【数学】2020届一轮复习人教A版考前必做难题题作业

【数学】2020届一轮复习人教A版考前必做难题题作业

‎2020届一轮复习人教A版 考前必做难题题 作业 ‎1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°‎ ‎＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°‎ ‎＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.‎ ‎2．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C. D．1‎ 解析：选A.因为sin＝cos，‎ 所以cos α－sin α＝cos α－sin α，‎ 所以sin α＝cos α，‎ 所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.‎ ‎3．若α∈，tan＝，则sin α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：选A.因为tan＝＝，‎ 所以tan α＝－＝，所以cos α＝－sin α.‎ 又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.‎ 又因为α∈，所以sin α＝.‎ ‎4．已知cos＝，则sin的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选B.sin＝sin ‎＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎5．如图，在中，已知为边的中点.若，垂足为，则的值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得，，若在区间内存在单调递增区间，在在有解，故的最小值，又在上是单调递增函数，所以，所以实数的取值范围是．‎ ‎7.双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】由于MN∥F1F2，，则，设，又，且，则,点N、Q在双曲线上满足方程，有，消去得：，则.‎ ‎8．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，．这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是　　　　　．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，，由于是以为底边的等腰三角形，若，即有，由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，即由，再由三角形的两边之和大于第三边，可得，可得，既有，由离心率公式可得，由于，则由，则的取值范围是．‎ ‎9．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，···，，则下列说法正确的有　　　　个 ‎①的定义域为；‎ ‎②设，，则；‎ ‎③；‎ ‎④若集合，则中至少含有个元素．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】①，当时，，所以；当时，‎ 成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②∴；∴∴，因此；③因为，即，因此；④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法．‎ ‎10.已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，‎ , 函数 在区间内没有零点 ‎(1) ，则 ，则 ，取 ， ；‎ ‎（2），则 ，解得： ，取 ， ；‎ 综上可知： 的取值范围是．‎ ‎11．已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为__________．‎ ‎【答案】2或3.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与分段函数的零点个数问题，分类讨论思想的应用，属于难题，本题考查学生将交点个数转化成方程解的个数问题，当时，将直线直线代入到中，得到一元二次方程，利用求根公式将根表示出来，再由范围对根满足题意的个数进行讨论即可求解.‎ ‎12．已知， 均为正数，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】 ，所以 （当且仅当 时取等号）‎ 而 （当且仅当 时取等号），因此 （当且仅当 时取等号），即的最小值为7.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎13．已知函数,若关于的方程恰好有个不相等的实根,则 的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】当时， ， ，当时， ， 递增，当时， ， 递减，当时， ， ，即递减，注意时， 且，可作出函数的图象（简图）如图， ， ，‎ 由得或，从图象知有三个不同的根，因此或无实根，即，所以或．