高中数学求函数值域的方法十三种

高中数学求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用 一、观察法：从自变量 x的范围出发，推出 ( )y f x 的取值范围。 【例 1】求函数 1y x  的值域。 【解析】∵ 0x  ，∴ 1 1x   ， ∴函数 1y x  的值域为[1, ) 。 【例 2】求函数 x 1y  的值域。 【解析】∵ 0x  ∴ 0 x 1  显然函数的值域是： ),0()0,(   【例 3】已知函数   11 2  xy ，  2,1,0,1x ，求函数的值域。 【解析】因为  2,1,0,1x ，而     331  ff ，     020  ff ，   11 f 所以：  3,0,1y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为 Rx ，则函数的值域为 1| yy 。 二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 2( ) ( ) ( )F x af x bf x c   的函数的 值域问题，均可使用配方法。 【例 1】 求函数 2 2 5, [ 1,2]y x x x     的值域。 【解析】将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当 x=1 ∈[-1,2]时， ，当 时， 故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知 2 32x x ，求函数 f x x x( )   2 1的最值。 【解析】由已知 2 32x x ，可得 0 3 2  x ，即函数 f x( )是定义在区间 0 3 2 ，     上的二次函数。将二次函数配 方得 f x x( )       1 2 3 4 2 ，其对称轴方程 x   1 2 ，顶点坐标     1 2 3 4 ， ，且图象开口向上。显然其顶点横坐 标不在区间 0 3 2 ，     内，如图 2所示。函数 f x( )的最小值为 f ( )0 1 ，最大值为 f 3 2 19 4      。 图 2 【例 2】 若函数 2( ) 2 2, [ , 1]f x x x x t t    当 时的最小值为 ( )g t ，（1）求函数 ( )g t （2）当 t [-3,-2]时，求 g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数 f x x( ) ( )  1 12 ，其对称轴方程为 x  1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 图 1 图 2 图 3 ①如图 1 所示，若顶点横坐标在区间  t t，  1 左侧时，有 1 t ，此时，当 x t 时，函数取得最小值 f x f t t( ) ( ) ( )min    1 12 。 ②如图 2 所示，若顶点横坐标在区间 t t，  1 上时，有 t t  1 1，即 0 1 t 。当 x  1时，函数取得最小 值 f x f( ) ( )min  1 1。 ③如图 3所示，若顶点横坐标在区间 t t，  1 右侧时，有 t  1 1，即 t  0。当 x t  1时，函数取得最小值 f x f t t( ) ( )min    1 12 综上讨论，g(t)=          01 10,1 1,1)1( )( 2 2 min tt t tt xf (2) 2 2 1( 0) ( ) 1(0 1) 2 2( 1) t t g t t t t t            ( ,0]t  时， 2( ) 1g t t  为减函数  在[ 3, 2]  上， 2( ) 1g t t  也为减函数  min( ) ( 2) 5g t g   ， max( ) ( 3) 10g t g   【例 3】 已知 2( ) 2 2f x x x   ，当 [ 1]( )x t t t  R， 时，求 ( )f x 的最大值． 【解析】由已知可求对称轴为 1x  ． （1）当 1t  时， 2 2 min max( ) ( ) 2 3 ( ) ( 1) 2f x f t t t f x f t t        ， ． （2）当 1 1t t ≤ ≤ ，即0 1t≤ ≤ 时，． 根据对称性，若 2 1 2 1   tt 即 10 2 t≤ ≤ 时， 2 max( ) ( ) 2 3f x f t t t    ． 若 2 1 2 1   tt 即 1 1 2 t ≤ 时， 2 max( ) ( 1) 2f x f t t    ． （3）当 1 1t   即 0t  时， 2 max( ) ( ) 2 3f x f t t t    ． 