【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(11)

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【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(11)

‎1.(2019·广东中山第一次统测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.如果x1+x2=6,那么|AB|=(  )‎ A.6           B.8‎ C.9 D.10‎ 答案 B 解析 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=8.故选B.‎ ‎2.若抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是(  )‎ A.(,1) B.(0,0)‎ C.(1,2) D.(1,4)‎ 答案 A 解析 设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x+m,由平面几何的性质可知,抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最短的点即为直线y=4x+m与抛物线相切的点.而对y=4x2求导得y′=8x,又直线y=4x+m的斜率为4,所以8x=4,得x=,此时y=4×()2=1,即切点为(,1),故选A.‎ ‎3.(2019·广东汕头第三次质检)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,与直线y=2x-4交于A,B两点,则cos∠AFB=(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 D 解析 ∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,∴点F的坐标为(1,0).又∵直线y=2x-4与C交于A,B两点,∴A,B两点坐标分别为(1,-2),(4,4),则=(0,-2),=(3,4),∴cos∠AFB===-.故选D.‎ ‎4.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率k1,k2满足k1k2=,则直线l过定点(  )‎ A.(-3,0) B.(0,-3)‎ C.(3,0) D.(0,3)‎ 答案 A 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以·=.又y12=2x1,y22=2x2,所以y1y2=6.将直线l:x=my+b代入抛物线C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,所以b=-3,即直线l:x=my-3,所以直线l过定点(-3,0).‎ ‎5.(2019·安徽芜湖模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于(  )‎ A.-4 B.4‎ C.p2 D.-p2‎ 答案 A 解析 ①若焦点弦AB⊥x轴,则x1=x2=,则x1x2=;②若焦点弦AB不垂直于x轴,可设直线AB:y=k(x-),联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+=0,则x1x2=.∵y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2=p4.又∵y1y2<0,∴y1y2=-p2.故=-4.‎ ‎6.(2019·山西孝义模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点.若|AF|=5,则△AOB的面积为(  )‎ A.5 B. C. D. 答案 B 解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).设直线AB的斜率为k,可得直线AB的方程为y=k(x-1),由消去x,得y2-y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得y1y2=-4.根据抛物线的定义,得|AF|=x1+=x1+1=5,解得x1=4,代入抛物线方程得y12=4×4=16,解得y1=±4.当y1=4时,由y1y2=-4得y2=-1;当y1=-4时,由y1y2=-4得y2=1,所以|y1-y2|=5,即A,B两点纵坐标差的绝对值等于5.因此△AOB的面积为S△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|·|y1|+|OF||y2|=|OF||y1-y2|=×1×5=.‎ ‎7.(2019·甘肃兰州期中)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则·等于(  )‎ A. B.- C.3 D.-3‎ 答案 B 解析 抛物线y2=2x的焦点为F(,0),‎ 当AB的斜率不存在时,可得A(,1),B(,-1),‎ ‎∴·=(,1)·(,-1)=-1=-,故选B.‎ ‎8.(2019·衡水中学调研)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两不同点,则y12+y22的最小值为(  )‎ A.12 B.24‎ C.16 D.32‎ 答案 D 解析 当直线的斜率不存在时,方程为x=4,‎ 由得y1=-4,y2=4,∴y12+y22=32.‎ 当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),‎ 由得ky2-4y-16k=0,∴y1+y2=,y1y2=-16,‎ ‎∴y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32.‎ 综上可知,y12+y22≥32.‎ ‎∴y12+y22的最小值为32.故选D.‎ ‎9.(2019·天津静海模拟)已知点A为抛物线C:x2=4y上的动点(不含原点),过点A的切线交x轴于点B,设抛物线C的焦点为F,则∠ABF为(  )‎ A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不确定 答案 B 解析 设A(x0,)(x0≠0).又y=x2,则y′=x,则抛物线C在点A处的切线方程为y-=x0(x-x0).令y=0,解得B(x0,0).又F(0,1),所以·=(-x0,1)·(x0,)=-+=0,则∠ABF为直角,故选B.‎ ‎10.(2019·东城区期末)已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由题可知,抛物线开口向上且焦点坐标为(0,),双曲线焦点坐标为(2,0),所以两个焦点连线的直线方程为y=-(x-2).