高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.5 定积分的概念

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.5 定积分的概念

1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3 定积分的概念 [学习目标] 1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程． 3．了解定积分的概念． 4．了解定积分的几何意义和性质． [知识链接] 1．如何计算下列两图形的面积？ 答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解． 2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形 面积的误差？ 答 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分 割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小． 3．当 f(x)在区间[a，b]上且 f(x)<0 时，错误!f(x)dx 表示的含义是什么？ 答 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，错误!f(x)dx 表示由 y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0 所围 成的图形的面积的相反数． [预习导引] 1．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如 图①所示)． (2)求曲边梯形面积的方法 把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形 “以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近 似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)． (3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限． 2．求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数 v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取 极限的方法，求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. 3．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0 ②< 1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a，b]； (2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]； (3)求和：错误!(ξi)·b－a n ； (4)取极限：S＝li mn→∞ 错误!(ξi)·b－a n .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了 计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)． 2．定积分 错误!f(x)dx 是一个和式 错误!b－a n f(ξi)的极限，是一个常数． 3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利 用几何意义求定积分． 4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算. 一、基础达标 1．当 n 很大时，函数 f(x)＝x2 在区间 i－1 n ，i n 上的值，可以近似代替为( ) A．f 1 n B．f 2 n C．f i n D．f(0) 答案 C 2．一物体沿直线运动，其速度 v(t)＝t，这个物体在 t＝0 到 t＝1 这段时间内所走的路程为 ( ) A.1 3 B．1 2 C．1 D．3 2 答案 B 解析 曲线 v(t)＝t 与直线 t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积 S＝1 2 即为这段时间内物体所 走的路程． 3．由直线 x＝1，y＝0，x＝0 和曲线 y＝x3 所围成的曲边梯形，将区间 4 等分，则曲边梯形 面积的近似值(取每个区间的右端点)是( ) A. 1 19 B．111 256 C．11 27 D．25 64 答案 D 解析 将区间[0,1]四等分，得到 4 个小区间：0，1 4 ， 1 4 ，1 2 ， 1 2 ，3 4 ， 3 4 ，1 ， 以每个小区间右端点的函数值为高，4 个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值 S＝ 1 4 3×1 4 ＋ 1 2 3×1 4 ＋ 3 4 3×1 4 ＋13×1 4 ＝25 64. 4．下列命题不正确的是( ) A．若 f(x)是连续的奇函数，则错误!－af(x)dx＝0 B．若 f(x)是连续的偶函数，则错误!－af(x)dx＝2错误!f(x)dx C．若 f(x)在[a，b]上连续且恒正，则 错误!f(x)dx＞0 D．若 f(x) 在[a，b]上连续且 错误!f(x)dx>0，则 f(x)在[a，b]上恒正 答案 D 解析 对于 A，f(－x)＝－f(x)，错误!