综上，          2 1,32 2 1,2 )( 2 2 max ttt tt xf 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些 问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或 二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区 间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值 不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到， 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为 什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a  0时          ))(( 2 1 2 )( ))(( 2 1 2 )( )( 2 1 max 如图 如图 ， ， nm a bnf nm a bmf xf              )( 2 )( )( 2 ) 2 ( )( 2 )( )( 5 4 3 min 如图 如图 如图 ， ， ， m a bmf n a bm a bf n a bnf xf 当a  0时              )( 2 )( )( 2 ) 2 ( )( 2 )( )( 8 7 6 max 如图 如图 如图 ， ， ， m a bmf n a bm a bf n a bnf xf f x f m b a m n f n b a m n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) min              ， ， 如图 如图 2 1 2 2 1 2 9 10 【例 4】 (1) 求 2f ( x ) x 2ax 1   在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数 )( axxy  在 ]1,1[x 上的最大值。 【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a  ， 当 1a 2   即 1a 2   时， maxf ( x ) f ( 2 ) 4a 5   ； 当 1a 2   即 1a 2   时， maxf ( x ) f ( 1) 2a 2    。 综上所述： max 12a 2,a 2f ( x ) 14a 5,a 2           。 (2)函数 4 ) 2 ( 2 2 aaxy  图象的对称轴方程为 2 ax  ，应分 1 2 1  a ， 1 2  a ， 1 2  a 即 22  a ， 2a 和 2a 这三种情形讨论，下列三图分别为 （1） 2a ；由图可知 max( ) ( 1)f x f  （2） a 2 2 ；由图可知 max( ) ( ) 2 af x f （3） 2a 时；由图可知 max( ) (1)f x f            2,)1( 22,) 2 ( 2,)1( af aaf af y最大 ；即            2,1 22, 4 2,)1( 2 aa aa aa y最大 【例 5】 已知二次函数 2f ( x ) ax ( 2a 1)x 1    在区间 3 ,2 2     上的最大值为 3，求实数 a的值。 【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 a 0 与 a 0 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若 注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程 就简明多了。具体解法为： （1）令 2a 1f ( ) 3 2a    ，得 1a 2   此时抛物线开口向下，对称轴方程为 x 2  ，且 32 ,2 2       ，故 1 2  不合题意； （2）令 f ( 2 ) 3 ，得 1a 2  此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 1a 2  符合题意； （3）若 3f ( ) 3 2   ，得 2a 3   此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 2a 3   符合题意。 综上， 1a 2  或 2a 3   解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先 斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的 资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。 【变式】 已知函数 2( ) 2 1f x ax ax   在区间[ 3, 2] 上的最大值为 4，求实数 a的值。 【解析】 2( ) ( 1) 1 , [ 3,2]f x a x a x      （1）若 0, ( ) 1,a f x  ，不符合题意。 （2）若 0,a  则 max( ) (2) 8 1f x f a   由8 1 4a   ，得 3 8 a  （3）若 0a  时，则 max( ) ( 1) 1f x f a    由1 4a  ，得 3a   综上知 3 8 a  或 3a   【例 6】 已知函数 2 ( ) 2 xf x x   在区间[ , ]m n 上的最小值是 3m最大值是 3n，求m， n的值。 【解法 1】讨论对称轴 中 1与 , , 2 m nm n 的位置关系。 ①若 ，则 max min ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 f x f n n f x f m m      解得 ②若 1 2 m n n   ，则 max min ( ) (1) 3 ( ) ( ) 3 f x f n f x f m m      ，无解 ③若 1 2 m nm    ，则 max min ( ) (1) 3 ( ) ( ) 3 f x f n f x f n m      ，无解 ④若 ，则 max min ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 f x f m n f x f n m      ，无解 综上， 4, 0m n   【解法 2】由 21 1( ) ( 1) 2 2 f x x    ，知 1 13 , , 2 6 n n  ，则[ , ] ( ,1]m n   ， 又∵在[ , ]m n 上当 x增大时 )(xf 也增大所以 max min ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 f x f n n f x f m m      解得 4, 0m n   评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m， n的取值范围，避开了繁难的分类 讨论，解题过程简洁、明了。 【例 7】 求函数 3 5y x x    的值域. 【解法 1】 22 )4(122)5)(3(253  xxxxxy 显然 ]4,2[)4(122 22  xy 故函数的值域是： ]2,2[y 【 解 法 2 】 显 然 3 ≤ x ≤ 5, 2 23 2sin ( [0, ]) 5 2cos 2 x x        , 3 5 2(sin cos ) 2sin( ) [ 2,2] 4 y x x            三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过 该方法可将原函数转化为为 )(xfky  ( 为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。 【例 1】 求函数 1 2    x xy 的值域 【解析】利用恒等变形，得到： 1 11   x y ，容易观察知 x≠-1,y≠1，得函数的值域为 y ∈(-∞,1)∪(1, + ∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。 【例 2】 求函数 12 2    xx xxy 的值域。 【解析】观察分子、分母中均含有 xx 2 项，可利用部分分式法；则有 4 3) 2 1( 11 1 11 1 2 2 2 2 2         xxx xx xx xxy 不妨令： )0)(( )( 1)(, 4 3) 2 1()( 2  xf xf xgxxf 从而   , 4 3)(xf 注意：在本题中应排除 0)( xf ，因为 )(xf 作为分母。所以      4 3,0)(xg 故 1, 3 1  y 【变式】求下列函数的值域： (1) 23 1   x xy (2) 1 1 2 2    x xy . 答案：（１）值域 ),(),( 3 1 3 1 y （２）值域 y ∈[-1,1] 四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到 原函数的值域。 【例 1】求函数 1 2 1 2 x xy    的值域。 【解析】由 1 2 1 2 x xy    解得 12 1 x y y    ， ∵2 0x  ，∴ 1 0 1 y y    ， ∴ 1 1y   ∴函数 1 2 1 2 x xy    的值域为 ( 1,1)y  。 【例 2】求函数 3 4 5 6 xy x    值域。 【解析】由原函数式可得： 则其反函数为： ，其定义域为： 故所求函数的值域为： 3 3( , ) ( , ) 5 5   【例 3】 求函数 1 1    x x e ey 的值域。 解答：先证明 1 1    x x e ey 有反函数，为此，设 21 xx  且 Rxx 21, ， 0 )1)(1( 2 1 1 1 1 21 21 2 2 1 1 21           xx xx x x x x ee ee e e e eyy 。 所以 y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为： x xy    1 11 ln 。此函数的定义域为 )1,1(x ，故原函数的 值域为 )1,1(y 。 【例 4】 求函数 ])1,1[,,0,0(     xbaba bxa bxay 的值域。 【解法 1】-1≤x≤1 a-b≤a-bx≤a+b ba a bxa a ba a      222 ba a bxa ay ba a      212112 ， ba bay ba ba      【解法 2】（反函数法）： )1( 2   yb a b ax ,由-1≤x≤1得： 1 )1( 21    yb a b ax ， ba bay ba ba      五、判别式法：把函数转化成关于 x的二次方程 ( , ) 0F x y  ；通过方程有实数根，判别式 0  ，从 而求得原函数的值域，形如 2 1 1 1 2 2 2 2 a x b x cy a x b x c      （ 1a 、 2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求 解。（解析式中含有分式和根式。） 【例 1】求函数 2 2 1 1 x xy x     的值域。 【解析】原函数化为关于 x 的一元二次方程 ,由于 x取一切实数，故有 （1）当 时， 解得： （2）当 y=1 时， ，而 故函数的值域为 【例 2】求函数 (2 )y x x x   的值域。 【解析】两边平方整理得： （1） ∵ ∴ 解得： 但此时的函数的定义域由 ，得 由 ，仅保证关于 x 的方程： 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2] 上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ 代入方程（1） 解得： 即当 时， 原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔 除。 