2020高中数学 模块综合测评 新人教A版必修4

2020高中数学 模块综合测评 新人教A版必修4

模块综合测评 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于(　　)‎ A．　 B．－ C． D．－ B　[cos(－2 640°)＝cos 2 640°‎ ‎＝cos(7×360°＋120°)‎ ‎＝cos 120°＝－，‎ sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°)‎ ‎＝sin 225°＝sin(180°＋45°)‎ ‎＝－sin 45°＝－，‎ ‎∴cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－－＝－.]‎ ‎2．已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积是(　　) ‎ ‎【导学号：84352374】‎ A． B． C．2π D． D　[此扇形的面积S＝××22＝.]‎ ‎3．log2sin＋log2cos的值为(　　)‎ A．－4 B．4‎ C．－2 D．2‎ C　[log2sin＋log2cos＝log2＝log2＝log2＝－2.]‎ ‎4．设向量a＝(2tan α，tan β)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，则tan(α＋β)＝(　　) ‎ ‎【导学号：84352375】‎ 11‎ A． B．－ C． D．－ A　[∵a＋b＝(2tan α＋4，tan β－3)＝0，‎ ‎∴ ‎∴tan α＝－2，tan β＝3，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝.]‎ ‎5．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图1所示，则 ‎(　　)‎ 图1‎ A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ C　[∵T＝4×2＝8，∴ω＝，‎ 又×1＋φ＝，∴φ＝.]‎ ‎6．已知tan＝，则的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ A　[ ‎＝ 11‎ ‎＝tan＝.]‎ ‎7．若函数f(x)＝2sin(－2＜x＜10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·等于(　　)‎ ‎ 【导学号：84352376】‎ A．－32 B．－16‎ C．16 D．32‎ D　[由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4,0)，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，根据对称性可知，A是BC的中点，所以＋＝2，所以(＋)·＝2·＝2||2＝2×42＝32，‎ ‎]‎ ‎8．函数y＝sin xcos x＋cos2x－的图象的一个对称中心为(　　)‎ A. B. C. D. B　[y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin－，令2x＋＝kπ，(k∈Z)，‎ x＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，‎ ‎∴函数图象的一个对称中心为.]‎ ‎9．设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)，若t为实数，则|a－tb|的最小值是(　　)‎ A． B．1‎ C． D．1＋ A　[|a－tb|＝ ‎＝ 11‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 即|a－tb|的最小值为.]‎ ‎10．已知f(x)＝，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 0.2)，则下列正确的是(　　) ‎ ‎【导学号：84352377】‎ A．a＋b＝0 B．a－b＝0‎ C．a＋b＝1 D．a－b＝1‎ C　[∵b＝f(lg 0.2)＝f(－lg 5)，‎ ‎∴f(x)＋f(－x)＝＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝1.]‎ ‎11．如图2，设P为△ABC内一点，且＝＋，＝，＝，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于(　　)‎ 图2‎ A．1∶5 B．2∶5‎ C．3∶20 D．7∶20‎ C　[由题可知＝，＝，则＝＋，由平行四边形法则可知∥，∥，所以＝＝×＝.]‎ ‎12．在△ABC中，A，B，C是其三个内角，设f(B)＝4sin B·cos2＋cos 2B，当f(B)－m＜2恒成立时，实数m的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：84352378】‎ A．m＜1 B．m＞－3‎ C．m＜3 D．m＞1‎ 11‎ D　[f(B)＝4sin Bcos2＋cos 2B ‎＝4sin B·＋cos 2B ‎＝2sin B(1＋sin B)＋(1－2sin2B)‎ ‎＝2sin B＋1.‎ ‎∵f(B)－m＜2恒成立，‎ ‎∴2sin B＋1－m＜2恒成立，‎ 即m＞2sin B－1恒成立．‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴0＜sin B≤1，‎ ‎∴－1＜2sin B－1≤1，故m＞1.]‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知O＝(－2,1)，O＝(0,2)，且A∥O，B⊥A，则点C的坐标是________．‎ ‎(－2,6)　[设C(x，y)，则A＝(x＋2，y－1)，‎ B＝(x，y－2)，A＝(2,1)．‎ 由A∥O，B⊥A，得 解得 ‎∴点C的坐标为(－2,6)．]‎ ‎14．将函数y＝sin的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则所得的图象的函数解析式为________. ‎ ‎【导学号：84352379】‎ y＝sin 4x　[y＝sin的图象上的所有点向右平移个单位得y＝sin＝sin 2x，‎ 再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得y＝sin 4x.]