【数学】2020届一轮复习苏教版抛物线作业

【数学】2020届一轮复习苏教版抛物线作业

‎1．（2018新课标I理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ ‎2．（2016新课标全国I理科）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎3．（2017新课标全国I理科）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14‎ C．12 D．10‎ ‎4．（2016浙江理科）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______________．‎ ‎5．（2017新课标全国II理科）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________．‎ ‎6．（2018新课标Ⅲ理）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．‎ ‎7．（2017浙江）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（1）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎8．（2016新课标全国III理科）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．‎ ‎（1）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．‎ ‎9．（2018新课标Ⅱ理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎10．（2018北京理）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（1）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（2）设O为原点，，，求证：为定值．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】C ‎【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程 的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出的中点的横坐标，再求出线段的中点到抛物线的准线的距离． ‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点，‎ ‎∴设抛物线的标准方程为（）或（），‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．依题意，设抛物线的标准方程为（）或（），将点的坐标代入抛物线的标准方程，求得即可．注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点，且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C符合题意.‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由抛物线的定义知，解得，‎ 又点在抛物线上，代入解得.‎ 过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,则.‎ 故选C.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出，再过点M作抛物线的准线的垂线，设垂足为E,最后解直角三角形AME得的值.‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则，又因为以为直径的圆的方程为，所以，解得.故选B.‎ ‎【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. ‎ ‎5．【答案】D ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】A ‎【解析】抛物线的标准方程为，焦点在轴上，，即，，则准线方程为.故选A.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题.‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】若“”，则中的，所以“抛物线的焦点在轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线的焦点在轴正半轴上”，则中的 ‎，即，则“”成立，故是充分必要条件.‎ 故答案为C.‎ ‎【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.‎ ‎3．【答案】C　‎ ‎【解析】依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】抛物线y2＝4x，，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，，即有，.‎ 故选B.‎ ‎【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】抛物线的准线方程为x=，当MQ∥x轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+|=.‎ ‎6．【答案】D ‎【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出的坐标，求出周长，所以只需设出的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长.‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】由题意得，设点的横坐标为，则由抛物线的定义，可得，则，所以，所以．故本题选.‎ ‎8．【答案】A ‎【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系. ‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】过A,B分别作抛物线准线的垂线AQ,BP,垂足分别为Q,P,设|AF|=a,|BF|=b，则由抛物线的定义，得|AQ|=a,|BP|=b,所以|HN|=.在中，由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab，所以,因为a+b≥2,所以,当且仅当a=b时等号成立,故的取值范围为(0,1].故选D.‎ ‎10．【答案】4‎ ‎【解析】由双曲线﹣y2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则,所以p=4.‎ ‎11．【答案】10‎ ‎【解析】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，应填.‎ ‎12．【答案】‎ ‎【解析】由题意可设，因此，因此点到抛物线的焦点的距离是.‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】依题意得焦点F的坐标为(,0),设M在抛物线的准线上的射影为K,连接MK,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|∶|MN|=1∶3,所以|KN|∶|KM|=2∶1,又,kFN=-=-2,所以=2,解得a=.‎ ‎14．【解析】(1)因为抛物线的准线方程为，‎ ‎15．【解析】(1)设,则,‎ 而,,‎ ‎∴.‎ ‎(2)当p=2时,抛物线方程为.‎ ‎①若直线MN的斜率不存在,则B(3,0).‎ ‎②若直线MN的斜率存在,设A(3,t)(t≠0),则由(1)知，整理得,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴直线,‎ ‎∴B点的横坐标为,‎ 由消去x得,‎ 由Δ>0得00)，圆的半径为r,分别交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得 ‎，即的焦点到准线的距离为4，故选B.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.‎ ‎3．【答案】A ‎【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 ‎．‎ ‎4．【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，‎ 在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ ‎【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． ‎ ‎6．【答案】2‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点,分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．‎ ‎8．【解析】由题可知．设，，则，‎ 且，，，，．‎ 记过，两点的直线为，则直线的方程为．‎ ‎（1）由于在线段上，故．记的斜率为，的斜率为，‎ ‎9．【解析】（1）由题意得，l的方程为．‎ 设， ‎ 由得．‎ ‎，故．‎ 所以．‎ 由题设知，解得（舍去），．‎ 因此l的方程为．‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即．‎ 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或．‎ ‎10．【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），‎ 所以．‎ 所以为定值．‎