四川省双流中学2020届高三5月月考数学（理）试题 （解析版）

四川省双流中学2020届高三5月月考数学（理）试题 （解析版）

‎2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）‎ 一、选择题（共12小题）‎ ‎1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，1，2} D．{0}‎ ‎2．复数z（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．‎ 如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（　　）‎ A．②③ B．①③ C．② D．①②‎ ‎5．函数，则关于函数f（x）的说法不正确的是（　　）‎ A．定义域为R B．值域为（﹣3，+∞） ‎ C．在R上为增函数 D．只有一个零点 ‎6．已知（2，﹣1），，且，则（　　）‎ A．1 B．‎3 ‎C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的n的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎8．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a‎4”‎是“a3＜a‎5”‎的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（‎2a﹣b）cosC＝ccosB，则内角C＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，C上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在C的右支上），使得|PQ|+2|PF2|＝2|PF1|，且△POQ为正三角形（O 为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．6 B．‎5 ‎C． D．‎ ‎11．已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB＝3，AC，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．16π D．36π ‎12．已知函数f（x）＝x2﹣xsinx，若a＝f（log0.23），b＝f（log30.2），c＝f（0.23），则（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．在的展开式中，常数项为　 　（用数字作答）．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为　 　．‎ ‎15．马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行，每一列至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求），那么一共可以传递　 　种不同的信息．（用数字作答）‎ ‎16．已知点A（﹣1，0）是抛物线y2＝2px的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为　 　．‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λn2﹣16n+m．‎ ‎（1）当λ＝2时，求通项公式an；‎ ‎（2）设{an}的各项为正，当m＝15时，求λ的取值范围．‎ ‎18．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝6，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，使点C到达点M的位置，点D到达点N的位置，且NF＝NA．‎ ‎（l）求证：AF⊥平面NEB；‎ ‎（2）若BE＝2，求二面角N﹣BE﹣M的余弦值．‎ ‎19．新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P．‎ ‎（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；‎ ‎（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．‎ ‎20．已知椭圆C：y2＝1，A为椭圆C的上顶点，过A的直线l与椭圆C交于另一点B，与x轴交于点D，O点为坐标原点．‎ ‎（1）若|AB|，求l的方程；‎ ‎（2）已知P为AB的中点，y轴上是否存在定点Q，使得•0？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）＝x2+ax+blnx（a，b∈R），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2＝0．‎ ‎（1）判断f（x）在定义域内的单调性，并说明理由；‎ ‎（2）若对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4--4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：（t为参数，），曲线C1：（β为参数），l1与C1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求C1的极坐标方程及点A的极坐标；‎ ‎（2）已知直线l2：与圆C2：交于B，C两点，记△AOB的面积为S1，△COC2的面积为S2，求的值．‎ ‎[选修4--5:不等式选讲]‎ ‎23．已知正实数a，b，c满足a3+b3+c3＝1．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b+c≥（a2+b2+c2）2；‎ ‎（Ⅱ）证明：a2b+b‎2c+c‎2a≤1．‎ 参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{1，2} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，1，2} D．{0}‎ ‎【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ 解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，‎ B＝{x|x2≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣1}，‎ ‎∴A∩B＝{﹣1，1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．复数z（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．