设M(x0,y0),则有y′=x0=⇒x0=p.因为y0=x02,所以y0=.又M点在抛物线的切线上,即有=-(p-2)⇒p=,故选D.‎ ‎11.(2019·河北邯郸模拟)已知F是抛物线x2=4y的焦点,P为抛物线上的动点,且A的坐标为(0,-1),则的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 抛物线的准线为l:y=-1,过点P作PD⊥l于点D,‎ 则|PD|=|PF|,且点A在准线上,‎ 如图所示,所以==sin∠PAD,∠PAD为锐角.‎ 故当∠PAD最小时,最小,故当直线PA与抛物线相切时,‎ ==sin∠PAD有最小值.‎ 由y=得y′=,设切点为(x0,)(x0>0),‎ 则=,解得x0=2,此时∠PAD=,‎ 所以()min=sin=,故选C.‎ ‎12.(2019·甘肃兰州模拟)抛物线y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两动点,若|AB|=(x1+x2+2),则∠AFB的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 因为|AB|=(x1+x2+2),|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2,所以|AF|+|BF|=|AB|.‎ 在△AFB中,由余弦定理,得cos∠AFB= ‎==-1=-1.‎ 又|AF|+|BF|=|AB|≥2⇒|AF|·|BF|≤|AB|2.‎ 所以cos∠AFB≥-1=-,所以∠AFB的最大值为.故选A.‎ ‎13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=________.‎ 答案 2‎ 解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),p=2.由+=,即+=,∴|BF|=2.‎ ‎14.(2019·郑州质检)设抛物线y2=16x的焦点为F,经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A,B两点,且2=,则|AF|+2|BF|=________.‎ 答案 15‎ 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∵P(1,0),∴=(1-x2,-y2),=(x1-1,y1).‎ ‎∵2=,∴2(1-x2,-y2)=(x1-1,y1),∴x1+2x2=3,-2y2=y1.‎ 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入抛物线方程y2=16x,得y12=16x1,y22=16x2.‎ 又∵-2y2=y1,∴4x2=x1.又∵x1+2x2=3,解得x2=,x1=2.∴|AF|+2|BF|=x1+4+2(x2+4)=2+4+2×(+4)=15.‎ ‎15.(2019·河南郑州测试)过抛物线y=x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,则|AB|=________.‎ 答案  解析 依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线x2=4y的焦点坐标是F(0,1),‎ 直线AB的方程为y=x+1,即x=(y-1).由消去x得3(y-1)2=4y,即3y2-10y+3=0,y1+y2=,|AB|=|AF|+|BF|=(y1+1)+(y2+1)=y1+y2+2=.‎ ‎16.(2019·长沙调研)过点(0,3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,则直线l的方程为________.‎ 答案 y=x+3或y=3或x=0‎ 解析 当直线l的斜率k存在且k≠0时,由相切知直线l的方程为y=x+3;当k=0时,直线l的方程为y=3,此时直线l平行于抛物线的对称轴,且与抛物线只有一个公共点(,3);当k不存在时,直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0),此时直线l的方程为x=0.综上,过点(0,3)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线l的方程为y=x+3或y=3或x=0.‎ ‎17.(2019·广西柳州模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两不同点.‎ ‎(1)若=3,求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为点C,求四边形OACB面积的最小值.‎ 答案 (1)或- (2)4‎ 解析 (1)依题意可得,抛物线的焦点为F(1,0),设直线AB:x=my+1,将直线AB与抛物线联立⇒y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ ‎∵=3⇒y1=-3y2⇒m2=,∴斜率为=或-.‎ ‎(2)S四边形OACB=2S△AOB=2×|OF||y1-y2|=|y1-y2|==≥4,‎ 当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.‎ ‎18.(2019·江西九江一模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)已知点C是抛物线上的动点,以C为圆心的圆过点F,且圆C与直线x=-相交于A,B两点,求|FA|·|FB|的取值范围.‎ 答案 (1)y2=4x (2)[3,+∞)‎ 解析 (1)由题意,直线l的方程为y=x-.联立消去y整理得x2-3px+=0.设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=3p,故直线l被抛物线E截得的线段长为x1+x2+p=4p=8,得p=2,∴抛物线E的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由(1)知,F(1,0),设C(x0,y0),则圆C的方程是(x-x0)2+(y-y0)2=(x0-1)2+y02.‎ 令x=-,得y2-2y0y+3x0-=0.‎ 又∵y02=4x0,∴Δ=4y02-12x0+3=y02+3>0恒成立.‎ 设A(-,y3),B(-,y4),则y3+y4=2y0,y3y4=3x0-.‎ ‎∴|FA|·|FB|=·= ‎= ‎==3|x0+1|.‎ ‎∵x0≥0,∴|FA|·|FB|∈[3,+∞).‎
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