高三数学基础复习资料----第十讲---圆锥曲线

高三数学基础复习资料----第十讲---圆锥曲线

《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 21, FF 的距离的和等于常数（大于 || 21FF ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： ||2 21FFa  表示椭圆； ||2 21FFa  表示线段 21FF ； ||2 21FFa  没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0(12 2 2 2  bab y a x )0(12 2 2 2  bab x a y 图 形 x OF1 F2 P y A2A1 B1 B2 xO F1 F2P y A2 B2 B1 顶 点 ),0(),,0( )0,(),0,( 21 21 bBbB aAaA   ),0(),,0( )0,(),0,( 21 21 aBaB bAbA   对称轴 x 轴， y 轴；短轴为 b2 ，长轴为 a2 焦 点 )0,(),0,( 21 cFcF  ),0(),,0( 21 cFcF  焦 距 )0(2|| 21  ccFF 222 bac  离心率 )10(  ea ce （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 3．常用结论：（1）椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 的两个焦点为 21, FF ，过 1F 的直线交椭圆于 BA, 两 点，则 2ABF 的周长= （2）设椭圆 )0(12 2 2 2  bab y a x 左、右两个焦点为 21, FF ，过 1F 且垂直于对称轴的直线 交椭圆于 QP, 两点，则 QP, 的坐标分别是 || PQ A1 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点 21, FF 的距离的差的绝对值等于常数（小于 || 21FF ）的点的轨 迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意： aPFPF 2|||| 21  与 aPFPF 2|||| 12  （ ||2 21FFa  ）表示双曲线的一支。 ||2 21FFa  表示两条射线； ||2 21FFa  没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在 x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x )0,0(12 2 2 2  ba b x a y 图 形 x OF1 F2 P y A2A1 xO F1 P B2 B1 F2 顶 点 )0,(),0,( 21 aAaA  ),0(),,0( 21 aBaB  对称轴 x 轴， y 轴；虚轴为 b2 ，实轴为 a2 焦 点 )0,(),0,( 21 cFcF  ),0(),,0( 21 cFcF  焦 距 )0(2|| 21  ccFF 222 bac  离心率 )1(  ea ce （离心率越大，开口越大） 渐近线 xa by  xb ay  通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线 12 2 2 2  b y a x 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 02 2 2 2  b y a x ，因式分解得到 0x y a b   。 ②与双曲线 12 2 2 2  b y a x 共渐近线的双曲线系方程是  2 2 2 2 b y a x ； （4）等轴双曲线为 222 tyx  ，其离心率为 2 y （4）常用结论：（1）双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的两个焦点为 21, FF ，过 1F 的直线交双曲线的 同一支于 BA, 两点，则 2ABF 的周长= （2）设双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 左、右两个焦点为 21, FF ，过 1F 且垂直于对称轴的 直线交双曲线于 QP, 两点，则 QP, 的坐标分别是 || PQ 三、抛物线： （1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p 焦点在 x 轴上， 开口向右 焦点在 x 轴上， 开口向左 焦点在 y 轴上， 开口向上 焦点在 y 轴上， 开口向下 标准方程 pxy 22  pxy 22  pyx 22  pyx 22  图 形 x O F Pyl OF P y l x O FP y l x O FP yl x 顶 点 )0,0(O 对称轴 x 轴 y 轴 焦 点 )0,2( pF )0,2( pF  )2,0( pF )2,0( pF  离心率 1e 准 线 2 px  2 px  2 py  2 py  通 径 p2 焦半径 2|||| 0 pxPF  2|||| 0 pyPF  焦点弦 焦准距 p 四、弦长公式： ||14)(1||1|| 2 21 2 21 2 21 2 AkxxxxkxxkAB  其中, ,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 的判别式和 2x 的系数 求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二 次 方 程 ,02  CBxAx 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 由 韦 达 定 理 求 出 A Bxx  21 ， A Cxx 21 ；（3）代入弦长公式计算。 法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y 的一元二次方程 ,02  CByAy 则相应的弦长公 式是： ||)1(14)()1(1||)1(1|| 2 21 2 21 2 21 2 AkyyyykyykAB  注意（1）上面用到了关系式 ||4)(|| 21 2 2121 Axxxxxx  和 ||4)( 21 2 2121 Ayyyyyy  注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但 若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次 方程 ,02  CBxAx 设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，由韦达定理求出 A Bxx  21 ；（3）设中 点 ),( 00 yxM ，由中点坐标公式得 2 21 0 xxx  ；再把 0xx  代入直线方程求出 0yy  。 