‎ 点睛：本题中方程中把作为一个整体，可直接解出或，从而分别研究这两个方程即可，而这两个方程的解的个数可以看作函数的图象与直线或的交点个数，因此首先研究函数的性质：特别是单调性、极值，得出函数图象的变化趋势，作出简图，从图中可看出已知有三个解，因此无实数根或者就是方程，利用导数研究函数的性质是解题的关键．‎ ‎14．已知方程，有且仅有四个解，则__________．‎ ‎【答案】 点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ ‎15．已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 .又，且，所以.‎ 设，令，则，故在上单调递增，所以.‎ ‎16．已知，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得 ，令 ，则 ，且 ，所以， ，即.‎ ‎17．对于无穷数列，记，若数列满足：“存在，使得只要（且），必有”，则称数列具有性质.‎ ‎（Ⅰ）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？‎ ‎（Ⅱ）求证：“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件；‎ ‎（Ⅲ）已知是各项为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，求证：存在整数，使得是等差数列.‎ ‎【答案】（Ⅰ）数列不具有性质；具有性质;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据新定义直接验证即可的结论（2）对于“是有限集”是“数列具有性质”的必要不充分条件，先证不充分性对于周期数列， 是有限集，但是由于，‎ 所以不具有性质；再证必要性因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即，所以数列中必然会以某个周期进行，所以数列中最多有个不同的项，从而得证（3）因为数列具有性质，数列具有性质，所以存在，使得， ，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，然后根据其性质列出相关等式可得结论，然后逐一分析取值讨论 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）数列不具有性质；具有性质.‎ ‎（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列， 是有限集，但是由于，‎ 所以不具有性质；‎ ‎（必要性）因为数列具有性质，‎ 所以一定存在一组最小的且，满足，即 由性质的含义可得 所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律： 为一个周期中的各项，‎ 所以数列中最多有个不同的项，‎ 所以最多有个元素，即是有限集. ‎ 记，则对于，有， ，显然，‎ 由性质的含义可得， ，‎ 所以 所以.‎ 所以，‎ 又是满足， 的最小的正整数，‎ 所以，‎ ，‎ 所以， ，‎ 所以， ， ，‎ 取，则，‎ 所以，若是偶数，则；‎ 若是奇数，则，‎ 所以， 所以是公差为1的等差数列.‎ ‎18．已知数列满足， ，其中， ， 为非零常数.‎ ‎（1）若， ，求证： 为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是公差不等于零的等差数列.‎ ‎①求实数， 的值；‎ ‎②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）①， ， .②， ， ‎【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找与比例关系：利用 代入化简可得.最后说明各项非零.（2）①令 ‎，2，3，根据等差数列性质得 ，列出关于， 的二元一次方程组，解得， 的值；再验证满足题意. ②先求数列的前项和，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，直至确定.‎ 试题解析：解：（1）当， 时， ，‎ .‎ 又，不然，这与矛盾，‎ 为2为首项，3为公比的等比数列，‎ ， .‎ 令，2，3，解得， ， ， .‎ 经检验，满足题意.‎ 综上， ， ， .‎ ‎②由①知.‎ 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.‎ ‎1°若三个奇数一个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，‎ 则 ，‎ ，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.‎ ‎2°若一个奇数三个偶数，设， ， ， 是满足条件的四项，‎ 则 ， .‎ 由504为偶数知， ， ， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.‎ ‎1）若， ， 中一个偶数两个奇数，不妨设， ， ，‎ 则 ，这与251为奇数矛盾.‎ ‎2）若， ， 均为偶数，不妨设， ， ，‎ 则，继续奇偶分析知， ， 中两奇数一个偶数，‎ 不妨设， ， ，则 .‎ 因为， 均为偶数，所以为奇数，不妨设，‎ 当时， ， ，检验得， ， ，‎ 当时， ， ，检验得， ， ，‎ 当时， ， ，检验得， ， ，‎ 即， ， ， 或者， ， ， 或者， ， ， 满足条件，‎ 综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列.