解法二： 2(2 ) 1 (x 1)y x x x x       ，令 ] 2 , 2 [sin1  x ) 4 sin(21cossin1  y 4 3 44   1) 4 sin( 2 2   原函数的值域为： 【例 3】 已知函数 2 2 2( ) 1 x ax bf x x     的值域为[1，3]，求 ,a b的值。 【解析】 2 2 2 1 x ax by x     2 2( 2) 0 4(y 2)(y b) 0y x ax y b a             2 24 4(2 b) y 8b a 0y      。 由于 2 2 2( ) 1 x ax bf x x     的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3} 1 2 2 1 2 2 1 3 2 8 23 4 y y b a b a by y             【例 4】求函数 22 1 2   xx xy 的值域。 【解法 1】先将此函数化成隐函数的形式得： 012)12(2  yxyyx ，(1) 这是一个关于 x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式 0)12(4)12( 2  yyy ，解得： 2 1 2 1  y 。 故原函数的值域为： ],[ 2 1 2 1y 。 【解法 2】当 x≠-1 时 1 1)1( 1 22 1 2      x x y xx x 由于 当 x+1< 0 时， 2 1 1)1(    x x ，即 )0,[ 2 1y 当 x+1＞ 0 时， 2 1 1)1(    x x ，即 ],0( 2 1y 考虑到 x=-1 时 y=0 故原函数的值域为： ],[ 2 1 2 1y 【例 5】已知函数 2 1 mx ny x    的最大值为 4，最小值为 —1 ，则m = ， n = 【解析】 2 1 mx ny x    2 20 4 y(y n) 0y x mx n y m            2 24 4 y 0y n m   ………………○1 。 由于 2 2 2( ) 1 x ax bf x x     的值域为[－1，4]，故不等式○1 的解集为{y|－1≤y≤4} 1 2 2 1 2 3 4 34 4 y y n m m my y            4m   3n  【例 6】求函数 2 2 2 3 xy x x     的值域。 【解析】 2 (y 1) 3 2 0y x x y      ○1 y=0 得 x=-2,从而 y=0 是值域中的一个点； ○2 20 (y 1) 4 y(3y 2) 0y         216 4 1) 0 48 0y y y y R          ， 由○1 ○2 得函数的值域为 R. 六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域， 形如 y ax b cx d    （ a、b、 c、 d均为常数，且 0a  ）的函数常用此法求解。 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的 熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。 【例 1】求函数 2 1 2y x x   的值域。 【解析】令 1 2t x  （ 0t  ），则 21 2 tx   ， ∴ 2 21 51 ( ) 2 4 y t t t        ∵当 1 2 t  ，即 3 8 x  时， max 5 4 y  ，无最小值。 ∴函数 2 1 2y x x   的值域为 5( , ] 4  。 【例 2】求函数 )10x2(1xlog2y 3 5x   的值域。 【解析】令 1xlogy,2y 32 5x 1   则 21 y,y 在[2，10]上都是增函数 所以 21 yyy  在[2，10]上是增函数 当 x=2时， 8 112log2y 3 3 min   当 x=10时， 339log2y 3 5 max  故所求函数的值域为：     33, 8 1 【例 3】求函数 1x1xy  的值域。 【解析】原函数可化为： 1x1x 2y   令 1xy,1xy 21  ，显然 21 y,y 在 ],1[  上为无上界的增函数 所以 1yy  ， 2y 在 ],1[  上也为无上界的增函数 所以当 x=1时， 21 yyy  有最小值 2 ，原函数有最大值 2 2 2  显然 0y  ，故原函数的值域为 ]2,0( 【例 4】求函数 2)1x(12xy  的值域。 【解析】因 0)1x(1 2  即 1)1x( 2  故可令 ],0[,cos1x  ∴ 1cossincos11cosy 2  1) 4 sin(2    ∵    4 5 4 0,0 211) 4 sin(20 1) 4 sin( 2 2       故所求函数的值域为 ]21,0[  【例 5】求函数 1x2x xxy 24 3    的值域。 【解析】原函数可变形为： 2 2 2 x1 x1 x1 x2 2 1y      可令  tgx ，则有      2 2 2 2 cos x1 x1,2sin x1 x2  4sin 4 12cos2sin 2 1y 当 82 k     时， 4 1ymax  当 82 k     时， 4 1ymin  而此时 tan 有意义。 