选修1-1课时提升作业十一2-1-2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用精讲优练课型

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温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十一 椭圆方程及性质的应用 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016·聊城高二检测)过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点 F 作倾斜角为 的弦 AB,则弦 AB 的长为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.椭圆的方程可化为 + =1, 所以 F(- ,0). 又因为直线 AB 的斜率为 , 所以直线 AB 的方程为 y= x+ . 由 得 7x2+12 x+8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- , x1·x2= , 所以|AB|= = . 2.AB 为过椭圆 + =1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面积的最大值为 ( ) A.b2 B.ab C.ac D.bc 【解析】选 D.由 AB 过椭圆中心,则 yA+yB=0, 故 S△AFB= (yA-yB)·c= |2yA|·c=|yA|·c≤bc,即当 AB 为 y 轴时面积最大. 3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆 + =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 ( ) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 【解析】选 D.设这条弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则 两式相减再变形得 +k =0. 又弦中点为(4,2),故 k=- , 故这条弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4), 整理得 x+2y-8=0. 4.(2016·衡水高二检测)如果 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·kOM 的值 为 ( ) A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2 【解析】选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), 由点差法, + =1, + =1,作差得 = , 所以 kAB·kOM= · =- = =e2-1. 【补偿训练】椭圆 + =1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率 为 ( ) A. B. C. D.- 【解析】选 B.设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ①-②得 + =0, 又因为弦中点为 M(-1,2), 所以 x1+x2=-2,y1+y2=4, 所以 + =0, 所以 k= = . 5.(2016·郑州高二检测)在区间和上分别取一个数,记为 a,b,则方程 + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.因为 + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆, 所以 a>b>0,a<2b, 它对应的平面区域如图中阴影部分所示: 则方程 + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 P= = = . 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·南昌高二检测)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴 上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程 为 . 【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 + =1(a>b>0).因为 e= ,所以 = . 根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 , 所以椭圆方程为 + =1. 答案: + =1 7.(2016·沈阳高二检测)椭圆 + =1 上有 n 个不同的点 P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点为 F, 数列{|PnF|}是公差大于 的等差数列,则 n 的最大值为 . 【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列{|PnF|}是公差大于 的等差数列,可求出 n 的最大值. 【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3, |PnF|=|P1F|+(n-1)d. 若 d= ,n=201,d> ,n<201. 答案:200 8.(2016·长春高二检测)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交 于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为 . 【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点 A(或 B)到右焦点的 距离,进而求得 a,c. 【解析】在△ABF 中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF, 又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= , 解得|AF|=6.在△ABF 中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故△ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦 点为 F′,连接 AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形 AFBF′为矩形, 则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8, 即焦距 2c=10, 又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a, 所以 2a=|AF|+|AF′|=6+8=14. 故离心率 e= = = . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- ),(0, )的距离之和等于 4,设点 P 的轨 迹为 C. (1)求 C 的方程. (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,k 为何值时 ⊥ ?此时|AB|的值是多少. 【解析】(1)设 P(x,y),由椭圆的定义知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- ),(0, )为焦点,长半 轴长为 2 的椭圆,它的短半轴长 b= =1.故曲线 C 的方程为 +x2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 消去 y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0. 由根与系数的关系得 x1+x2=- ,x1x2=- . 若 ⊥ ,则 x1x2+y1y2=0. 因为 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 所以 x1x2+y1y2=- - - +1=- =0, 所以 k=± . 当 k=± 时,x1+x2=∓ ,x1x2=- . 所以|AB|= = . 而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= +4× = , 所以|AB|= = . 10.(2016·烟台高二检测)设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (1)求椭圆的方程. (2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两点.若 · + · =8,求 k 的值. 【解析】(1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= c. 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=-c,代入椭圆方程有 + =1,解得 y=± ,于是 = ,解得 b= , 又 a2-c2=b2,从而 a= ,c=1, 所以椭圆方程为 + =1. (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1), 由方程组 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 所以 x1+x2=- ,x1x2= . 因为 A(- ,0),B( ,0), 所以 · + · =(x1+ ,y1)·( -x2,-y2)+(x2+ ,y2)·( -x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 =6+ . 由已知得 6+ =8,解得 k=± . 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·济南高二检测)若直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点,则过点(a,b)的直线与 椭圆 + =1 的公共点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.需根据 a,b 的取值来确定 【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2 为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆 x2+y2=4 内切于椭圆,进而可知点 P 是椭 圆内的点,进而判断可得答案. 【解析】选 C.因为直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点, 所以原点到直线 ax+by+4=0 的距离 d= >2,所以 a2+b2<4,所以点 P(a,b)是在以原点为 圆心,2 为半径的圆内的点, 因为椭圆的长半轴为 3,短半轴为 2, 所以圆 x2+y2=4 内切于椭圆, 所以点 P 是椭圆内的点, 所以过点 P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为 2. 2.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.把 y=1-x 代入椭圆 ax2+by2=1, 得 ax2+b(1-x)2=1, 整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,y1+y2=2- , 所以线段 AB 的中点坐标为 , 所以过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 k= = = ,即 = . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016·石家庄高二检测)过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 . 【解析】右焦点为(1,0),故直线为 y=2(x-1). 由 消去 y,得 3x2-5x=0, 所以 x=0 或 x= , 从而 A(0,-2),B . 所以|AB|= = = . 又 O 到 AB 的距离 d= = , 所以 S△AOB= ·|AB|·d= × × = . 答案: 4.(2016·青岛高二检测)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0), 若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 = 成 立 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为 . 【解析】由正弦定理及 = ,得 = = . 在△PF1F2 中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a-x. 则上式为 = ,即 cx+ax=2a2,x= . 又 a-c-c2,显然恒成立. 由 0,即 e2+2e-1>0, 解得 e>-1+ 或 e<-1- (舍). 又 01 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). 由 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= . 由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 =1, 即 m2k2=k2+1. 所以|AB|= = = = . 当 m=±1 时,|AB|= , 所以|AB|= ,m∈(-∞,-1]∪ = = = (2-m2), 所以 · = · . 关闭 Word 文档返回原板块