高中数学人教版选修1-2课时提升作业（四）2-1-2演绎推理探究导学课型word版含答案
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课时提升作业(四)
演绎推理
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.(2015·福州高二检测)有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于 0，因为 a∈R，
所以 a2>0”，结论显然是错误的，是因为( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
【解析】选 A.任何实数的平方大于 0，
因为 a 是实数，所以 a2>0.
大前提：任何实数的平方大于 0 是不正确的.
2.在“△ABC 中，E，F 分别是边 AB，AC 的中点，则 EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边长的一半
C.E，F 为 AB，AC 的中点
D.EF∥BC
【解析】选 A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定
理.
【补偿训练】已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为 3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.
若将其恢复成完整的“三段论”，则大前提是 .
【解析】根据已知的推理，可知 32+42=52，满足直角三角形的三条边的性质，故大前提是一
条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形.
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
【拓展延伸】用三段论写推理过程的关注点
(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性
的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在
联系.
(2)有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时，可找一个使
结论成立的充分条件作为大前提.
3.(2015·登封高二检测)下面是一段“三段论”推理过程：若函数 f(x)在(a，b)内可导且
单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0 恒成立.因为 f(x)=x3 在(-1，1)内可导且单调递增，所
以在(-1，1)内，f′(x)=3x2>0 恒成立.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.结论正确 D.推理形式错误
【解析】选 A.因为对于可导函数 f(x)，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f′(x)>0 对 x∈(a，
b)恒成立，应该是 f′(x)≥0 对 x∈(a，b)恒成立，所以大前提错误.
4.(2015·厦门高二检测)已知三条不重合的直线 m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下
列命题：
①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α；
②若 l⊥α，m⊥β且 l∥m，则α∥β；
③若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则 n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 B.①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与 n 相交时才成立，
③错误；④正确.
5.“1
0，cosα<0.所以 m=8(m=0 舍去).
答案：8
【补偿训练】已知函数 f(x)=a- ，若 f(x)为奇函数，则 a= .
【解析】因为奇函数 f(x)在 x=0 处有定义且 f(0)=0(大前提)，而奇函数 f(x)=a- 的定
义域为 R(小前提)，所以 f(0)=a- =0(结论).
解得 a= .
答案：
8.不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .
【解题指南】应用演绎推理结合一元二次不等式知识解决.
【解析】不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立，
即(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切 x∈R 恒成立.
(1)若 a+2=0，显然不成立.
(2)若 a+2≠0，则 所以 a>2.
答案：(2，+∞)
【补偿训练】(2015·郑州高二检测)在 R 上定义运算⊗ ：x⊗ y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗
(x+a)<1 对任意实数 x 都成立，则( )
A.-10.
所以Δ=1+4(a2-a-1)<0 即 4a2-4a-3<0.
解得- 1)，证明：函数 f(x)在(-1，+∞)上为增函数.
【证明】任取 x1，x2∈(-1，+∞)，
且 x10，且 a>1，所以 >1.
而-10，x2+1>0，
所以 f(x2)-f(x1)>0，
所以 f(x)在(-1，+∞)上为增函数.
【一题多解】f(x)=ax+ =ax+1- .
所以 f′(x)=axlna+ .
因为 x>-1，所以(x+1)2>0，所以 >0.
又因为 a>1，所以 lna>0，ax>0，
所以 axlna>0，所以 f′(x)>0，
于是 f(x)=ax+ 在(-1，+∞)上是增函数.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f(x)，如果 f′(x0)=0，那么 x=x0 是函数
f(x)的极值点，因为函数 f(x)=x3 在 x=0 处的导数值 f′(0)=0，所以 x=0 是函数 f(x)=x3 的
极值点.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.结论正确
【解题指南】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也
可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函
数 f(x)，如果 f′(x0)=0，那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点”，不难得到结论.
【解析】选 A.因为大前提是：“对于可导函数 f(x)，如果 f′(x0)=0，那么 x=x0 是函数 f(x)
的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数 f(x)，如果 f′(x0)=0，且满足当 x>x0 时和当
x0，
由选项知 x>0，所以 sinx<0，选项 B 符合条件.
【延伸探究】本题条件不变，求函数 y=xcosx-sinx 在上的最值.
【解析】由原题解法可知，函数 y=xcosx-sinx 在上单调递增，故当 x=π时取得最小值，当
x=2π时取得最大值.所以 ymin=πcosπ-sinπ=-π，
ymax=2πcos2π-sin2π=2π.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.关于函数 f(x)=lg (x≠0)，有下列命题：
①其图象关于 y 轴对称；
②当 x>0 时，f(x)为增函数；
③f(x)的最小值是 lg2；
④当-11 时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值.
其中正确结论的序号是 .
【解析】易知 f(-x)=f(x)，则 f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称，①正确.当 x>0 时，
f(x)=lg =lg(x+ ).因为 g(x)=x+ 在(0，1)上是减函数，在(1，
+∞)上是增函数，所以 f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数，故②不正确，
而 f(x)有最小值 lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确.
答案：①③④
4.如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那
么面积为 4 的锐角△ABC 的内接正方形面积的最大值为 .
【解析】如图，作 AN⊥BC 于点 N 交 GF 于点 M，设 AN=h，BC=a，
因为四边形 GDEF 是正方形，
所以 GF=GD=MN，GF∥BC，
所以△AGF∽△ABC，
所以 = .
设正方形的边长为 x.
所以 = ，
解得 x= .
由于三角形的面积为 4，所以 ah=8，
所以 x= = ≤ = ，
当且仅当 a=h 时取等号.
所以△ABC 的内接正方形面积的最大值为( )2=2.
答案：2
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
5.已知 y=f(x)在(0，+∞)上有意义、单调递增且满足 f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求证：f(x2)=2f(x).
(2)求 f(1)的值.
(3)若 f(x)+f(x+3)≤2，求 x 的取值范围.
【解析】(1)证明：因为 f(xy)=f(x)+f(y)，(大前提)
所以 f(x2)=f(x·x)
=f(x)+f(x)=2f(x).(结论)
(2)因为 f(1)=f(12)=2f(1)，(小前提)
所以 f(1)=0.(结论)
(3)因为 f(x)+f(x+3)=f(x(x+3))≤2
=2f(2)=f(4)，(小前提)
且函数 f(x)在(0，+∞)上单调递增，(大前提)
所以 解得 0
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