2020版高中数学 第2章 数列第2课时 等比数列的性质

2020版高中数学 第2章 数列第2课时 等比数列的性质

第2课时　等比数列的性质 ‎1.掌握等比数列的性质及其应用.(重点) ‎2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(难点、易错点) ‎3.能用递推公式求通项公式.(难点) ‎[基础·初探]‎ 教材整理　等比数列的性质 阅读教材P47探索与研究及P48练习B第1题，完成下列问题.‎ ‎1.“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.‎ ‎2.等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq.‎ ‎①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a.‎ ‎②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….‎ ‎3.两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列.‎ ‎1.等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝________.‎ ‎【解析】　∵{an}是等比数列，‎ ‎∴a‎2a6＝a＝42＝16.‎ ‎【答案】　16‎ ‎2.若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________.‎ ‎【解析】　只有非零常数列才满足题意，∴公比q＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎3.正项等比数列{an}中，a‎2a5＝10，则lg a3＋lg a4＝________.‎ ‎【解析】　lg a3＋lg a4＝lg(a‎3a4)‎ 7‎ ‎＝lg(a‎2a5)‎ ‎＝lg 10＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎4.在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝16，则a10＝________.‎ ‎【解析】　∵数列{an}是等比数列，‎ ‎∴a10·a2＝a，‎ 即a10＝＝＝128.‎ ‎【答案】　128‎ ‎[小组合作型]‎ 等比数列性质的应用 ‎　已知{an}为等比数列，‎ ‎(1)等比数列{an}满足a‎2a4＝，求a‎1aa5；‎ ‎(2)若an>0，a‎2a4＋‎2a3a5＋a‎4a6＝25，求a3＋a5；‎ ‎(3)若an>0，a‎5a6＝9，求log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10的值.‎ ‎【精彩点拨】　利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解.‎ ‎【自主解答】　(1)等比数列{an}中，因为a‎2a4＝，‎ 所以a＝a‎1a5＝a‎2a4＝，‎ 所以a‎1aa5＝.‎ ‎(2)由等比中项，化简条件得 a＋‎2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，‎ ‎∵an>0，∴a3＋a5＝5.‎ ‎(3)由等比数列的性质知a‎5a6＝a‎1a10＝a‎2a9＝a‎3a8＝a‎4a7＝9，‎ ‎∴log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a10＝log3(a‎1a2…a10)‎ ‎＝log3[(a‎1a10)(a‎2a9)(a‎3a8)(a‎4a7)(a‎5a6)]‎ ‎＝log395＝10.‎ 7‎ 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8.求a1＋a10. ‎ ‎【导学号：18082033】‎ ‎【解】　因为数列{an}为等比数列，‎ 所以a‎5a6＝a‎4a7＝－8，联立 解得或 所以q3＝－或q3＝－2，故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.‎ 灵活设元求等比数列 ‎　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数.‎ ‎【精彩点拨】　根据前三项成等比数列，可对称性设为，a，aq，也可依据后三项成等差数列设为a－d，a，a＋d，然后列方程组求解.‎ ‎【自主解答】　法一：设前三个数为，a，aq，‎ 则·a·aq＝216，‎ 所以a3＝216，所以a＝6.‎ 因此前三个数为，6,6q.‎ 由题意知第4个数为12q－6.‎ 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.‎ 故所求的四个数为9,6,4,2.‎ 法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6，所以d＝－2.‎ 故所求得的四个数为9,6,4,2.‎ 巧设等差数列、等比数列的方法：,(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d 7‎ ‎.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.‎ (2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.‎ ‎【解】　设三个数依次为，a，aq，‎ ‎∵·a·aq＝512，‎ ‎∴a＝8.‎ ‎∵＋(aq－2)＝‎2a，‎ ‎∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，‎ ‎∴这三个数为4,8,16或16,8,4.‎ ‎[探究共研型]‎ 由递推公式转化为等比数列求通项 探究1　如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(n∈N＋)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？‎ ‎【提示】　由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列.‎ 探究2　在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？‎ ‎【提示】　在an＋1＝2an＋1两边都加1得 an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列.‎ 探究3　在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？‎ ‎【提示】　设将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x).将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an＋5对比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5两边都加 7‎ ‎，可构造出等比数列{an＋}.利用等比数列求出an＋即可求出an.‎ ‎　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎【精彩点拨】　(1)先由an＋Sn＝n，利用Sn与an的关系得{an}的递推关系式，然后构造出数列{an－1}，利用定义证明即可.‎ ‎(2)由(1)求出an代入bn＝an－an－1(n≥2)即可.‎ ‎【自主解答】　(1)证明：∵an＋Sn＝n，①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝.∵首项c1＝a1－1，‎ 又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，‎ 又cn＝an－1，∴q＝.‎ ‎∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列.‎ ‎(2)由(1)可知cn＝· ‎＝－，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－1－－1＝－1－＝.‎ 又b1＝a1＝，代入上式也符合，‎ ‎∴bn＝.‎ ‎1.已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.‎ ‎2.由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an 7‎ ‎＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝，这样就构造了等比数列{an＋λ}.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式. ‎ ‎【导学号：18082034】‎ ‎【解】　an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，‎ 即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4(bn＋).‎ 又a1＝1，故b1＝＝－1，‎ 所以是首项为－，公比为4的等比数列，‎ 所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.‎ ‎1.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a‎1a2，a‎2a3，a‎3a4，….此数列是(　　)‎ A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列 C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列 ‎【解析】　由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，‎ ‎∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎2.若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于(　　)‎ A.－　　　　B. 　　　　C.±　　　　D. ‎【解析】　∵1，a1，a2,4成等差数列，‎ ‎∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.‎ 又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，‎ 7‎ ‎∴b2＝2，∴＝＝－.‎ ‎【答案】　A ‎3.已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　)‎ A. 　　　B.　　　C.　　　D. ‎【解析】　由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎4.在等比数列{an}中，各项都是正数，a‎6a10＋a‎3a5＝41，a‎4a8＝4，则a4＋a8＝________.‎ ‎【解析】　∵a‎6a10＝a，a‎3a5＝a，∴a＋a＝41.‎ 又a‎4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a＋a＋‎2a4a8＝41＋8＝49.‎ ‎∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.‎ ‎【答案】　7‎ 7‎