‎ ‎19．已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若直线与曲线和分别交于两点.设曲线 在点处的切线为，在点处的切线为.‎ ‎（ⅰ）当时，若，求的值；‎ ‎（ⅱ）若，求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．‎ 若，且恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（ⅰ）(ⅱ) （2）‎ ‎【解析】 (Ⅰ) 函数的定义域为.‎ ‎，.‎ ‎（ⅰ）当时，，.‎ 因为，所以. 即.‎ 解得. ‎ ‎(ⅱ)因为，则在上有解. 即在上有解.‎ 设，，则.‎ 当时，恒成立，则函数在上为增函数.‎ ‎ 当时，取，‎ 取，, 所以在上存在零点.‎ 当时，存在零点，，满足题意. ‎ 另解：函数的定义域为. ，. ‎ 则，.‎ 因为，则在上有解.即在上有解.‎ 因为，所以.‎ 令(). .得. ‎ 当，， 为增函数； ‎ ‎ 当，，为减函数； ‎ 所以.‎ 所以，的最大值是. ‎ ‎（Ⅱ） . ‎ 因为为在其定义域内的两个不同的极值点，‎ 所以是方程的两个根. 即，. ‎ ‎ 两式作差得，. ‎ 因为 ，由，得. ‎ 则 . ‎ 令，则，由题意知: ‎ ‎ 在上恒成立， ‎ ‎ 令， ‎ ‎ 则=.当，即时，，，‎ 所以在上单调递增. ‎ 又，则在上恒成立.‎ 当，即时，时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. ‎ 又，所以不恒小于，不合题意. ‎ 综上，.‎ ‎20．已知函数且函数图象上点处的切线斜率为.‎ ‎（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；‎ ‎（2）对于函数图象上的不同两点如果在函数图象上存在点使得点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）不存在 ‎【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，且，又，整理得. .‎ 然后根据a的不同取值情况逐一讨论分析（2）假设满足条件的存在，不妨设且，则，又由题有： ，整理可得： ，令，构造函数，则，则时， 恒成立，故在上单调递增从而得出不存在。‎ 试题解析：‎ 函数的定义域为，且，又，整理得. ‎ ‎（1）.‎ ‎1）当时，易知， 时，‎ 故在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎2）当地，令，解得或，则 ‎①当，即时， 在上恒成立，则在上递增.‎ ‎②当，即时，当时， ；‎ 当时， .‎ 所以： 在及上单调递增： 在上递减.‎ 当时， 在及上单调递增： 在上单调递减.‎ 当时， 在上递增.‎ 当时， 在及上单调递增； 在上递减.‎ ‎（2）满足条件的不存在，理由如下:‎ 假设满足条件的存在，不妨设且，则 ，又 ，又由题有： ，整理可得：‎ ，令，‎ 构造函数，则，则时，‎ 恒成立，故在上单调递增；所以时， ，所 以不可能成立，综上满足条件的不存在.‎ 点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.‎ ‎21．已知函数R．‎ ‎（1）若 ① 当时，求函数的极值（用表示）；‎ ② 若函数有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．‎ ‎【答案】（1）①的极大值为，的极小值为.②（2）‎ ‎【解析】解：（1）①由及，‎ 得， ‎ 令，解得或.‎ 由知，，单调递增，‎ ‎，单调递减，，单调递增，‎ 因此，的极大值为，的极小值为.‎ ‎② 当时，，此时不存在三个相异零点；‎ 当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.‎ 要使有三个不同零点，则必须有，‎ 即. ‎ 不妨设的三个零点为，且，‎ 则，‎ ‎， ①‎ ‎， ②‎ ‎， ③‎ ‎②-①得，‎ 因为，所以， ④‎ 同理， ⑤‎ ‎⑤-④得，‎ 因为，所以， ‎ 又，所以. ‎ 所以，即，即，‎ 因此，存在这样实数满足条件. ‎ ‎22．已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．‎ ‎（1）如果数列是等差数列，证明：数列也是等差数列；‎ ‎（2）如果数列是等差数列，求的值；‎ ‎（3）如果，数列的首项为1，，证明：数列的中存在无穷多项可 表示为数列中的两项之和．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）或．（3）见解析 ‎【解析】解：（1）设数列的公差为，由， ①‎ ‎， ②‎ ‎①-②得， ③ ‎ 即，所以为常数，‎ 所以为等差数列． ‎ ‎（2）由③得，即， ‎ 所以是与n无关的常数，‎ 所以或为常数． ‎ ‎①当时，，符合题意； ‎ ‎②当为常数时，‎ 在中令，则，又，解得，…8分 所以，‎ 此时，解得． ‎ 综上，或． ‎ ‎（3）当时，， ‎ 由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即． ‎ 当时，，‎ 当时，也满足上式，‎ 所以． ‎ 设，则，即，‎ 如果，因为为3的倍数，为3的倍数，‎ 所以2也为3的倍数，矛盾． ‎ 所以，则，即．