‎ 解：∵z，‎ ‎∴z在复平面内对应的点的坐标为（），在第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎3．已知，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由α的范围及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入计算即可求出值．‎ 解：∵α∈（，π），sinα，‎ ‎∴cosα，‎ 则sin（α）（sinα+cosα）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎4．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．‎ 如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（　　）‎ A．②③ B．①③ C．② D．①②‎ ‎【分析】根据折线统计图即可判断．‎ 解：：①建国以来直至2000年为“成年型”人口，错误；‎ ‎②从2010年至2020年为“老龄型”人口，正确，‎ ‎③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口，正确，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．‎ ‎5．函数，则关于函数f（x）的说法不正确的是（　　）‎ A．定义域为R B．值域为（﹣3，+∞） ‎ C．在R上为增函数 D．只有一个零点 ‎【分析】根据f（x）的解析式即可判断f（x）的定义域为R，且在R上为增函数，只有一个零点x＝1，从而判断出说法不正确的选项．‎ 解：，‎ ‎∴f（x）的定义域为R，值域为（﹣3，e﹣3）∪[0，+∞），‎ 且e﹣3＜0，‎ ‎∴f（x）在R上为增函数，‎ 且f（1）＝0，∴f（x）只有一个零点．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．‎ ‎6．已知（2，﹣1），，且，则（　　）‎ A．1 B．‎3 ‎C． D．‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出．‎ 解：∵，∴﹣x﹣4＝0，解得x＝﹣4．‎ ‎∴（﹣2，1），‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的n的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 解：模拟程序的运行，可得 n，a，b＝ln 不满足条件a＜b，执行循环体，n＝1，a＝2，b＝ln1‎ 不满足条件a＜b，执行循环体，n，a，b＝ln 不满足条件a＜b，执行循环体，n＝2，a＝1，b＝ln2‎ 不满足条件a＜b，执行循环体，n，a，b＝ln 不满足条件a＜b，执行循环体，n＝3，a＝0，b＝ln3‎ 此时，满足条件a＜b，退出循环，输出n的值为3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎8．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a‎4”‎是“a3＜a‎5”‎的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．‎ 解：在等比数列中，若a1＜a4，即a1＜a1q3，‎ ‎∵a1＞0，∴1＜q3，‎ 即q＞1，则1，即a3＜a5成立，‎ 若等比数列1，﹣2，4，﹣8，16，‎ 满足a3＜a5，但a1＜a4不成立，‎ 故“a1＜a‎4”‎是“a3＜a‎5”‎的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．‎ ‎9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（‎2a﹣b）cosC＝ccosB，则内角C＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinAcosC＝sinA，结合sinA≠0，可求cosC，根据范围0＜C＜π，可求C的值．‎ 解：由正弦定理得：2sinAcosC﹣sinBcosC＝sinCcosB，‎ 即2sinAcosC＝sinBcosC+sinCcosB，‎ 即2sinAcosC＝sin（B+C）＝sinA，‎ 由于sinA≠0，‎ 故cosC，‎ 又0＜C＜π，‎ 所以C．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎10．已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，C上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在C的右支上），使得|PQ|+2|PF2|＝2|PF1|，且△POQ为正三角形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　）‎ A．6 B．‎5 ‎C． D．‎ ‎【分析】将|PQ|+2|PF2|＝2|PF1|，整理可得|PQ|＝2（|PF1|﹣|PF2|）＝‎4a，又△POQ为正三角形，可得P的坐标，代入双曲线的方程可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系可得双曲线的离心率．‎ 解：因为|PQ|+2|PF2|＝2|PF1|，整理可得|PQ|＝2（|PF1|﹣|PF2|）＝‎4a，‎ 又△POQ为正三角形，所以可得P（‎2a，‎2a），‎ 而P又在双曲线上，所以1，‎ 整理可得‎4a2＝b2＝c2﹣a2，所以可得e．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质，及正三角形的性质，属于中档题．‎ ‎11．已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB＝3，AC，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．16π D．36π ‎【分析】证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3＝R2＝（h）2，求出球的半径，即可求出球O的表面积．‎ 解：∵AB＝3，AC，BC＝2，‎ ‎∴AB2+AC2＝BC2，‎ ‎∴AC⊥AB，‎ ‎∴△ABC的外接圆的半径为，‎ ‎∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，‎ ‎∴球心在BC边的高上，‎ 设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3＝R2＝（h）2，‎ ‎∴h＝1，R＝2，‎ ‎∴球O的表面积为4πR2＝16π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．