上海市青浦区2021届高三上学期期终学业质量调研测试（一模）数学试卷 Word版含答案

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成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 8 页 上海市青浦区 2021届高三一模数学试卷 2020.12 一. 填空题（本大题共 12题，1-6每题 4分，7-12每题 5分，共 54分） 1. 已知集合 {1,2,3,4}A  ， {0,2,4,6,8}B  ，则 2. 函数 2xy  的反函数是 3. 行列式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中，元素 3的代数余子式的值为 4. 已知复数 z满足 4 0z z   ，则 | |z  5. 圆锥底面半径为 1 cm，母线长为 2 cm，则其侧面展开图扇形的圆心角  6. 已知等差数列{ }na 的首项 1 1a  ，公差 2d  ，其前 n项和为 nS ，则 2( )lim n n n a S  7. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 b a 和 d c （ , , ,a b c d  *N ），则 b d a c   是 x的更为精确的近似值，己知 157 22 50 7   ， 试以上述 的不足近似值 157 50 和过剩近似值 22 7 为依据，那么使用两次“调日法”后可得  的近似分数为 8. 在二项式 5 2 1( )x ax  （ 0a  ）的展开式中 5x 的系数与常数项相等，则 a的值是 9. 点 A是椭圆 2 2 1 : 1 25 16 x yC   与双曲线 2 2 2 : 1 4 5 x yC   的一个交点，点 1F 、 2F 是椭圆 1C 的两个焦点， 则 1 2| | | |AF AF 的值为 10. 盒子中装有编号为 1、2、3、4、5、6、7、8、9的九个大小、形状、材质均相同的小球，从中随机任意取出两 个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示） 11. 记 ma 为数列{3 }n 在区间 (0, ]m （ n *N ）中的项的个数，则数列{ }ma 的前 100项的和 100S  12. 已知向量的模长为 1，平面向量、满足：，，则的取值范围是 二. 选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20分） 13. 已知 ,a bR，则“ a b ”是“ 2 a b ab  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中下列结论： ① 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ② 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ③ 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 2 页 共 8 页 15. 已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过 6  后，终边交单位圆于 1( , ) 3 P y ，则 sin 的值为（ ） A. 2 2 3 6  B. 2 2 3 6  C. 2 6 1 6  D. 2 6 1 6  16. 设函数 ( ) 1 x x P f x x M x      ，其中 P、M 是实数集R的两个非空子集，又规定 ( )A P  { | ( ), }y y f x x P  ， ( ) { | ( ), }A M y y f x x M   ，则下列说法： （1）一定有； （2）若 P M  RU ，则 ( ) ( )A P A M  RU ； （3）一定有； （4）若 P M  RU ，则 ( ) ( )A P A M  RU ； 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三. 解答题（本大题共 5题，共 14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1AB AD  ， 1 2AA  ，点 P为 1DD 的中点. （1）求证：直线 1BD ∥平面 PAC ； （2）求异面直线 1BD 与 AP所成角的大小. 18. 设函数 2( ) | |f x x x a   ， a为常数. （1）若 ( )f x 为偶函数，求 a的值；（2）设 0a  ， ( )( ) f xg x x  ， (0, ]x a 为减函数，求实数 a的取值范围. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 3 页 共 8 页 19. 如图，矩形 ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点 E在 AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物， DE是玻璃幕墙，游客只能在△ ADE区域内参观，在 AE上点 P处安装一可旋转的监控摄像头， MPN 为 监控角，其中M 、 N在线段DE（含端点）上，且点M 在点 N的右下方，经测量得知： 6AD  米， 6AE  米， 2AP  米， 4 MPN    ，记 EPM   （弧度），监控摄像头的可视区域△ PMN 的面积为 S 平方米.（1）分别求线段 PM 、 PN 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；（2）求 S 的最小值. 20. 已知动点M 到直线 2 0x   的距离比到点 (1,0)F 的距离大 1. （1）求动点M 所在的曲线C的方程； （2）已知点 (1,2)P ， A、 B是曲线C上的两个动点，如果直线 PA的斜率与直线 PB的斜率互为相反数， 证明直线 AB的斜率为定值，并求出这个定值； （3）已知点 (1,2)P ， A、 B是曲线C上的两个动点，如果直线 PA的斜率与直线 PB的斜率之和为 2， 证明：直线 AB过定点. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 4 页 共 8 页 21. 若无穷数列{ }na 和无穷数列{ }nb 满足：存在正常数 A，使得对任意的 nN* ，均有 | |n na b A  ，则称数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A . （1）设无穷数列{ }na 和{ }nb 均是等差数列，且 2na n ， 2nb n  （ nN* ），问：数列{ }na 与{ }nb 是否 具有关系 (1)P ？说明理由； （2）设无穷数列{ }na 是首项为 1，公比为 1 3 的等比数列， 1 1n nb a   ， *nN ，证明：数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A ，并求 A的最小值； （3）设无穷数列{ }na 是首项为 1，公差为 d （ dR）的等差数列，无穷数列{ }nb 是首项为 2，公比为 q（ qN* ）的等比数列，试求数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A 的充要条件 . 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 5 页 共 8 页 上海市青浦区 2021届高三一模数学试卷参考答案 一. 填空题 1. {2,4} 2. 2logy x 3. 3 4. 2 5.  6. 4 7. 201 64 8. 2 9. 21 10. 13 18 11. 284 12. [ 1,8] 二. 选择题 13. B 14. C 15. D 16. B 三. 解答题 17.（1）证明：设 AC和 BD交于点O，则O为 BD的中点，连结 PO，又∵ P是 1DD 的中点， ∴ PO∥ 1BD ，又∵ PO 平面 PAC ， 1BD 平面 PAC ，∴直线 1BD ∥平面 PAC . （2）由（1）知： PO∥ 1BD ，∴异面直线 1BD 与 AP所成的角就等于 PO与 AP所成的角，∴ APO 即为所求， ∵ 2PA PC  ， 21 2 2AO AC  且 PO AO ，∴ 2 12sin 22 AOAPO AP     ，∴ 30APO  ， 即异面直线 1BD 与 AP所成角的大小为 6  . 18.（1）∵ ( )f x 为偶函数，且 xR，∴ ( ) ( )f x f x  ， 即 2 2( ) | | | |x x a x x a       ，即 2 2| | | | | | | |x a x a x a x a         ， ∴ 4 0ax  对一切 xR成立，∴ 0a  . （2）∵ 0a  ，且 (0, ]x a ，∴ 2 2( )( ) 1 x x af x x a x ag x x x x x x           ， 任取 1 20 x x a   ， 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )a x x x x aa ag x g x x x x x x x x x x x x x             ， ∵ 1 20 x x a   ，∴ 1 2 0x x  且 2 1 20 x x a  ，又 ( )g x 在区间 (0, ]a 上为减函数，∴ 1 2 0x x a  ， 即 1 2a x x ，∴ 2a a ，又 0a  ，∴0 1a  . 19.（1）在△ PME中， EPM   ， 4PE AE AP   米， 4 PEM    ， 3 4 PME     ， 由正弦定理得： sin sin PM PE PEM PME    ，∴ sin 2 2 4 3sin sin cossin( ) 4 PE PEMPM PME           ， 同理在△ PNE 中，由正弦定理得： sin sin PN PE PEN PNE    ，∴ sin 2 2 2 2 sin cossin( ) 2 PE PENPN PNE          ， 当M 与 E重合时， 0  ；当 N与D重合时， tan 3APD  ，即 arctan3APD  ， 3arctan3 arctan3 4 4        ，∴ 30 arctan3 4    . 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 6 页 共 8 页 （2）△ PMN 的面积 2 1 4sin 2 cos sin cos S PM PN MPN          4 8 8 1 cos2 1 sin 2 cos2sin 2 2 sin(2 ) 2 2 4             ， ∵ 30 arctan3 4    ，∴当 2 4 2     即 3[0, arctan3] 8 4      时， S 取得最小值为 8 8( 2 1) 2    ， ∴可视区域△ PMN 面积的最小值为8( 2 1) 平方米. 20.（1）已知动点M 到直线 2 0x   的距离比到点 (1,0)F 的距离大 1， 等价于动点M 到直线 1x   的距离和到点 (1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得曲线C的方程为 2 4y x . （2）设直线 PA的斜率为 k，∵直线 PA的斜率与直线 PB的斜率互为相反数，∴直线 PB的斜率为 k ， 则 : 2 ( 1)PAl y k x   ， : 2 ( 1)PBl y k x    ， 2 2 2 ( 1) 4 4 8 0 4 y k x ky y k y x          或 2 2 2 2(2 4 4) (2 ) 0k x k k x k      ， 即[ (2 4)]( 2) 0ky k y    ，∴可得 2 2 (2 ) 4 2( , )k kA k k   ， 同理： 2 2 2 ( 1) 4 4 8 0 4 y k x ky y k y x           或 2 2 2 2(2 4 4) ( 2) 0k x k k x k      ， 即[ (2 