法（二）：用点差法，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，中点 ),( 00 yxM ，由点在曲线上，线段的中 点坐标公式，过 A、B 两点斜率公式，列出 5 个方程，通过相减，代入等变形，求出 00 , yx 。 六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离 心率取值范围是 0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)1.设 AB 为过抛物线 )0(22  ppxy 的 焦点的弦，则 AB 的最小值为（ ） F x y A B C O A． 2 p B． p C． p2 D．无法确定 2.若抛物线 xy 2 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为（ ） A． 1 2( , )4 4  B． 1 2( , )8 4  C． 1 2( , )4 4 D． 1 2( , )8 4 3.如图，过抛物线 )( 022  ppxy 的焦点 F 的直线 l交抛物线于点 A．B，交其准线于点 C，若 BFBC 2 ，且 3AF ，则此抛物线的方程为 （ ） A． xy 2 32  B． xy 32  C． xy 2 92  D． xy 92  4.设抛物线 2y =2x的焦点为F，过点M（ 3 ，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相 交于C， BF =2，则  BCF与  ACF的成面积之比 BCF ACF S S   = A． 4 5 B． 2 3 C． 4 7 D． 1 2 w 5.点 P 在直线 : 1l y x  上，若存在过 P 的直线交抛物线 2y x 于 ,A B 两点，且| | |PA AB ， 则称点 P 为“点”，那么下列结论中正确的是 A．直线 l 上的所有点都是“ 点” B．直线 l 上仅有有限个点是“ 点” C．直线 l 上的所有点都不是“ 点” D．直线 l 上有无穷多个点是“ 点” 6.设 F1，F2 分别是双曲线 12 2 2 2  b y a x 的左右焦点，若双曲线上存在点 A，使∠F1AF2=90°且 |AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率等于 （ ） A． 2 5 B． 2 10 C． 2 15 D． 5 7.双曲线 143 22  yx 的实轴长和虚轴长分别是( ) A． 32 ，4 B．4， 32 C．3，4 D．2， 3 8.若点 P 为共焦点的椭圆 1C 和双曲线 2C 的一个交点, 1F 、 1F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为 1e ，双曲线离心率为 2e ，若 021  PFPF ,则  2 2 2 1 11 ee （ ） A．1 B． 2 C．3 D．4 9.已知点 P 是椭圆 )0,0(1816 22  yxyx 上的动点， 1F 、 2F 为椭圆的两个焦点， O 是坐标原 点，若 M 是 1 2F PF 的角平分线上一点，且 1 0F M MP   ，则 OM  的取值范围是 （ ） A． 0 ,3 B．  0 ,2 2 C． 2 2 ,3 D． 0 ,4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 10.已知 p、q、p+q 是等差数列，p、q、pq 是等比数列，则椭圆 2 2 1x y p q   的准线方程 A. 2 2y   B. 2 2x   C. 2 6 3y   D. 2 6 3x   11.双曲线 13 2 2  yx 的渐近线方程为（ ） A、 xy 3 B、 xy 3 1 C、 xy 3 3 D、 xy 3 12.已知抛物线方程为 2 2 ( 0)y px p  ，过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂直的直线 AB 交抛物线 于 ,A B 两点，过点 A ,点 B 分别作 ,AM BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于 ,M N 两点，那么 MFN 必是 （ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D． 以上皆有可能 13.已知方程 0,,0(022  cbaabcbyaxabbyax 其中和 ，它们所表示的曲线可 能是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ 14. 已 知 椭 圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 与 双 曲 线 )0,0(12 2 2 2  nm n y m x 有 相 同 的 焦 点 )0,( c 和 )0,(c ，若 c 是 a 与 m 的等比中项， 2n 是 22m 与 2c 的等差中项，则椭圆的离心率是 3 3)(A . 2 2)(B . 4 1)(C . 2 1)(D . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 15.已知椭圆 134 22  yx 上的一点 P 到左焦点的距离为 2 3 ，则点 P 到右准线的距离为（ ） A． 52 B． 32 C．5 D．3 16.已知点 21, FF 分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若 21FPF 为等腰直角三角形，则该双 曲线的离心率为 （ ） A． 13  B． 12  C． 32 D． 22 17.在三角形ABC中，已知 ,sin2sinsin),0,1(),0,1( BCACA  且 动点B 的轨迹方程（ ） A. )0(143 22  xyx ； B. )0(143 22  yyx ； C. )0(134 22  yyx ； D. )0(134 22  xyx 。 