‎ ‎15．如图3，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若＝2e1，＝3e2，以e1，e2‎ 11‎ 为基底，表示＝________，＝________.‎ 图3‎ e2－e1，－e1－e2　[∵平行四边形OPQR中，＝＋＝2e1＋3e2，‎ ＝－＝3e2－2e1.‎ S是OQ，PR的中点，‎ ‎∴＝＝e2－e1，‎ ＝－＝－e1－e2.]‎ ‎16．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于________. ‎ ‎【导学号：84352380】‎ 　[由题意得，‎ sin αcos β－cos αsin β＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝.‎ ‎∵0＜β＜α＜，‎ ‎∴cos(α－β)＝＝.‎ 又cos α＝得sin α＝.‎ cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，‎ ‎∴β＝.]‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知角α的终边过点P.‎ 11‎ ‎(1)求sin α的值；‎ ‎(2)求式子·的值．‎ ‎[解]　(1)∵|OP|＝＝1，‎ ‎∴点P在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－.‎ ‎(2)原式＝· ‎＝＝.‎ 由(1)得sin α＝－，P在单位圆上，‎ ‎∴cos α＝，∴原式＝.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知＝－1，求下列各式的值：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)sin2α＋sin αcos α＋2. ‎ ‎【导学号：84352381】‎ ‎[解]　由已知得tan α＝.‎ ‎(1)＝＝＝－.‎ ‎(2)sin2α＋sin αcos α＋2‎ ‎＝3sin2α＋sin αcos α＋2cos2α ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎19．(本小题满分12分)如图4，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，‎ 11‎ E分别在边AB，AC上，且＝2，＝5，‎ 图4‎ ‎(1)若＝－＋，求证：点F为DE的中点；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求·的值．‎ ‎[解]　(1)证明：因为＝－＋，‎ 所以＝－＝＋，‎ 又＝2，＝5，所以＝＋，所以F为DE的中点．‎ ‎(2)由(1)可得＝＝(－)，‎ 因为＝2，＝5，‎ 所以＝－，‎ 所以·＝－· ‎＝－＋· ‎＝－×4＋×2×6×cos 60°＝－.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋cos2x－sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎(2)在所给坐标系中画出函数在区间的图象(只作图不写过程). ‎ ‎【导学号：84352382】‎ 11‎ 图5‎ ‎[解]　f(x)＝＋cos 2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin.‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π，‎ 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，故kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为 (k∈Z)．‎ ‎(2)图象如下：‎ ‎21．(本小题满分12分)如图6，已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设Z是直线OP上的一动点．‎ 图6‎ ‎(1)求使·取最小值时的；‎ 11‎ ‎(2)对(1)中求出的点Z，求cos∠AZB的值．‎ ‎[解]　(1)∵Z是直线OP上的一点，‎ ‎∴∥.‎ 设实数t，使＝t，‎ ‎∴＝t(2,1)＝(2t，t)，‎ 则＝－＝(1,7)－(2t，t)‎ ‎＝(1－2t,7－t)，‎ ＝－＝(5,1)－(2t，t)‎ ‎＝(5－2t,1－t)，‎ ‎∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)‎ ‎＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.‎ 当t＝2时，·有最小值－8，‎ 此时＝(2t，t)＝(4,2)．‎ ‎(2)当t＝2时，＝(1－2t,7－t)＝(－3,5)，‎ ‎||＝，＝(5－2t,1－t)＝(1，－1)，||＝.‎ 故cos∠AZB＝＝ ‎＝－＝－.‎ ‎22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ω＞0)．‎ ‎(1)若f＝－f(x)，求f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)若f(－x)＝f(0＜ω＜2)，求ω的值；‎ ‎(3)若y＝f(x)在上单调递增，则ω的最大值为多少？‎ ‎ 【导学号：84352383】‎ 11‎ ‎[解]　f(x)＝ ‎＝ ‎＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx ‎＝sin 2ωx＋ ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ‎＝sin＋.‎ ‎(1)因为f＝－f(x)，‎ 所以f(x＋π)＝f(x)，‎ 所以T＝π，＝π.‎ 又ω＞0，所以ω＝1.‎ 所以f(x)＝sin＋，又因当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋时f(x)单调递增即f(x)的单调增区间为k∈Z.‎ ‎(2)因为f(－x)＝f，‎ 所以函数f(x)关于直线x＝对称，‎ 所以sin＝±1，‎ 所以ω＝＋(k∈Z)．‎ 又ω∈(0,2)，‎ 所以k＝0，ω＝.‎ ‎(3)由题意知ω＞0，y＝f(x)在上单调递增，所以＝，‎ 所以解得ω∈，‎ 所以ωmax＝.‎ 11‎