‎ 所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和． ‎ ‎23．已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等 比数列，且对任意的恒成立．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在满足条件；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】‎ ‎ ，，由等比中项知，化简得，整理得：，由，所以，根据，故，从而，所以公差d的所有可能取值之和为．‎ 试题解析：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为．‎ 因为 令分别得，，，又 所以即，‎ 得或，经检验符合题意，不合题意，舍去．‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 设，则不等式等价于．‎ ‎∵，且，∴，数列单调递增．‎ 假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ‎①当为奇数时，得；‎ ‎② 当为偶数时，得，即．‎ 综上，，由是非零整数，可知存在满足条件．‎ ‎（Ⅲ）易知d=0，成立． ‎ 当d＞0时，，‎ ，‎ ‎ ，‎ ，‎ ，‎ ，‎ 又，，‎ ，，所以公差d的所有可能取值之和为．……16分 考点：1、等差数列通项；2、等比数列通项；3、等比中项；4、数列的单调性；5、恒成立问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是等差等比数列的通项公式求法，及运用等差等比数列的通项，等比中项，数列的单调性求恒成立问题、公差取值问题，属于难题．解题时一定要注意方法的优化，第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差的要求，进而得到的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．‎ ‎24．已知函数， .‎ ‎（Ⅰ）若，求函数在的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，若对于任意的，都存在，使得，求满足条件的正整数的取值的集合.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调增区间为， 的单调减区间为 ‎; （Ⅱ）当时，方程有三个不同的解，1， ; （Ⅲ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅲ）当， 时， ，由导数得出函数在上是增函数，这样可得当时， ，当时， ，此时，因此只要，由此求出的范围，‎ 而这还需用导数研究相应函数的单调性，才能得出结论．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）当， 时， ，‎ 从而 ，‎ ， 的单调增区间为， 的单调减区间为 ‎（Ⅱ）方程，即，即 所以当时，方程有两个不同的解， ；‎ 当时，方程有三个不同的解，1， ；‎ 当时，方程有两个不同的解，1.‎ 综上，当时，方程有三个不同的解，1， 因为对任意的，都存在，使得，‎ 从而，‎ 所以，即，即（）‎ 因为为单调递增，‎ 且满足，而，不满足题意，所以时，均不满足题意，‎ 所以满足条件的正整数的取值的集合为.‎ ‎25．已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.‎ ‎⑴若，，（），求证：数列是等比数列；‎ ‎⑵若数列是等比数列，求，的值；‎ ‎⑶若，且，求证：数列是等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.‎ ‎（2）若是等比数列，设其公比为（ ），‎ 当时，，即，得 ‎　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①‎ 当时，，即，得 ‎　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②‎ 当时，，即，得 ‎　　　　　　　　　，　　　　　　　　③‎ ‎②-①´，得 ， ‎ ‎③-②´，得 ， ‎ 解得．‎ 代入①式，得． ‎ 此时()，‎ 所以，是公比为１的等比数列，‎ 故． ‎ ‎（3）证明：若，由，得，‎ 又，解得．‎ 由，， ，，代入得，‎ 所以，，成等差数列，‎ 由，得，‎ 两式相减得：‎ 即 所以 相减得：‎ 所以 所以 ‎， ‎ 因为，所以，‎ 即数列是等差数列.‎ ‎26．如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程；‎ ‎（3）求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）或. （3）见解析 ‎【解析】解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.