【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(11)

【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(11)

‎1．(2019·广东中山第一次统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)‎ A．6　　　　　　　　　　 B．8‎ C．9 D．10‎ 答案　B 解析　|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.‎ ‎2．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是(　　)‎ A．(，1) B．(0，0)‎ C．(1，2) D．(1，4)‎ 答案　A 解析　设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x＋m，由平面几何的性质可知，抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离最短的点即为直线y＝4x＋m与抛物线相切的点．而对y＝4x2求导得y′＝8x，又直线y＝4x＋m的斜率为4，所以8x＝4，得x＝，此时y＝4×()2＝1，即切点为(，1)，故选A.‎ ‎3．(2019·广东汕头第三次质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，与直线y＝2x－4交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为(1，0)．又∵直线y＝2x－4与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则＝(0，－2)，＝(3，4)，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.‎ ‎4．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)‎ A．(－3，0) B．(0，－3)‎ C．(3，0) D．(0，3)‎ 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y12＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．‎ ‎5．(2019·安徽芜湖模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　)‎ A．－4 B．4‎ C．p2 D．－p2‎ 答案　A 解析　①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝k(x－)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.∵y12＝2px1，y22＝2px2，∴y12y22＝4p2x1x2＝p4.又∵y1y2<0，∴y1y2＝－p2.故＝－4.‎ ‎6．(2019·山西孝义模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点．若|AF|＝5，则△AOB的面积为(　　)‎ A．5 B. C. D. 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y＝k(x－1)，由消去x，得y2－y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得y1y2＝－4.根据抛物线的定义，得|AF|＝x1＋＝x1＋1＝5，解得x1＝4，代入抛物线方程得y12＝4×4＝16，解得y1＝±4.当y1＝4时，由y1y2＝－4得y2＝－1；当y1＝－4时，由y1y2＝－4得y2＝1，所以|y1－y2|＝5，即A，B两点纵坐标差的绝对值等于5.因此△AOB的面积为S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|y1|＋|OF||y2|＝|OF||y1－y2|＝×1×5＝.‎ ‎7．(2019·甘肃兰州期中)设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于(　　)‎ A. B．－ C．3 D．－3‎ 答案　B 解析　抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，‎ 当AB的斜率不存在时，可得A(，1)，B(，－1)，‎ ‎∴·＝(，1)·(，－1)＝－1＝－，故选B.‎ ‎8．(2019·衡水中学调研)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两不同点，则y12＋y22的最小值为(　　)‎ A．12 B．24‎ C．16 D．32‎ 答案　D 解析　当直线的斜率不存在时，方程为x＝4，‎ 由得y1＝－4，y2＝4，∴y12＋y22＝32.‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，‎ 由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，‎ ‎∴y12＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32.‎ 综上可知，y12＋y22≥32.‎ ‎∴y12＋y22的最小值为32.故选D.‎ ‎9．(2019·天津静海模拟)已知点A为抛物线C：x2＝4y上的动点(不含原点)，过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF为(　　)‎ A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 答案　B 解析　设A(x0，)(x0≠0)．又y＝x2，则y′＝x，则抛物线C在点A处的切线方程为y－＝x0(x－x0)．令y＝0，解得B(x0，0)．又F(0，1)，所以·＝(－x0，1)·(x0，)＝－＋＝0，则∠ABF为直角，故选B.‎ ‎10．(2019·东城区期末)已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0，)，双曲线焦点坐标为(2，0)，所以两个焦点连线的直线方程为y＝－(x－2)．设M(x0，y0)，则有y′＝x0＝⇒x0＝p.因为y0＝x02，所以y0＝.又M点在抛物线的切线上，即有＝－(p－2)⇒p＝，故选D.‎ ‎11．(2019·河北邯郸模拟)已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P为抛物线上的动点，且A的坐标为(0，－1)，则的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　抛物线的准线为l：y＝－1，过点P作PD⊥l于点D，‎ 则|PD|＝|PF|，且点A在准线上，‎ 如图所示，所以＝＝sin∠PAD，∠PAD为锐角．‎ 故当∠PAD最小时，最小，故当直线PA与抛物线相切时，‎ ＝＝sin∠PAD有最小值．‎ 由y＝得y′＝，设切点为(x0，)(x0>0)，‎ 则＝，解得x0＝2，此时∠PAD＝，‎ 所以()min＝sin＝，故选C.‎ ‎12．(2019·甘肃兰州模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上两动点，若|AB|＝(x1＋x2＋2)，则∠AFB的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　因为|AB|＝(x1＋x2＋2)，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|＝|AB|.‎ 在△AFB中，由余弦定理，得cos∠AFB＝ ‎＝＝－1＝－1.‎ 又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2⇒|AF|·|BF|≤|AB|2.‎ 所以cos∠AFB≥－1＝－，所以∠AFB的最大值为.故选A.‎ ‎13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．‎ 答案　2‎ 解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，p＝2.由＋＝，即＋＝，∴|BF|＝2.‎ ‎14．(2019·郑州质检)设抛物线y2＝16x的焦点为F，经过点P(1，0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2＝，则|AF|＋2|BF|＝________．‎ 答案　15‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎∵P(1，0)，∴＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．‎ ‎∵2＝，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)，∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y1.‎ 将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y2＝16x，得y12＝16x1，y22＝16x2.‎ 又∵－2y2＝y1，∴4x2＝x1.又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×(＋4)＝15.‎ ‎15．(2019·河南郑州测试)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．‎ 答案　 解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，‎ 直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝(y－1)．由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.‎ ‎16．(2019·长沙调研)过点(0，3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________．‎ 答案　y＝x＋3或y＝3或x＝0‎ 解析　当直线l的斜率k存在且k≠0时，由相切知直线l的方程为y＝x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点(，3)；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0，0)，此时直线l的方程为x＝0.综上，过点(0，3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝x＋3或y＝3或x＝0.‎ ‎17．(2019·广西柳州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两不同点．‎ ‎(1)若＝3，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为点C，求四边形OACB面积的最小值．‎ 答案　(1)或－　(2)4‎ 解析　(1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线AB：x＝my＋1，将直线AB与抛物线联立⇒y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ ‎∵＝3⇒y1＝－3y2⇒m2＝，∴斜率为＝或－.‎ ‎(2)S四边形OACB＝2S△AOB＝2×|OF||y1－y2|＝|y1－y2|＝＝≥4，‎ 当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.‎ ‎18．(2019·江西九江一模)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围．‎ 答案　(1)y2＝4x　(2)[3，＋∞)‎ 解析　(1)由题意，直线l的方程为y＝x－.联立消去y整理得x2－3px＋＝0.设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y02.‎ 令x＝－，得y2－2y0y＋3x0－＝0.‎ 又∵y02＝4x0，∴Δ＝4y02－12x0＋3＝y02＋3>0恒成立．‎ 设A(－，y3)，B(－，y4)，则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－.‎ ‎∴|FA|·|FB|＝·＝ ‎＝ ‎＝＝3|x0＋1|.‎ ‎∵x0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)．‎