‎ ‎12．已知函数f（x）＝x2﹣xsinx，若a＝f（log0.23），b＝f（log30.2），c＝f（0.23），则（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎【分析】构造函数g（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），利用导数得到函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（x）＞0，又函数y＝x在（0，+∞）上单调递增，且y＞0，所以函数f（x）＝x2﹣xsinx＝x（x﹣sinx），在（0，+∞）上单调递增，且f（x）＞0，再利用函数奇偶性的定义得到函数f（x）是偶函数，所以a＝f（log53），b＝f（log35），利用指数函数和对数函数的性质得到，结合函数f（x）的单调性即可得到b＞a＞c．‎ 解：函数f（x）＝x2﹣xsinx＝x（x﹣sinx），‎ 设g（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），‎ 则g'（x）＝1﹣cosx≥0在（0，+∞）恒成立，‎ ‎∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（x）＞g（0）＝0，‎ 即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（x）＞0，‎ 又∵函数y＝x在（0，+∞）上单调递增，且y＞0，‎ ‎∴函数f（x）＝x2﹣xsinx＝x（x﹣sinx），在（0，+∞）上单调递增，且f（x）＞0，‎ 又∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣xsinx＝f（x），‎ ‎∴函数f（x）是偶函数，‎ ‎∴a＝f（log0.23）＝f（﹣log53）＝f（log53），b＝f（log30.2）＝f（﹣log35）＝f（log35），‎ ‎∵，∴，而log35＞log33＝1，0.23＝0.008，‎ ‎∴，‎ 又∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴，‎ 即b＞a＞c，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的奇偶性，是中档题．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．在的展开式中，常数项为　　（用数字作答）．‎ ‎【分析】先由二项式定理求出的展开式的通项公式，再求出常数项即可．‎ 解：∵的展开式的通项公式为Tr+1＝Cx6﹣r（）r＝C（）rx6﹣3r，r＝0，1，…，6，‎ 令6﹣3r＝0，解得r＝2，所以常数项为T3＝C（）2．‎ 故填：．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理有关知识，属于基础题．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为　5　．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．‎ 解：作x，y满足约束条件，‎ 的可行域为一个三角形，‎ 其三个顶点为A（2，1），B（1，0），C（1，2），‎ 验证知在点（2，1）时取得最大值5，‎ 当直线z＝2x+y过点A（2，1）时，z最大是5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎15．马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行，每一列至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求），那么一共可以传递　34　种不同的信息．（用数字作答）‎ ‎【分析】根据紫色小方格最多3个所以可分为4类，在每一类中找出符合题意的方格填法，即信息个数，最后用加法原理相加即可．‎ ‎【解答】解；由题意紫色小方格最多3个，所以可分为4类，一类有3紫方格时共有6个信息，二类有2紫方格时共有18个信息，‎ 三类有1紫方格时共有9个信息，四类有0紫方格时共有1个信息，则由加法原理6+18+9+1＝34．‎ 故答案是34．‎ ‎【点评】本题考查分类加法原理，组合数知识，属于中低档题．‎ ‎16．已知点A（﹣1，0）是抛物线y2＝2px的准线与x轴的交点，F为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则最小值为　　．‎ ‎【分析】利用已知条件求出p，设出P的坐标，然后求解的表达式，利用基本不等式即可得出结论．‎ 解：由题意可知：p＝2，设点P（x，y），P到直线x＝﹣1的距离为d，则d＝x+1，‎ 所以，‎ 当且仅当x时，的最小值为：，此时x＝1，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本不等式的应用，属于中档题．‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λn2﹣16n+m．‎ ‎（1）当λ＝2时，求通项公式an；‎ ‎（2）设{an}的各项为正，当m＝15时，求λ的取值范围．‎ ‎【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用数列的各项为正数，建立不等式，进一步求出参数λ的取值范围．‎ 解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λn2﹣16n+m．‎ 当λ＝2时，Sn＝2n2﹣16n+m①．‎ 所以：②，‎ ‎①﹣②得：an＝Sn﹣Sn﹣1，‎ ‎＝4n﹣18‎ 故：．‎ ‎（2）由m＝15时，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝λ﹣1，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2λn﹣λ﹣16，‎ 所以：由于数列的各项为正数，‎ 故：，‎ 解得：‎ 故λ的取值范围是：{}．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎18．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝6，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，使点C到达点M的位置，点D到达点N的位置，且NF＝NA．‎ ‎（l）求证：AF⊥平面NEB；‎ ‎（2）若BE＝2，求二面角N﹣BE﹣M的余弦值．