1 2 2 ( 4 0) (4 0) 125 9 x yABC A B C C   的顶点是 ，、 ，、 ，又 是椭圆 上异于长轴端点的点 H B' E F D CB A 则  C BA sin sinsin ( ) A、2． B、 5 4 ． C、 5 34 ． D、 1 2 ． 19.如图,用与圆柱的母线成 60 角的平面截圆柱得一椭圆截线, 则该椭圆的离心率为 ( ) A． 1 2 B． 3 3 C． 3 2 D．非上述结论 20. PAB 所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面垂直，且 , , 4, 8, 6,AD BC AD BC AB APD CPB         ， 则点 P 在平面 内的轨迹是（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 21.设 ( , )P x y 是曲线 1925 22  yx 上的点， 1( 4,0)F  ， 2 (4,0)F 则必有…………（ ） A． 1021  PFPF B． 1021  PFPF C． 1021  PFPF D． 1021  PFPF 22.有一矩形纸片 ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点 B 都落在边 AD 上，将 B 的落点记 为 B ，其中 EF 为折痕，点 F 也可落在边 CD 上，过 B 作 B H∥CD 交 EF 于点 H，则点 H 的轨迹 为……………………………………………………………………………（ ） A．四分之一圆 B．四分之一椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 23.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆 上，且 BF x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P ．若 2AP PB  ，则椭圆的离心率是（ ）.w.k.s.5.u.c.o.m D C BA P  A． 3 2 B． 2 2 C． 1 3 D． 1 2 24.经过抛物线 y2 = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是（ ） A．y2=x－1 B．y2=2(x－1) C．y2=x－ 2 1 D.y2=2x－1 25.直线 53 1  xy 与曲线 1259 || 2  yxx 的交点个数为（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 26.已知双曲线 12 2 2 2  b y a x (a＞0, b＞0)的离心率为 e∈ ]2,2[ ，则它的两条渐近线所成的角中以实轴为 平分线的角的大小为（ ） A． ]2,6[  B． ]2,3[  C． ]3 2,2[  D． ],3 2[  27.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 AM= 1 3 ,点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,则动点的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线 28.不论 k 为何值,直线 ( 2)y k x b   与双曲线 2 2 1x y  总有公共点,实数 b 的取值范围是( ) A.  3, 3 B. 3, 3   C.  2,2 D. 2,2 30.直线 1y x  交抛物线  2 2 0y px p  于 M,N 两点,向量 OM ON  与弦 MN 交于点 E,若 E 点的横坐标为 3 2 ,则 p 的值为 ( ) A.2 B.1 C. 1 4 D. 1 2 31.直线 1y x  交椭圆 2 2 1mx ny  于 M,N 两点,MN 的中点为 P,若 2 2opk  (O 为原点),则 m n 等 于 ( ) A. 2 2 B. 2 C. 2 2  D. 2 32.已知定点 )4,3(A ，点 P 为抛物线 xy 42  上一动点，点 P 到直线 1x 的距离为 d ，则|PA|+d 的最小值为（ ） A．4 B． 52 C．6 D． 328  33.点 P 是双曲线 154 22  yx 右支上一点， F 是该双曲线的右焦点，点 M 为线段 PF 的中点。若 3OM ，则点 P 到该双曲线右准线的距离为 （ ） A、 3 4 B、 4 3 C、 2 3 D、 3 2 34.过双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的右焦点 F，作渐近线 xa by  的垂线与双曲线左右两支都 相交，则双曲线的离心率 e 的取值范围为 ( ) A、 21  e B、 21  e C、 2e D、 2e 35.定义椭圆 2 2 2 2 1x y a b   的面积为 ab ，若 {( , ) , }U x y x y R  ， 2 2{( , ) 1}4 xA x y y   ， {( , ) 2 2 0}B x y x y    ，则 ( )A B Ið 所表示图形的面积为 （ ） A、1 B、 12   C、 2 1  D、 3 12   36.一条线段 AB (|AB| = 2a)的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴上、y 轴上滑动，则线段 AB 中点 M 的轨迹方程 为（ ） A．x2 + y2 = a2 (x≠0) B．x2 + y2 = a2 (y≠0) C．x2 + y2 = a2 (x≠0 且 y≠0) D．x2 + y2 = a2 37. 如 果 方 程 2 2 1x y p q   表 示 双 曲 线 ， 则 下 列 椭 圆 中 ， 与 该 双 曲 线 共 焦 点 的 是 （ ） A. 2 2 12 x y q p q   B. 2 2 12 x y q p p    C. 2 2 12 x y p q q   D. 2 2 12 x y p q p    38.已知椭圆的焦点是 1 2,F F ,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 1F P 到 Q,使得 2PQ PF ,那么动点 Q 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 39.