82，∴q＝±3‎ 当q＝3时，由＝－20，∴a1＝－；‎ 当q＝－3时，由＝－20，∴a1＝1。‎ 综上：或 ‎8. （1） an＝2n－12；（2） Sn＝。‎ 解析：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），‎ 因为a1＝－10，a2，a4，a5成等比数列，所以（a1＋3d）2＝（a1＋d）（a1＋4d），‎ 即（－10＋3d）2＝（－10＋d）（－10＋4d），‎ 解得d＝2或d＝0（舍）。‎ 所以an＝－10＋（n－1）×2＝2n－12。‎ ‎（2）由（1）知，an＝2n－12，‎ 所以aan＋12＝a2n（a＞0）。‎ 当a＝1时，数列{aan＋12}的前n项和Sn＝n；‎ 当a≠1时，令bn＝aan＋12＝a2n（a＞0），则bn＋1＝a2n＋2，‎ 所以＝＝a2（n∈N*），‎ 故{bn}为等比数列，所以{bn}的前n项和Sn＝。‎ ‎9. （1） an＝－n＋；bn＝（）n－1 （2） ‎ 解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则 an＝3＋（n－1）d，bn＝qn－1。‎ 依题意有 解得 （舍去）或 故an＝3＋（n－1）×（－）＝－n＋，bn＝（）n－1。‎ ‎（2）Sn＝－n2＋n＝－ （n－3）2＋，‎ ‎∴当n＝3时，Sn有最大值为。‎ 3‎