4)]( 2) 0ky k y    ，∴可得 2 2 (2 ) 4 2( , )k kB k k    ， ∴ 2 2 2 2 4 2 4 2 1 (2 ) (2 )AB k k k kk k k k k           ，即直线 AB的斜率为定值 1 . （3）设直线 PA的斜率为 k，∴直线 PB的斜率为 2 k ，则 : 2 ( 1)PAl y k x   ， : 2 ( 1)PBl y k x    ， 2 2 2 ( 1) 4 4 8 0 4 y k x ky y k y x          ，即[ (2 4)]( 2) 0ky k y    ，∴可得 2 2 (2 ) 4 2( , )k kA k k   ， 同理得： 2 2 2 (2 )( 1) (2 ) 4 4 0 4 y k x k y y k y x           ，即[(2 ) 2 ]( 2) 0k y k y    ， ∴可得 2 2 2( , ) (2 ) 2 k kB k k  ，∴ 2 2 2 2 2 2 4 2 ( 2)2 (2 ) 2 2 (2 ) AB k k k kk kk k k k k k k         ， ∴   2 22 2 ( 2): ( ) 2 2 2 2AB k k k kl y x k k k k         ， 2 ( 2) ( 1) 2 2 k ky x k k      ，∴直线 AB恒过 ( 1,0) . 21.（1）∵ 2na n ， 2nb n  （ nN* ）， 若数列{ }na 与{ }nb 具有关系 (1)P ，则对任意的 nN* ，均有 | | 1n na b  ， 即 (2 2 | 1)| n n   ，亦即 | 2 | 1n   ，但 4n  时， | 2 | 2 1n    ，∴数列{ }na 与{ }nb 不具有关系 (1)P . 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 7 页 共 8 页 （2）证明：∵无穷数列{ }na 是首项为 1，公比为 1 3 的等比数列，∴ 11( ) 3 n na  ， ∵ 1 1n nb a   ，∴ 1( ) 1 3 n nb   ，∴ 11 1 2| | | ( ) ( ) 1 | 1 1 3 3 3 n n n n na b        ，∴数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A ， 设 A的最小值为 0A ， 0| |n na b A  ，∵ | | 1n na b  ，∴ 0 1A  ， 若 00 1A  ，则当 3 0 2log 1 n A   时， 0 23 1 n A   ，则 0 21 3n A  ， 这与“对任意的 nN* ，均有 0| |n na b A  ”矛盾，∴ 0 1A  ，即 A的最小值为 1. （3）∵数列{ }na 是首项为 1，公差为 d（ dR）为等差数列，无穷数列{ }nb 是首项为 2，公比为 q（ qN* ）的 等比数列，∴ 1 ( 1) 1na a n d dn d      ， 1 1 2n n nb b q q q    ，设1 d a  ， 2 0b q   ， 则 na dn a  ， n nb bq ， nN* ，数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A ， 即存在正常数 A，使得对任意的 nN* ，均有 | |n na b A  ， （Ⅰ）当 0d  ， 1q  时， | | |1 2 | 1 1n na b     ，取 1A  ，则 | |n na b A  ，数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A ； （Ⅱ）当 0d  ， 2q  时，假设数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A ， 则存在正常数 A，使得对任意的 nN* ，均有 | |n na b A  ， ∵ | | | | | |n n n nb a a b   ，∴对任意的 nN* ， | | | |n nb a A  ，即 1nbq A  ， 1n Aq b   ，∴ 1logq An b   ， 这与“对任意的 nN* ，均有 | | | |n nb a A  ”矛盾，不合； （Ⅲ）当 0d  ， 1q  时，假设数列{ }na 与{ }nb 具有性质 ( )P A ，则存在正常数 A，使得对任意的 nN* ， 均有 | |n na b A  ，∵ | | | | | |n n n na b a b   ，∴对任意的 nN* ， | |n na b A  ， 即 | | 2na A  ， | | 2dn a A   ，∴ | | | | 2dn a A   ， | | 2 | | a An d    ， 这与“对任意的 nN* ，均有 | | | |n na b A  ”矛盾，不合； （Ⅳ）当 0d  ， 2q  时，假设数列{ }na 与{ }nb 具有性质 ( )P A ， 则存在正常数 A，使得对任意的 nN* ，均有 | |n na b A  ， ∵ | | | | | |n n n nb a a b   ，∴对任意的 nN* ， | | | |n nb a A  ， ∴ | | | | | |nbq dn a A d n a A      ，∴ | | | |n d a Aq n b b    ， 设 | | 0d b   ， | | 0a A b    ，则对任意的 nN* ， nq n   ， ∵ 2n nq  ，∴对任意的 nN* ， 2n n   ， 可以证明：存在 1N  ，当 n N 时， 22n n ，（利用 2( ) 2nf n n  单调性） 又 2n n   ，∴ 2n n   ，即 2 0n n    ，解得： 2 40 2 n       ， 这与对任意的 nN* ， 2n n   矛盾，不合； 综上：数列{ }na 与{ }nb 具有关系 ( )P A 的充要条件为 0d  ， 1q  . 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 8 页 共 8 页