经过抛物线 y2 = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是（ ） A．y2=x－1 B．y2=2(x－1) C．y2=x－ 2 1 D.y2=2x－1 40.设 P 为双曲线 1916 22  yx 右支异于顶点的任一点，F1，F2 为两个焦点，则△PF1F2 的内心 M 的轨迹 方程是 （ ） A、x=4, (y≠) B、x=3 ,(y≠) C、x=5 ,(y≠) D、x= 5 16 , (y≠) 41.双曲线 149 22  yx 中，被点 P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ） A、 798  yx B、 2598  yx C、 694  yx D、不存在 42.若双曲线 122  yx 的右支上一点 P（a,b）到直线 y=x 的距离为 2 ，则 a+b 的值是（ ） A、 2 1 B、 2 1 C、 2 1 D、 2 43.过点 A（ a ，0）作椭圆 1: 2 2 2 2 1  b y a xC 的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为 2C ,若 1C 和 2C 的 离心率分别为 e 和 'e ，则 e 和 'e 的关系是（ ）。 A e ＝ 'e B e ＝2 'e C 2 e ＝ 'e D 不能确定 44.过抛物线 )0(22  ppxy 的焦点作一条直线交抛物线于 ),(),,( 2211 yxByxA ，则 21 21 xx yy 为 （ ） A 4 B －4 C 2p D 2p 45.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 )0,0(,  baxa by ，若双曲线上有一点 M （ 00 , yx ），使 |||| 00 xbya  ，那双曲线的交点（ ）。 A 在 x 轴上 B 在 y 轴上 C 当 ba  时在 x 轴上 D 当 ba  时在 y 轴上 46.若直线 y x b  与曲线 2 2 4( 0)x y y   有公共点，则 b 的取值范围是 A． [ 2,2] B． [0,2] C．[2,2 2] D． [ 2,2 2] 47.已知抛物线 xy 42  的顶点为 O ，抛物线上 BA, 两点满足 0OBOA ，则点 O 到直线 AB 的 最大距离为 A.1 B.2 C.3 D.4 48.若双曲线 2 2 2 2 1x y a b    的离心率为 5 4 ，则两条渐近线的方程为 A 09 16 X Y  B 016 9 X Y  C 03 4 X Y  D 04 3 X Y  49.椭圆的短轴长为 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 A 8 55 B 4 55 C 8 33 D 4 33 50.设双曲线 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的半焦距为 C，直线 L 过 ( ,0),(0, )a b 两点，已知原点到直线 L 的距离为 3 4 C ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2 或 2 3 3 C 2 D 2 33 答案 1.C 解析：垂直于对称轴的通径时最短，即当 , ,2 px y p   min 2AB p 2.B 解析：点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离，得 PO PF ，过点 P 所作的高也是中线 1 8xP  ，代入到 xy 2 得 2 4yP   ， 1 2( , )8 4P  3.B4.A5.A6.B7.A8.B9.B 10.A 解析：因为 2 2 ( ) ( ) 0 p p p q q p pq p q          所以 2 4 p q    所以椭圆方程为 2 2 12 4 x y  ，故准线方程为 4 2 2 2 y     11.D12.B13.B14.D15.C16.B17.C18.B19.A 20.A. 解析：在 sin sin , 2PBRt PBC Rt PAD CPB APD PA       和 中， .以 AB 的中点 O 为原点， 以射线 OB 为 x 轴，在 内建立平面直角坐标系，则     2 2 2 2 3 2 3 x y x y      ，化简得  2 25 16x y   ，故选 A. 21.A22.D23.D24.B25.C26.C27.B28.B29.C30.D31.A32.B33.A34.C35.B 22.36.解析：因原点即在 x 轴上，又在 y 轴上，故本题无特殊情况，选 D. 37.D38.A39.B40.A41.答案：D42.答案：B 43.正解：A。设弦 AB 中点 P（ ), yx ，则 B（ )2,2 yx  由 2 2)2(  x + 2 24 b y =1， 2 2)2(4 a ax  + 2 24 b y =1* 44 22 2 bac  2 2 22 a ba e   = a ba 22  'ee  误解：容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取 4，而导致错误。 44.正解：D。 特例法：当直线垂直于 x 轴时， 2 1 2 2 1 2 ( , ), ( , ), 42 2 4 y yp p pA p B p px x     注意：先分别求出 1 2 1 2,x x y y 用推理的方法，既繁且容易出错。 45.正解：B。 由 0 0a y b x 得 0 0 y b x a  ，可设 0 00, 0x y  ，此时 OM 的斜率大于 渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在 y 轴上。所以选 B。 误解：设双曲线方程为 2 2 2 2 x y a b   ，化简得： 2 2 2 2 2 2b x a y a b  ， 代入 0 0( , )x y ， 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0b x a b a y b x   ， 0  ，焦点在 x 轴上。这个方法 没错，但  确定有误，应 0  ，焦点在 y 轴上。 误解：选 B，没有分组。 46.D47.D 48.解析：C49.解析：D50.解析：D 易错原因：忽略条件 0a b  对离心率范围的限制。