－af(x)dx＝错误!－af(x)dx＋错误!f(x)dx＝－∫a0f(x)dx＋ 错误!f(x)dx＝0，同理 B 正确；由定积分的几何意义知，当 f(x)>0 时，错误!f(x)dx>0 即 C 正 确；但 错误!f(x)dx>0，不一定有 f(x)恒正，故选 D. 5．已知 错误!xdx＝2，则错误!－txdx 等于________． 答案 －2 解析 ∵f(x)＝x 在[－t，t]上是奇函数， ∴错误!－txdx＝0.而错误!－txdx＝错误!－txdx＋错误!xdx， 又 错误!xdx＝2，∴错误!－txdx＝－2. 6．由 y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0 所围成图形的面积写成定积分的形式是 S＝________. 答案 －错误!－πsin xdx 解析 由定积分的意义知，由 y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0 围成图形的面积为 S＝－错误! －π sin xdx. 7．求直线 x＝0，x＝2，y＝0 与曲线 y＝x2 所围成的曲边梯形的面积． 解 令 f(x)＝x2. (1)分割 将区间[0,2]n 等分，分点依次为 x0＝0，x1＝2 n ，x2＝4 n ，…，xn－1＝2n－1 n ，xn＝2. 第 i 个区间为 2i－2 n ，2i n (i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝2i n －2i－2 n ＝2 n. (2)近似代替、求和 取ξi＝2i n(i＝1,2，…，n)， Sn＝错误! 2i n ·Δx＝错误! 2i n 2·2 n ＝ 8 n3 错误!2 ＝ 8 n3(12＋22＋…＋n2) ＝ 8 n3·nn＋12n＋1 6 ＝4 3 2＋3 n ＋ 1 n2 . (3)取极限 S＝li mn→∞Sn＝li mn→∞ 4 3 2＋3 n ＋ 1 n2 ＝8 3 ， 即所求曲边梯形的面积为8 3. 二、能力提升 8．已知 f(x)＝x3－x＋sin x，则错误!－2f(x)dx 的值为( ) A．等于 0 B．大于 0 C．小于 0 D．不确定 答案 A 解析 易知 f(x)为奇函数，由奇函数的性质错误!－2f(x)dx＝－错误!f(x)dx，而错误!－2f(x)dx ＝错误!－2f(x)dx＋错误!f(x)dx＝0. 9．设 a＝错误!x1 3dx，b＝错误!x2 dx，c＝错误!x3 dx，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．c>a>b B．a>b>c C．a＝b>c D．a>c>b 答案 B 解析 根据定积分的几何意义，易知 错误!x3dx＜错误!x2dx<错误!x1 3dx，a＞b＞c，故选 B. 10．设 f(x)是连续函数，若 错误!f(x)dx＝1，错误!f(x)dx＝－1，则 错误!f(x)dx＝________. 答案 －2 解析 因为 错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx， 所以 错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx＝－2. 11．已知∫π 20sin xdx＝错误!sin xdx＝1，∫π 20x2dx＝π3 24 ，求下列定积分： (1)错误!sin xdx；(2)∫π 20(sin x＋3x2)dx. 解 (1)错误!sin xdx＝∫π 20sin xdx＋错误!sin xdx＝2. (2)∫π 20(sin x＋3x2)dx＝∫π 20sin xdx＋3∫π 20x2dx＝1＋π3 8 . 12．已知函数 f(x)＝ x3，x∈[－2，2 2x，x∈[2，π cos x，x∈[π，2π] ，求 f(x)在区间[－2,2π]上的定积分． 解 由定积分的几何意义知 错误!－2x3dx＝0，错误!2xdx＝π－22π＋4 2 ＝π2－4， ∫2ππ cos xdx＝0， 由定积分的性质得 错误!f(x)dx＝错误!－2x3dx＋错误!2xdx＋∫2ππ cos xdx ＝π2－4. 三、探究与创新 13．利用定积分的定义计算错误!(－x2＋2x)dx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么． 解 令 f(x)＝－x2＋2x. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，把区间[1,2]等分为 n 个小区间 1＋i－1 n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝i n －i－1 n ＝1 n. (2)近似代替、作和 取ξi＝1＋i n(i＝1,2，…，n)，则 Sn＝错误! 1＋i n ·Δx ＝错误! － 1＋i n 2＋2 1＋i n ·1 n ＝－ 1 n3 [n＋12＋n＋22＋n＋32＋…＋2n2]＋ 2 n2[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n] ＝－ 1 n3 2n2n＋14n＋1 6 －nn＋12n＋1 6 ＋ 2 n2·nn＋1＋2n 2 ＝－1 3 2＋1 n 4＋1 n ＋1 6 1＋1 n 2＋1 n ＋3＋1 n ， (3)取极限 错误!(－x2＋2x)dx＝li mn→∞Sn＝li mn→∞ －1 3 2＋1 n 4＋1 n ＋ 1 6 1＋1 n 2＋1 n ＋3＋1 n ＝2 3 ， 错误!(－x2＋2x)dx＝2 3 的几何意义为由直线 x＝1，x＝2，y＝0 与曲线 f(x)＝－x2＋2x 所围成的 曲边梯形的面积.