数学（理）卷·2017届云南省大理州高三上学期第二次统测考试（2017

数学（理）卷·2017届云南省大理州高三上学期第二次统测考试（2017

大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.为虚数单位，若复数的虚部为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知正方形的边长为，为的中点，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.某公司安排位员工在“元旦（月日至月日）”假期值班，每天安排人，每人值班天，则位员工中甲不在日值班的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知函数的定义域为，若对于分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④‎ 其中为“三角形函数”的个数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，则此球的体积等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数在内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知变量满足约束条件，若使取得最小值的最优解有无穷多个，则实数 ．‎ ‎14.的展开式中，项的系数为 ．‎ ‎15.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.在中，角对应的边分别为，已知，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列满足（为常数）.‎ （1） 当时，求的值；‎ ‎（2）当时，记，，证明：.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 年，国际数学协会正式宣布，将每年的月日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节.‎ 第一环节“解锁”：给定个密码，只有一个正确，参赛选手从个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰.‎ 第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得个、个、个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响.‎ （1） 求某参赛选手能进入第二环节的概率；‎ ‎（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为，求的分布列和期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图（）所示，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点.将沿折起到的位置，如图（）所示.‎ （1） 证明：平面；‎ （2） 若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ 20. ‎（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于两点，且满足.‎ （1） 求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若点在抛物线的准线上运动，其纵坐标的取值范围是，且，点是以线段为直径的圆与抛物线的准线的一个公共点，求点的纵坐标的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，（为自然对数的底数，），若在处取得极值，且是曲线的切线.‎ （1） 求的值；‎ ‎（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系取相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为为参数).曲线的极坐标方程为.‎ （1） 求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，与轴的交点为，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.‎ （1） 求；‎ （2） 若正实数满足，求的最小值.‎ 大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:ACABD 6-10: ACBDB 11、12：AD 附：‎ 12. 由得，则 ‎，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 从而在上恒成立 即，亦即 又函数在上单调递增 所以，所以 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 附：16.由知，‎ 所以 由正弦定理得，所以，即，‎ 又因为，‎ 所以，化简得，‎ 由，知，‎ 由，所以.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）当时，，‎ 所以数列是首项，公差的等差数列，‎ 所以，所以.‎ （2） 当时，变形得 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以，所以.‎ 18. 解：（1）选手能进入第二环节，说明该选手可能是第一次解锁成功，可能是第二次解锁成功，也可能是第三次才解锁成功.‎ 第一次解锁成功的概率为：，第一次解锁成功的概率为：，‎ 第一次解锁成功的概率为：，‎ 所以该选手能进入第二环节的概率为：.‎ （2） 的所有可能取值为 ‎，，‎ 所以的分布列为 ‎.‎ 19. ‎（1）证明：在图（）中，因为,是的中点，且，‎ 所以，‎ 即在图（）中，，又，平面，平面，‎ 从而平面，又，所以平面.‎ （2） 由已知，平面平面，且交线为，‎ 又由（）知，，所以平面，‎ 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，所以，‎ 得.‎ 设平面的法向量，平面的法向量，‎ 平面与平面的夹角为，‎ 则得，取，同理，取，‎ 从而，‎ 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ 20. 解：（1）设抛物线的标准方程为，其焦点的坐标为 直线的方程为，，‎ 联立方程消去得：，‎ 所以，‎ 因为，解得，‎ 所以所求抛物线的标准方程为.‎ （2） 设点，‎ 由（）知，，所以，‎ 因为，‎ 所以得或，‎ 因为，∴或，‎ 由抛物线定义可知，以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，‎ 所以点的纵坐标为，‎ 所以点的纵坐标的取值范围是.‎ 21. 解：（1），‎ 因为在处取得极值，所以，即，‎ 此时，‎ 设直线与曲线且于点，由题意得 ‎，解之得.‎ （2） 记函数 当时，恒成立，‎ 当时，，‎ 从而 所以在上恒成立，故在上单调递减.‎ 又，所以，‎ 又曲线在上连续不间断，‎ 所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的，使的，‎ 所以，‎ 故 从而 所以，‎ 由函数为增函数，且曲线在上连续不断，‎ 知在上恒成立.‎ ‎①当时，在上恒成立，‎ 即在上恒成立，记，则，‎ 从而在单调递减，在单调递增，所以 故“在上恒成立”只需，所以.‎ ‎②当时，，‎ 当时，在上恒成立，‎ 综上所述，实数的取值范围为：.‎ 22. 解：（1）由直线的参数方程（为参数）化为普通方程为，‎ 直线的倾斜角为，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.‎ （2） 易知直线与轴的交点为，‎ 从而直线的参数方程的标准形式为为参数).‎ 将直线的方程代入，得，‎ 整理得，所以，‎ 故.‎ 23. 解：（1）因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 从而实数的最大值.‎ （2） 因为 ‎，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以的最小值为.‎