‎ ‎【分析】（1）由已知证明四边形ABFE为菱形，可得AF⊥BE，设AF与BE的交点为O，则O为AF的中点，得到NO⊥AF，再由直线与平面垂直的判定可得AF⊥平面NEB；‎ ‎（2）求解三角形证明NO⊥OE，可得NO⊥平面ABFE，以O为坐标原点，分别以OE，OA，ON所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面EBM的一个法向量与平面NEB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角N﹣BE﹣M的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD＝2AB，E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝AB，‎ 又ABCD为平行四边形，∴四边形ABFE为平行四边形，则四边形ABFE为菱形，‎ ‎∴AF⊥BE，设AF与BE的交点为O，则O为AF的中点，‎ 又NF＝NA，∴NO⊥AF，‎ 而NO∩BE＝O，∴AF⊥平面NEB；‎ ‎（2）解：在菱形ABFE中，由AE＝3，BE，得AO＝FO，‎ ‎∵FN＝FD＝BE＝2，∴NO．‎ 在△NOE中，NE＝ED＝3，OE，NO，‎ ‎∴NO2+OE2＝NE2，即NO⊥OE，‎ 由（1）知NO⊥OA，∴NO⊥平面ABFE．‎ 以O为坐标原点，分别以OE，OA，ON所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ 则B（，0，0），E（），M（，，）．‎ ‎，．‎ 设平面EBM的一个法向量为，‎ 由，取y＝1，得；‎ 又平面NEB的一个法向量为，‎ ‎∴cos．‎ 由图可知二面角N﹣BE﹣M为锐角，则其余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．‎ ‎19．新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4‎ 份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P．‎ ‎（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；‎ ‎（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是（）2，根据对立事件原理，能求出阳性的概率．‎ ‎（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，方案二：每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为，若阳性，则检测次数为3，概率为，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，求出分布列，得到E（ξ），方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，由分布列求出E（η），从而选择方案三最“优”．‎ 解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是（）2，‎ 根据对立事件原理，阳性的概率为1．‎ ‎（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，‎ 方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为，‎ 若阳性，则检测次数为3，概率为，‎ 设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，‎ 其分布列为：‎ ξ ‎ 2‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E（ξ），‎ 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，‎ 其分布列为：‎ η ‎ 1‎ ‎ 5‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ E（η）＝15，‎ ‎∵E（η）＜E（ξ）＜4，故选择方案三最“优”．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20．已知椭圆C：y2＝1，A为椭圆C的上顶点，过A的直线l与椭圆C交于另一点B，与x轴交于点D，O点为坐标原点．‎ ‎（1）若|AB|，求l的方程；‎ ‎（2）已知P为AB的中点，y轴上是否存在定点Q，使得•0？若存在，求Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）由椭圆方程得A（0，1），由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线方程为y＝kx+1．联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求解k，则直线方程可求；‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，B（0，﹣1），AB的中点为P，与O点重合，D与O重合，可知对于任意点Q，都有；当直线l的斜率存在时，由（1）求得AB的中点坐标，又D（，0），设y轴上存在定点Q（0，m），使得•0，由数量积为0列式求得m值，则结论可求．‎ 解：（1）由椭圆C：y2＝1，得A（0，1），‎ 由题意，直线l的斜率存在且不为0，设为k，‎ 则直线方程为y＝kx+1．‎ 联立，得（1+2k2）x2+4kx＝0．‎ 则，‎ 由|AB|，解得k．‎ ‎∴直线l的方程为y；‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，B（0，﹣1），AB的中点为P，与O点重合，D与O重合，‎ ‎，对于任意点Q，都有；‎ 当直线l的斜率存在时，由（1）可知，，‎ 则yB＝kxB+1．‎ ‎∴AB的中点P（，），D（，0）．‎ 设y轴上存在定点Q（0，m），使得•0，‎ 则（，）•（），得m＝﹣2．‎ ‎∴点Q为（0，﹣2）．‎ 即y轴上存在定点Q（0，﹣2），使得•0．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆位置关系，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝x2+ax+blnx（a，b∈一、选择题），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2＝0．‎ ‎（1）判断f（x）在定义域内的单调性，并说明理由；‎ ‎（2）若对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，利用f′（1）＝2及f（1）＝0联立不等式组求解a，b的值，则函数解析式可求．