高中数学人教a版选修1-1学业分层测评7椭圆的简单几何性质word版含解析

高中数学人教a版选修1-1学业分层测评7椭圆的简单几何性质word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．椭圆 25x2＋9y2＝225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A．5,3，4 5 B．10,6，4 5 C．5,3，3 5 D．10,6，3 5 【解析】 椭圆方程可化为x2 9 ＋y2 25 ＝1. ∴a＝5，b＝3，c＝4， ∴长轴长 2a＝10，短轴长 2b＝6， 离心率 e＝c a ＝4 5.故选 B. 【答案】 B 2．若焦点在 x 轴上的椭圆x2 2 ＋y2 m ＝1 的离心率为1 2 ，则 m 等于( ) A. 3 B.3 2 C.8 3 D.2 3 【解析】 ∵椭圆焦点在 x 轴上， ∴0＜m＜2，a＝ 2，c＝ 2－m， e＝c a ＝ 2－m 2 ＝1 2. 故2－m 2 ＝1 4 ，∴m＝3 2. 【答案】 B 3．中心在原点，焦点在 x 轴，若长轴长为 18，且两个焦点恰好 将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x2 81 ＋y2 72 ＝1 B.x2 81 ＋y2 9 ＝1 C.x2 81 ＋y2 45 ＝1 D.x2 81 ＋y2 36 ＝1 【解析】 因为 2a＝18,2c＝1 3 ×2a＝6，所以 a＝9，c＝3，b2＝ 81－9＝72.故所求方程为x2 81 ＋y2 72 ＝1. 【答案】 A 4．已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且左 焦点为 F，△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为( ) A. 3－1 2 B. 5－1 2 C.1＋ 5 4 D. 3＋1 4 【解析】 由题意得 a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即 c2＋ac－a2＝0，即 e2＋e－1＝0，解得 e＝－1± 5 2 ，又 e>0，故所求的椭圆的离心率为 5－1 2 .故选 B. 【答案】 B 5．设 e 是椭圆x2 4 ＋y2 k ＝1 的离心率，且 e∈ 1 2 ，1 ，则实数 k 的取 值范围是( ) A．(0,3) B. 3，16 3 C．(0,3)∪ 16 3 ，＋∞ D．(0,2) 【解析】 当焦点在 x 轴上时，e2＝c2 a2＝4－k 4 ∈ 1 4 ，1 ， 解得 0＜k＜3. 当焦点在 y 轴上时， e2＝c2 a2＝k－4 k ∈ 1 4 ，1 ， 解得 k＞16 3 .综上可知选 C. 【答案】 C 二、填空题 6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为1 3 ，长轴长为 12，则 椭圆方程为________. 【导学号：26160036】 【解析】 由题意得 c a ＝1 3 ， 2a＝12， a2＝b2＋c2， 解得 a＝6， b＝4 2， c＝2， ∴椭圆方程为x2 36 ＋y2 32 ＝1 或y2 36 ＋x2 32 ＝1. 【答案】 x2 36 ＋y2 32 ＝1 或y2 36 ＋x2 32 ＝1 7．若椭圆 x2 k＋8 ＋y2 9 ＝1 的离心率为2 3 ，则 k 的值为________． 【解析】 若焦点在 x 轴上，则 9 k＋8 ＝1－ 2 3 2＝5 9 ，k＝41 5 ；若焦 点在 y 轴上，则k＋8 9 ＝5 9 ，∴k＝－3. 【答案】 41 5 或－3 8．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为 F1(－4,0)，F2(4,0)， 点 P 在椭圆上，且△PF1F2 的最大面积是 12，则椭圆的短半轴长为 ________． 【解析】 设 P 点到 x 轴的距离为 h，则 S△PF1F2＝1 2|F1F2|h， 当 P 点在 y 轴上时，h 最大，此时 S△PF1F2 最大， ∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即 b＝3. 【答案】 3 三、解答题 9．椭圆y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)的两焦点 F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)， 离心率 e＝ 3 2 ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2－ 3，求椭圆的方程． 【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c ＝2－ 3.又 e＝c a ＝ 3 2 ， ∴a＝2，c＝ 3，b2＝1， ∴椭圆的方程为y2 4 ＋x2＝1. 10.如图 2－1－3 所示，F1，F2 分别为椭圆的左，右焦点，M 为 椭圆上一点，且 MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率． 图 2－1－3 【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a，b，c.因为 MF2⊥F1F2，所以△MF1F2 为直角三角形． 又∠MF1F2＝30°， 所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝ 3 2 |MF1|. 而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a， 因此|MF1|＝4a 3 ，|MF2|＝2a 3 ， 所以 2c＝ 3 2 ×4a 3 ，即c a ＝ 3 3 ， 即椭圆的离心率是 3 3 . [能力提升] 1．(2016·长沙一模)已知 P 是椭圆上一定点，F1，F2 是椭圆的两 个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝ 3|PF1|，则椭圆的离心率为( ) A. 3－1 2 B. 3－1 C．2－ 3 D．1－ 3 2 【解析】 由题意可得△PF1F2 是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1| ＝c，|PF2|＝ 3c.点 P 在椭圆上，由椭圆的定义可得 e＝c a ＝2c 2a ＝ |F1F2| |PF1|＋|PF2| ＝ 2c c＋ 3c ＝ 3－1. 【答案】 B 2．若点 O 和点 F 分别为椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP→ ·FP→的最大值为( ) A．2 B．3 C．6 D．8 【解析】 由题意得 F(－1,0)， 设点 P(x0，y0)， 则 y20＝3 1－x20 4 (－2≤x0≤2)， OP→ ·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋y20＝x20＋x0＋3 1－x20 4 ＝1 4(x0＋2)2 ＋2， 当 x0＝2 时，OP→ ·FP→取得最大值为 6. 故选 C. 【答案】 C 3．椭圆的焦点在 y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比 是 1∶4，短轴长为 8，则椭圆的标准方程是________. 【导学号：26160037】 【解析】 由题意得a－c a＋c ＝1 4 ，解得 c＝3 5a.又短轴长为 2b，则 2b ＝8，即 b＝4，故 b2＝a2－c2＝a2－ 3 5a 2＝16，则 a2＝25.故椭圆的标 准方程为y2 25 ＋x2 16 ＝1. 【答案】 y2 25 ＋x2 16 ＝1 4．(2014·安徽高考)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|＝3|BF1|. (1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16，求|AF2|； (2)若 cos∠AF2B＝3 5 ，求椭圆 E 的离心率． 【解】 (1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1. 因为△ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a＝16，|AF1|＋ |AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|BF1|＝k，则 k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2 中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－6 5(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋ k)(a－3k)＝0， 而 a＋k>0，故 a＝3k， 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得 F1A⊥F2A， 故△AF1F2 为等腰直角三角形． 从而 c＝ 2 2 a，所以椭圆 E 的离心率 e＝c a ＝ 2 2 .