‎ 得 解得 ‎ 所以，椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）由（1）知，设，‎ 因为，得，所以， ‎ 代入椭圆方程得或，所以或，‎ 所以的方程为：或. ‎ ‎（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程， ‎ 联立椭圆方程得：解得,. ‎ 由，得直线BD的方程：， ①‎ 直线AC方程为， ②‎ 联立①②得， ‎ 从而=2为定值. ‎ 解法2：设D坐标为(x3，y3），‎ 由C,M,D三点共线得，所以， ① ‎ 由B,D,N三点共线得，将 代入可得 ‎， ② ‎ ‎ ①和②相乘得，‎ ‎. ‎ ‎27．已知函数．‎ ‎（1）若对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在整数，使得函数在区间上存在极小值，若存在，求出所有整数的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在整数，使得函数在区间上存在极小值．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 设，则，‎ ‎∵，∴，则在上是减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∵对恒成立，即对恒成立，‎ ‎∴，则实数的取值范围为．‎ ‎③当时，若或，则；若，则．‎ ‎∴当时，有极小值．‎ ‎∵在上有极小值，‎ ‎∴，得．‎ 由①②③得，存在整数，使得函数在区间上存在极小值．‎ ‎28．如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且轴．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设圆．‎ ‎①设圆与线段交于两点，若，且，求的值；‎ ‎②设，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点（异于点）．试问：是否存在这样的正数，使得两点恰好关于坐标原点对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）①②‎ ‎【解析】解：（1）因点是椭圆上一点，且轴，所以椭圆的半焦距，‎ 由，得，所以， ……2分 化简得，解得，所以，‎ 所以椭圆的方程为． ……4分 ‎（2）①因，所以，即，‎ 所以线段与线段的中点重合（记为点），由（1）知， ……6分 因圆与线段交于两点，所以，‎ 所以，解得， ……8分 所以，故. ……10分 ‎② 由两点恰好关于原点对称，设，则，不妨设，‎ 因，，所以两条切线的斜率均存在，‎ 设过点与圆相切的直线斜率为，则切线方程为，‎ 即，由该直线与圆M相切，得，即，……12分 所以两条切线的斜率互为相反数，即，‎ 所以，化简得，即，代入，‎ 化简得，解得（舍），，所以， ……14分 所以，，所以，‎ 所以. ‎ 故存在满足条件的，且． ……16分 ‎29．若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”．设函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）已知函数为“恒切函数”．‎ ‎①求实数的取值范围；‎ ‎②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：．‎ ‎（参考数据：）‎ ‎【答案】（1）见解析（2）①②见解析 ‎【解析】解：（1）， ……2分 当时，恒成立，函数在上单调递减；‎ 当时，由得，由得，由得，‎ 得函数在上单调递，在上单调递增． ……4分 ‎（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图像与直线相切，‎ 设切点为，则且，即，.‎ 因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，，‎ 即， 得，，设， ……6分 则，，得，，得，‎ 故在上单调递增，在上单调递减，从而，‎ 故实数的取值范围为． ……8分 ‎②当取最大值时，，，，，‎ ‎，因为函数也为“恒切函数”，‎ 故存在，使得，，‎ 由得，，设， ……10分 则，得，得，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎1°在单调递增区间上，，故，由，得；…12分 ‎2°在单调递减区间上，，‎ ‎，又的图像在上不间断，‎ 故在区间上存在唯一的，使得，故，‎ 此时由，得 ‎，‎ 函数在上递增，，，故．‎ 综上1°2°所述，． ……16分 ‎30. 在数列中，已知，满足是等差数列（其中）‎ ‎，且当为奇数时，公差为；当为偶数时，公差为．‎ ‎（1）当，时，求的值；‎ ‎（2）当时，求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）当时，记满足的所有构成的一个单调递增数列为，试求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）3（2）见解析（3） ‎【解析】解：（1）由，，所以，为等差数列且公差为，所以，‎ 又为等差数列且公差为，所以． ……2分 ‎（3）因为，所以，由（2）知，‎ 所以，‎ 依次下推，得，‎ 所以， ……10分 当时，，‎ 由，得，所以，‎ 所以（为奇数）； ……12分 综上所述，． ……16分 方法二：由题意知，， ……10分 当为奇数时，的公差为，的公差为，‎ 所以，，‎ 则由，得，即．‎ 同理，当为偶数时，也有．故恒有． ……12分 ‎①当为奇数时，由，，相减，得，‎ 所以 ‎．……14分 ‎②当为偶数时，同理可得．‎ 综上所述，． ……16分