‎ ‎（1）由f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上为增函数；‎ ‎（2）对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，即x2﹣x+lnx≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，令g（x）＝m（ex﹣1﹣1）﹣x2+x﹣lnx，求其导函数，分析可知当m≥2时，g′（x）＞g′（1）≥0，g（x）单调递增，则g（x）＞g（1）＝0；当0＜m＜2时，g′（x）＝0在（1，+∞）上必有实数根，设最小的正数根为x0，当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＜g（1）＝0，与题设不符；当m≤0时，g′（x）＜0，则g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝0，与题意不符．‎ 解：由f（x）＝x2+ax+blnx，得f′（x）＝2x+a（x＞0）．‎ 由曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2＝0，‎ 得，即a＝﹣1，b＝1．‎ ‎∴f（x）＝x2﹣x+lnx．‎ ‎（1）∵f′（x）＝2x﹣10在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；‎ ‎（2）由（1）得，f（x）＝x2﹣x+lnx，‎ 对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，‎ 即x2﹣x+lnx≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，‎ 令g（x）＝m（ex﹣1﹣1）﹣f（x）＝m（ex﹣1﹣1）﹣x2+x﹣lnx，‎ 则g′（x），注意到g（1）＝0，g′（1）＝m﹣2，‎ 要使得对任意的x∈（1，+∞），不等式f（x）≤m（ex﹣1﹣1）恒成立，即g（x）≥0，‎ 则必有g′（x）在（1，1+δ）（其中δ为任意小的正数）大于0，亦有g′（1）≥0，则m≥2．‎ 当m≥2时，令u（x）＝g′（x），‎ u′（x）2ex﹣1﹣2＞0．‎ ‎∴u（x）在（1，+∞）上单调递增，则g′（x）＞g′（1）≥0，‎ ‎∴g（x）单调递增，则g（x）＞g（1）＝0；‎ 当0＜m＜2时，g′（1）＝m﹣2＜0，当x→+∞时，g′（x）→+∞，‎ 则g′（x）＝0在（1，+∞）上必有实数根，设最小的正数根为x0，‎ 则当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＜g（1）＝0，与题设不符；‎ 当m≤0时，g′（x）0，则g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝0，与题意不符．‎ 综上所述，m的取值范围为[2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数与导数、不等式等基本知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想，考查推理论证能力及运算求解能力，属难题．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22、23题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4--4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：（t为参数，），曲线C1：（β为参数），l1与C1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求C1的极坐标方程及点A的极坐标；‎ ‎（2）已知直线l2：与圆C2：交于B，C两点，记△AOB 的面积为S1，△COC2的面积为S2，求的值．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．‎ ‎（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．‎ 解：（1）曲线C1：（β为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．‎ 将代入得到ρ2﹣8ρsinθ+12＝0．‎ 直线l1：（t为参数，），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．‎ 将θ＝α代入ρ2﹣8ρsinθ+12＝0得到ρ2﹣8ρsinα+12＝0，‎ 由于△＝（8sinα）2﹣4×12＝0，解得，‎ 故此时，‎ 所以点A的极坐标为（2）．‎ ‎（2）由于圆C2：，转换为直角坐标方程为．‎ 所以圆心坐标为（2）．‎ 设B（），C（），将代入，‎ 得到ρ2﹣6ρ+2＝0，‎ 所以ρ1+ρ2＝6，ρ1ρ2＝2．‎ 由于，．‎ 所以．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎[选修4--5:不等式选讲]‎ ‎23．已知正实数a，b，c满足a3+b3+c3＝1．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b+c≥（a2+b2+c2）2；‎ ‎（Ⅱ）证明：a2b+b‎2c+c‎2a≤1．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用柯西不等式直接证明即可；‎ ‎（Ⅱ）先利用立方和公式及基本不等式可得a3+b3≥a2b+ab2，b3+c3≥b‎2c+bc2，a3+c3≥a‎2c+ac2，进而得2（a3+b3+c3）≥a2b+ab2+b‎2c+bc2+a‎2c+ac2，再由a3≥‎2a2b﹣ab2，b3≥2b‎2c﹣bc2，c3≥‎2c2a﹣ca2，进而得 a3+b3+c3≥2（a2b+b‎2c+c‎2a）﹣ab2﹣bc2﹣ca2，进而得到3（a3+b3+c3）≥3（a2b+b‎2c+c‎2a），由此得证．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵a3+b3+c3＝1，‎ ‎∴a+b+c＝（a+b+c）（a3+b3+c3）（a2+b2+c2）2，即得证．‎ ‎（Ⅱ）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）≥（a+b）（2ab﹣ab）＝a2b+ab2，‎ 同理b3+c3≥b‎2c+bc2，a3+c3≥a‎2c+ac2，‎ 全部加起来得2（a3+b3+c3）≥a2b+ab2+b‎2c+bc2+a‎2c+ac2，①‎ 又a2+b2≥2ab，故a3+ab2≥‎2a2b，则a3≥‎2a2b﹣ab2，‎ 同理b3≥2b‎2c﹣bc2，c3≥‎2c2a﹣ca2，‎ 全部加起来得a3+b3+c3≥2（a2b+b‎2c+c‎2a）﹣ab2﹣bc2﹣ca2，②‎ 由①②得3（a3+b3+c3）≥3（a2b+b‎2c+c‎2a），‎ 即a2b+b‎2c+c‎2a≤a3+b3+c3＝1，即得证．‎ ‎【点评】本题主要考查柯西不等式及基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．‎ ‎ ‎