故所求函数的值域为     4 1, 4 1 【例 6】求函数 )1x)(cos1x(siny  ，       2 , 12 x 的值域。 【解析】 )1x)(cos1x(siny  1xcosxsinxcosxsin  令 txcosxsin  ，则 )1t( 2 1xcosxsin 2  22 )1t( 2 11t)1t( 2 1y  由 )4/xsin(2xcosxsint  且       2 , 12 x 可得： 2t 2 2  ∴当 2t  时， 2 2 3ymax  ，当 2 2t  时， 2 2 4 3y  故所求函数的值域为          2 2 3, 2 2 4 3 。 【例 7】 求函数 2x54xy  的值域。 【解析】由 0x5 2  ，可得 5|x|  故可令 ],0[,cos5x  4) 4 sin(10sin54cos5y    ∵ 0 4 5 44       当 4/ 时， 104ymax  当  时， 54ymin  故所求函数的值域为： ]104,54[  【例 8】求函数 21)45)(125( 22  xxxxy 的值域。 【解析】令 4 9 2 545 2 2        xxxt ，则 4 9 t 。     54218218 22  ttttty ， 当 4 9 t 时， 16 1854 4 9 2 min       y ，值域为        16 18| yy 【例 9】求函数 xxy  12 的值域。 【解析】令 xt  1 ，则 21 tx  ， 0t ，   2121 22  ttty 当 0t 时， 10201 2 max t 所以值域为 ]1,( 。 【例 10】．求函数 2310 2  xxxy 的值域。 【解析】由 2310 2  xxxy =  252  xx ， 令 cos25 x ， 因为   1cos10cos22052 22  x ， ],0[   ， 则  252  x = sin2 ， 于是： 5 4 sin25cos2sin2        y ， ] 4 5, 4 [ 4   ， 1 4 sin 2 2         ，所以： 725  y 。 七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客 为主来确定函数的值域。 【例 1】 求函数 2 2 1 1 xy x    的值域。 【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 R，对函数进行变形可得 2( 1) ( 1)y x y    ， ∵ 1y  ，∴ 2 1 1 yx y     （ x R ， 1y  ）， ∴ 1 0 1 y y     ，∴ 1 1y   ， ∴函数 2 2 1 1 xy x    的值域为{ | 1 1}y y   【例 2】求函数 1e 1ey x x    的值域。 【解析】由原函数式可得： 1y 1yex    ∵ 0e x  ∴ 0 1y 1y    解得： 1y1  故所求函数的值域为 )1,1( 【例 3】求函数 3xsin xcosy   的值域。 【解析】由原函数式可得： y3xcosxsiny  ，可化为： y3)x(xsin1y 2  即 1y y3)x(xsin 2   ∵ Rx ∴ ]1,1[)x(xsin  即 1 1y y31 2    解得： 4 2y 4 2  故函数的值域为          4 2, 4 2 【例 4】 x xy cos24 sin3    【解法 1】 241 43)sin( y yx    ， 1 41 43)sin( 2     y yx  ， 解得 3 31 3 31  y 即函数值域为： ] 3 31, 3 31[ y 【解法 2】y 看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值 范围就是 x xy cos24 sin3    聚会取值范围．设 y=k(x-4)+3 代入椭圆方程 1 4 2 2  yx 得 0)82416(4)43(8)14( 222  kkkxkxk ，由Δ＝0得答案． 【例 5】 已知 a>0，x1,x2是方程 ax2+bx-a2=0 的二个实根，并且|x1|+|x2|=2,求 a 的取值范围以及 b 的最大值 。 【解析】由韦达定理知：x1x2=-a<0,故两根必一正一负， ｜x1|+|x2|=2 从而|x1-x2|=2 由韦达定理知：4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2 从而 4a2-4a3=b2≥0 即 4a2(1-a) ≥ 0 即 a≤1,注意到 a>0，从而 a的取值范围是 0< a≤1 从而 27 16) 3 22(2)22(2)1(4 322    aaaaaaaab 即 b的最大值为 9 34 ，当且仅当 a=2/3 时“＝”成立。 八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 【例 1】求函数 1 2y x x   的值域。 【解析】∵当 x增大时，1 2x 随 x的增大而减少， 1 2x  随 x的增大而增大， ∴函数 1 2y x x   在定义域 1( , ] 2  上是增函数。 ∴ 1 1 11 2 2 2 2 y      ，∴函数 1 2y x x   的值域为 1( , ] 2  。 【例 2】求函数 x xy 1  在区间   ,0x 上的值域。 