人教a版高中数学选修1-1：单元质量评估（一）word版含答案

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温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 单元质量评估(一) 第一章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.(2016·宜昌高二检测)下列命题: ①面积相等的三角形是全等三角形; ②若 xy=0,则|x|+|y|=0; ③若 a>b,则 ac2>bc2; ④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当 x,y 中一个 为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当 c=0 时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对 角线不一定垂直. 【补偿训练】下列命题是真命题的是 ( ) A.y=tanx 的定义域是 R B.y= 的值域为 R C.y= 的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞) D.y=sin2x-cos2x 的最小正周期是π 【解析】选 D.当 x=kπ+ ,k∈Z 时,y=tanx 无意义,A 错; 函数 y= 的定义域为. 答案: 【拓展延伸】完美解决参数问题 通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的 题型.解决此类问题要从三个方面入手: (1)熟练掌握真值表,判断单个命题 p,q 的真假. (2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围. (3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围. 15.(2016·徐州高二检测)已知命题 p: ≤1,命题 q:x2-2x+1-m2<0(m>0),若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 m 的范围是 . 【解析】命题 p 首先化简为-1≤x≤3,命题 q 是二次不等式,p 是 q 的充分不必要条件说明当 -1≤x≤3 时不等式 x2-2x+1-m2<0 恒成立,故 又 m>0,故可解得 m>2. 答案:(2,+∞) 16.给出下列命题: ①数列 ,3, , ,3 …的一个通项公式是 ; ②当 k∈(-3,0)时,不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x 都成立; ③函数 y=sin2 -sin2 是周期为π的奇函数; ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 其中,真命题的序号是 . 【解析】①数列 ,3= , , ,3 = …的被开方数构成一个以 3 为首项, 以 6 为公差的等差数列,故它的一个通项公式是 ,故①正确; ②当 k∈(-3,0)时,因为Δ=k2+3k<0,故函数 y=2kx2+kx- 的图象开口朝下,且与 x 轴无交点, 故不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x 都成立,故②正确; ③函数 y=sin2 -sin2 =sin2 -cos2 = -cos =sin2x,是周期为π的奇函数,故③正确; ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确. 故真命题的序号是①②③④. 答案:①②③④ 【补偿训练】下列正确命题有 . ①“sinθ= ”是“θ=30°”的充分不必要条件; ②如果命题“(p 或 q)”为假命题,则 p,q 中至多有一个为真命题; ③设 a>0,b>1,若 a+b=2,则 + 的最小值为 3+2 ; ④函数 f(x)=3ax+1-2a 在(-1,1)上存在 x0,使 f(x0)=0,则 a 的取值范围是 a<-1 或 a> . 【解析】①由θ=30°可得 sinθ= ,反之不成立,因此“sinθ= ”是“θ=30°”的必要不 充分条件; ②命题“(p 或 q)”为假命题,则 p,q 都是假命题; ③a+b=2,所以 a+b-1=1, + = (a+b-1)=3+ + ≥3+2 ,最小值为 3+2 ; ④由题意得 f(-1)f(1)<0,所以(-5a+1)(a-1)<0,所以 a<-1 或 a> . 答案:③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(10 分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假. (1)对数函数都是单调函数. (2)至少有一个整数,它既能被 11 整除,又能被 9 整除. (3)∀x∈{x|x>0},x+ ≥2. (4)∃x0∈Z,log2x0>2. 【解析】(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”, 是全称命题,且为真命题. (2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题. (3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题. (4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题. 18.(12 分)已知 f(x)=x2,g(x)= -m,若对∀x1∈,∃x2∈,有 f(x1)≥g(x2),求实数 m 的取 值范围. 【解析】根据题意知,f(x1)min≥g(x2)min, 当 x1∈时,f(x1)min=0. 当 x2∈时,g(x2)= -m 的最小值为 g(2)= -m. 因此 0≥ -m,解之得 m≥ . 故实数 m 的取值范围是 . 19.(12 分)(2016·马鞍山高二检测)已知曲线 C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线 C 在 x 轴上所截的线段的长度为 1 的充要条件,证明你的结论. 【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性. 【解析】必要性:令 y=0,则 x2+Gx+F=0. 设 x1,x2 为此方程的根, 若|x1-x2|= =1,则 G2-4F=1. 充分性:若 G2-4F=1,x2+Gx+F=0 有两根为 x1,x2,且 x1+x2=-G,x1·x2=F, |x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1. 故所求的充要条件是 G2-4F=1. 20.(12 分)(2016·汕头高二检测)已知 p:-2≤1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 【解题指南】先解不等式求出 p 真和 q 真的条件.p 真:-2≤x≤10;q 真:1-m≤x≤1+m,然后利 用 p 是 q 的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于 m 的不等式,求出 m 的取值 范围. 【解析】由 x2-2x+1-m2≤0,得 1-m≤x≤1+m, 所以 q:A={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}. 由-2≤1- ≤2,得-2≤x≤10. 所以 p:B={x|x>10 或 x<-2}, 因为 p 是 q 的必要不充分条件, 所以 A B,所以 21.(12 分)(2016·聊城高二检测)设命题 p:函数 f(x)=lg 的定义域为 R: 命题 q:3x-9x0 对于一 切 x∈R 恒成立, 若 a=0,则不等式等价为-x>0,解得 x<0,不满足恒成立. 若 a≠0,则满足条件 即 解得 即 a>2,所以 p:a>2. 因为 g(x)=3x-9x=- + ≤ , 所以要使 3x-9x ,即 q:a> . 要使 p 且 q 为假,则 p,q 至少有一个为假命题. 当 p,q 都为真命题时,满足 即 a>2, 所以 p,q 至少有一个为假命题时有 a≤2, 即实数 a 的取值范围是 a≤2. 22.(12 分)(2016·福州高二检测)已知 a>0,b>0,函数 f(x)=ax-bx2. (1)求证:∀x∈R 均有 f(x)≤1 是 a≤2 的充分条件. (2)当 b=1 时,求 f(x)≤1,x∈恒成立的充要条件. 【解析】(1)f(x)=ax-bx2=-b + , 因为∀x∈R,f(x)≤1, 所以 ≤1,又 a>0,b>0, 所以 a≤2 , 所以∀x∈R 均有 f(x)≤1 是 a≤2 的充分条件. (2)因为 b=1,所以 f(x)=ax-x2, 当 x=0 时,f(x)=0≤1 成立, 当 x∈(0,1]时,f(x)≤1 恒成立, 即 a≤x+ 在(0,1]上恒成立,又 =2,此时 x=1, 所以 0

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