人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业六
课时提升作业 六
比 较 法
基础过关
一、选择题(每小题 6 分,共 18 分)
1.设 t=a+2b,s=a+b2+1,则下列 t 与 s 的大小关系中正确的是 ( )
A.t>s B.t≥s C.t
2,b>2,则 ( )
A.ab≥a+b B.ab≤a+b
C.ab>a+b D.ab2,b>2,所以 -1>0, -1>0,则 ab-(a+b)
=a +b >0.
所以 ab>a+b.
2.给出下列命题:
①当 b>0 时,a>b >1;②当 b>0 时,a0,b>0 时, >1 a>b;④当
ab>0 时, >1 a>b.其中真命题是 ( )
A.①②③ B.①②④
C.④ D.①②③④
【解析】选 A.①当 b>0 时, >1 -1>0 >0,
即 a>b >1,故①正确;
②当 b>0 时, <1 -1<0 <0,
即 a1 -1>0 >0,知 b>0 时,
>1 a>b,b<0 时, >1 ab>-1,则 与 的大小关系为 ( )
A. > B. <
C. ≥ D. ≤
【解析】选 B.因为 a>b>-1,所以 a+1>0,b+1>0,a-b>0,则 - = <0,
所以 < .
二、填空题(每小题 6 分,共 12 分)
4.设 P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若 P>Q,则实数 a,b 满足的条件为________.
【解析】P-Q=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)
=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2,
所以,若 P>Q,则实数 a,b 满足的条件为
ab≠1 或 a≠-2.
答案:ab≠1 或 a≠-2
5.若 x0,x-y<0.
所以-2xy(x-y)>0,所以 M-N>0,即 M>N.
答案:M>N
三、解答题(每小题 10 分,共 30 分)
6.设 A= + ,B= (a>0,b>0),试比较 A,B 的大小.
【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式.
【解析】因为 = = × = ≥ =1(当且仅当 a=b 时,等号成立).
又因为 B>0,所以 A≥B.
7.已知 a>0,b>0,
求证: + ≥ + .
【证明】 -( + )
= +
= + =(a-b)·
= ≥0,
所以 + ≥ + .
8.已知 a,b 均为实数,用比较法证明: ≥ (当且仅当 a=b 时等号成立).
【证明】 - = -
= = ≥0,
当且仅当 a=b 时等号成立,
所以 ≥ (当且仅当 a=b 时等号成立).
能力提升
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.已知 a>b>0 且 ab=1,设 c= ,P=logca,N=logcb,
M=logc(ab),则 ( )
A.Pb>0 且 ab=1,
所以 a>1,02,
所以 00,M=0,即 Pb>0,c>d>0,m= - ,n= ,则 m 与 n 的大小关系是
( )
A.mn C.m≥n D.m≤n
【解析】选 B.因为 a>b>0,c>d>0,
所以 ac>bd>0, > ,
所以 m>0,n>0.又因为 m2=ac+bd-2 ,
n2=ac+bd-(ad+bc),又由 ad+bc>2 ,
所以-2 >-ad-bc,所以 m2>n2,所以 m>n.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.已知 00,b>0,c>0,
又 a2-b2=(2 )2-(1+x)2=-(1-x)2<0,
所以 a2-b2<0,所以 a0,所以 c>b,所以 c>b>a.
答案:c
4.比较大小:log34______log67.
【解题指南】令 log34=a,log67=b,利用对数运算性质,比较 a-b 与 0 的大小.
【解析】设 log34=a,log67=b,则 3a=4,6b=7,得 7·3a=4·6b=4·2b·3b,即 3a-b= ,
显然 b>1,2b>2,则 3a-b= >1⇒a-b>0⇒a>b.
答案:>
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.若实数 x,y,m 满足|x-m|<|y-m|,则称 x 比 y 接近 m.对任意两个不相等的正数
a,b,证明:a2b+ab2 比 a3+b3 接近 2ab .
【证明】因为 a>0,b>0,且 a≠b,所以 a2b+ab2>2ab ,
a3+b3>2ab .所以 a2b+ab2-2ab >0,
a3+b3-2ab >0.
所以|a2b+ab2-2ab |-|a3+b3-2ab |
=a2b+ab2-2ab -a3-b3+2ab
=a2b+ab2-a3-b3=a2(b-a)+b2(a-b)
=(a-b)(b2-a2)=-(a-b)2(a+b)<0
所以|a2b+ab2-2ab |<|a3+b3-2ab |,
所以 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 2ab .
6.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,
另一半以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走.如
果 m≠n,问甲、乙二人谁先到达指定地点?
【解析】设从出发地点至指定地点的路程为 s,甲、乙二人走完这段路程所用的
时间分别为 t1,t2,依题意有:
m+ n=s, + =t2.
所以 t1= ,t2= ,
所以 t1-t2= - = =
- .其中 s,m,n 都是正数,且 m≠n,所以 t1-t2<0,即 t1
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