【解析】任取   ,0, 21 xx ，且 21 xx  ，则        21 2121 21 1 xx xxxx xfxf   ，因为 210 xx  ，所以： 0,0 2121  xxxx ， 当 211 xx  时， 0121 xx ，则    21 xfxf  ； 当 10 21  xx 时， 0121 xx ，则    21 xfxf  ；而当 1x 时， 2min y 于是：函数 x xy 1  在区间   ,0x 上的值域为 ),2[  。 构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 【例 4】求函数   xxxf  11 的值域。 【解析】因为 11 01 01       x x x ，而 x1 与 x1 在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数   xxxg  11 ， 易 知 )(xg 在 定 义 域 内 单 调 增 。   21max  gg ，   21min  gg ，   2 xg ，   20 2  xg ， 又     422  xgxf ，所以：   42 2  xf ，   22  xf 。 【例 5】求函数 3 6 8y x x    的值域。 【解析】此题可以看作 vuy  和 63  xu ， xv  8 的复合函数，显然函数 63  xu 为单调递增 函数，易验证 xv  8 亦是单调递增函数，故函数 xxy  863 也是单调递增函数。而此函数的定 义域为 ]8,2[ 。 当 2x 时， y 取得最小值 10 。当 8x 时， y取得最大值 30。 故而原函数的值域为 ]30,10[ 。 九. 图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图 像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直 线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 【例 1】求函数 | 3 | | 5 |y x x    的值域。 【解析】∵ 2 2 | 3 | | 5 | 8 2 2 x y x x x           ( 3) ( 3 5) ( 5) x x x       ， ∴ | 3 | | 5 |y x x    的图像如图所示， 由图像知：函数 | 3 | | 5 |y x x    的值域为[8, ) 【例 2】求函数 22 )8x()2x(y  的值域。 【解析】原函数可化简得： |8x||2x|y  上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）， )8(B  间的距离之和。 由上图可知，当点 P在线段 AB上时， 10|AB||8x||2x|y  当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时， 10|AB||8x||2x|y  故所求函数的值域为： ],10[  【例 3】求函数 5x4x13x6xy 22  的值域。 【解析】原函数可变形为： 8 5-3 o y x 2222 )10()2x()20()3x(y  上式可看成 x轴上的点 )0,x(P 到两定点 )1,2(B),2,3(A  的距离之和， 由图可知当点 P为线段与 x轴的交点时， 43)12()23(|AB|y 22 min  ， 故所求函数的值域为 ],43[  十、 基本不等式法：利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征 解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 【例 1】求下列函数的值域：(1) 3ky x x    (k>0);(2) 2 2 2 1 xy x    。 【解析】(1)若 x>0时，则 3 x kxy k x kx 2332  ,等号仅当 x=k/x，即 kx  时成立； 若 x<0时，则 3 x kxy k x kx 233)(2  ,等号仅当-x=-k/x，即 kx  时成立； 故， ),23[]23,(  kky (2) 解法一： 1 2 2 2    x xy = 2 1 11 2 2    x x ，故 ),2[ y 解法二：令 12  xt ,则 )1(1  t t ty ．即方程 01)( 2  tyttf 在[1,+∞)上有解． 所以 121 tt ．从而 f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而 f(1)≤0,即 y≥2. 【例 2】若 14  x ，求 22 222   x xx 的最小值 【解析】 ] )1( 1)1([ 2 1] 1 1)1[( 2 1 1 1)1( 2 1 22 22 22          x x x x x x x xx ∵ 14  x ∴ 3)1(0  x 3 1 )1( 1    x 从而 2] )1( 1)1([    x x 1] )1( 1)1([ 2 1    x x ， 当且仅当 )1( 1)1(   x x ，即 x=-2时”=”成立 即 1) 22 22( min 2    x xx 【例 3】求函数 )0(,32 2  x x xy 的最小值 【解析】 333 222 36 2 3 2 93 2 3 2 323 2 3 2 3232  xx x xx x x xy 当且仅当 x x 2 32 2  即 2 63 x 时 3 min 36 2 3 y 【例 4】求 y= xx sin 4 cos 1  (x ) 2 ,0(  )的最小值。 