高中数学人教a必修5学业分层测评6数列的概念与简单表示法word版含解析

高中数学人教a必修5学业分层测评6数列的概念与简单表示法word版含解析

学业分层测评（六） (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正 确． 【答案】 B 2．数列的通项公式为 an＝ 3n＋1，n 为奇数， 2n－2，n 为偶数， 则 a2·a3 等于( ) A．70 B．28 C．20 D．8 【解析】 由 an＝ 3n＋1，n 为奇数， 2n－2，n 为偶数， 得 a2＝2，a3＝10，所以 a2·a3＝20. 【答案】 C 3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A．an＝(－1)n·(2n－1) B．an＝(－1)n·(2n－1) C．an＝(－1)n＋1·(2n－1) D．an＝(－1)n＋1·(2n－1) 【解析】 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又 1＝21－1,3＝22 －1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为 an＝(－1)n·(2n－1)． 【答案】 A 4．(2015·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an＝n－1 n＋1 ，那么这个数 列是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【解析】 an＝n－1 n＋1 ＝1－ 2 n＋1 ，∴当 n 越大， 2 n＋1 越小，则 an 越大，故该 数列是递增数列． 【答案】 A 5．在数列－1,0，1 9 ，1 8 ，…，n－2 n2 ，…中，0.08 是它的( ) A．第 100 项 B．第 12 项 C．第 10 项 D．第 8 项 【解析】 ∵an＝n－2 n2 ，令n－2 n2 ＝0.08，解得 n＝10 或 n＝5 2(舍去)． 【答案】 C 二、填空题 6．(2015·黄山质检)已知数列{an}的通项公式 an＝19－2n，则使 an>0 成立的 最大正整数 n 的值为 ． 【解析】 由 an＝19－2n>0，得 n<19 2 . ∵n∈N*，∴n≤9. 【答案】 9 7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足 a1＝2，a2＝4，则 a3＝ . 【解析】 a1＝a＋m＝2， a2＝a2＋m＝4， ∴a2－a＝2， ∴a＝2 或－1，又 a<0，∴a＝－1. 又 a＋m＝2，∴m＝3， ∴an＝(－1)n＋3， ∴a3＝(－1)3＋3＝2. 【答案】 2 8．(2015·宁津高二检测)如图 211①是第七届国际数学教育大会(简称 ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 211②的一连串直角三角形演化而 成的，其中 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作 下去，记 OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为 an＝ . 图 211 【解析】 因为 OA1＝1，OA2＝ 2，OA3＝ 3，…， OAn＝ n，…， 所以 a1＝1，a2＝ 2，a3＝ 3，…，an＝ n. 【答案】 n 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)4 5 ，1 2 ，4 11 ，2 7 ，…； (2)1 2 ，2，9 2 ，8，25 2 ，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…. 【导学号：05920064】 【解】 (1)注意前 4 项中有两项的分子为 4，不妨把分子统一为 4，即为4 5 ， 4 8 ，4 11 ，4 14 ，…，于是它们的分母依次相差 3，因而有 an＝ 4 3n＋2. (2)把分母统一为 2，则有1 2 ，4 2 ，9 2 ，16 2 ，25 2 ，…，因而有 an＝n2 2 . (3)注意 6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分 母都乘以 2，即1×2 2 ，2×3 2 ，3×4 2 ，4×5 2 ，5×6 2 ，…，因而有 an＝nn＋1 2 . (4)把各项除以 7，得 1,11,111，…，再乘以 9，得 9,99,999，…，因而有 an ＝7 9(10n－1)． 10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于 n 的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求 a2016； (3)2016 是否为数列{an}中的项？ 【解】 (1)设 an＝kn＋b(k≠0)，则有 k＋b＝2， 17k＋b＝66， 解得 k＝4，b＝－2.∴an＝4n－2. (2)a2 016＝4×2 016－2＝8 062. (3)由 4n－2＝2 016 得 n＝504.5∉N*， 故 2 016 不是数列{an}中的项． [能力提升] 1．已知数列{an}的通项公式 an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前 30 项之积是( ) A.1 5 B．5 C．6 D．log23＋log3132 5 【 解 析 】 a1·a2·a3·…·a30 ＝ log23×log34×log45×…×log3132 ＝ lg 3 lg 2 ×lg 4 lg 3 ×…×lg 32 lg 31 ＝lg 32 lg 2 ＝log232＝log225＝5. 【答案】 B 2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则 k 的取值范围 是( ) A．(－∞，2] B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，3] 【解析】 an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增， 故应有 an＋1－an>0，即 2n＋1－k>0 恒成立，分离变量得 k<2n＋1，故只需 k<3 即可． 【答案】 B 3．根据图 212 中的 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个 图中有 个点． 图 212 【解析】 观察图形可知，第 n 个图有 n 个分支，每个分支上有(n－1)个点 (不含中心点)，再加中心上 1 个点，则有 n(n－1)＋1＝n2－n＋1 个点． 【答案】 n2－n＋1 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－21n 2 (n∈N*)． (1)0 和 1 是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项． 【解】 (1)令 an＝0，得 n2－21n＝0，∴n＝21 或 n＝0(舍去)，∴0 是数列{an} 中的第 21 项． 令 an＝1，得n2－21n 2 ＝1， 而该方程无正整数解，∴1 不是数列{an}中的项． (2)假设存在连续且相等的两项是 an，an＋1， 则有 an＝an＋1，即n2－21n 2 ＝n＋12－21n＋1 2 . 解得 n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第 10 项和第 11 项．