【解析】y>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x =(tan2x+1)+16(cot2x+1)+8        xx xx sincos sincos 22 =17+(tan2x+4cot x+4cot x)+ (16cot2 x+ 4tan x+4tan x) 3 23 233 tan4tan4cot163cot4cot4tan3)16(1 xxxxxx  =  33 161 当且仅当      xxx xxx tan4tan4cot16 cot4cot4tan 2 2 即      1cot4 4tan 3 3 x x （这是两个相同的方程）, 即当 x=arctan 3 4  ) 2 ,0(  时，“=”成立（达到最小值）。 【例 5】若函数 y=f(X)的值域为 ]3, 2 1[ ,则函数 )( 1)()( xf xfxF  的值域是 ] 3 10,2[ 。 解析：f(x)>0, 2 )( 1)()(  xf xfxF ,并且当 f(x)=1时等号成立。而 t ttg 1)(  在 t ]1, 2 1[ 时单调递减, t ttg 1)(  在 t[1，3]时单调递增。从而 t ttg 1)(  在区间 ]1, 2 1[ 上的值域为 ] 2 5,2[)] 2 1(),1([ gg ; t ttg 1)(  在区间[1,3]上的值域为 [g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知 F(x)的值域为 ] 3 10,2[ 【例 6】求函数 2 3 xy x    的值域。 【解析】令 ，则 （1）当 时， ，当且仅当 t=1，即 时取等号，所以 （2）当 t=0 时，y=0。 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 十一、利用向量不等式 性质 1 若 ，则 当且仅当 时等式成立 性质 2 ，当且仅当 a， 同向平行时右边等式成立，a， 反向平行时左边等式成立。 性质 3 ，当且仅当 方向相同且两两平行时等式成立。 类型（1） 型（ 同号） 【例 1】 求函数 5 1 10y x x    的最大值。 【解析】构造向量 由性质 1，得 当且仅当 ，即 时， 解 2：显然 1≤x≤10, 2 21 9sin 3sin ( [0, ]) 10 9(1 sin ) 3cos 4 x x             15sin 3cos 3 26 sin( )y        (其中 1arctan 5   ) min 1 5 1(sin( )) min{sin ,sin( )} { , } 2 2 26 26 26                   max(sin( )) sin 1 2     所以 3≤ 15sin 3cos 3 26 sin( ) 3 26y         即 类型（2） 型 【例 2】 求函数 23 10 9y x x    的最大值。 【解析】原函数可变为 取 且 构造向量 由性质 1，得 从而 当且仅当 ，即 时， 类型（3） 型（ ） 【例 3】求函数 2 24 (3 x) 9y x     的最小值。 【解析】构造向量 由性质 2，得 当且仅当 a与 b同向平行时等式成立 所以 （此时 ） 类型（4）其它类型 【例 4】 设 x1（i＝1，2，……，2003）为正实数，且 1 1 2015 2015x x x    ，试求 1 2 2 3 2014 2015 2015 1y x x x x x x x x         的最小值。 【解析】构造向量 由性质 3，得 即 【例 5】 已知 ，求 的最小值。 【解析】构造向量 从而 由性质 3，得 当且仅当 a=b=c=1/2时“＝”成立。 所以 十二、一一映射法 原理：因为 )0c( dcx baxy     在定义域上 x与 y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可 以求另一个变量范围。 【例 1】求函数 1x2 x31y    的值域。 【解析】∵定义域为        2 1x 2 1x|x 或 由 1x2 x31y    得 3y2 y1x    故 2 1 3y2 y1x     或 2 1 3y2 y1x     解得 2 3y 2 3y  或 故函数的值域为              , 2 3 2 3,  十三、多种方法综合运用 【例 1】求函数 3x 2xy    的值域。 【解析】令 )0t(2xt  ，则 1t3x 2  （1）当 0t  时， 2 1 t 1t 1 1t ty 2      ，当且仅当 t=1，即 1x  时取等号，所以 2 1y0  （2）当 t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为：     2 1,0 注：先换元，后用不等式法 【例 2】 求函数 42 432 xx21 xxx2x1y    的值域。 【解析】 42 3 42 42 xx21 xx xx21 xx21y       2 2 2 2 x1 x x1 x1           令 2 tanx   ，则         2 2 2 2 cos x1 x1   sin 2 1 x1 x 2 1sin 2 1sinsin 2 1cosy 22  16 17 4 1sin 2        ∴当 4 1sin  时， 16 17ymax  当 1sin  时， 2ymin  此时 2 tan  都存在，故函数的值域为     16 17,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 sin 的有界性。