【数学】2020届一轮复习北师大版含有一个量词的命题的否定课时作业
2020届一轮复习北师大版 含有一个量词的命题的否定 课时作业
1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∃x0∈A,2x0∈B，且綈p是假命题
B．綈p：∃x0∉A,2x0∈B，且綈p是真命题
C．綈p：∃x0∈A,2x0∉B，且綈p是假命题
D．綈p：∀x∉A,2x∉B，且綈p是真命题
答案 C
解析 原命题的否定：∃x0∈A,2x0∉B.由于原命题是真命题，所以其否定是假命题．
2．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
答案 有的向量与零向量不共线
解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.
知识点二 特称命题的否定
3.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x0∈R，|x0|>0
C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤0
答案 C
解析 由“有些”，知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
4．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________．
答案 所有三角形的三条中线不相等
解析 特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是“所有三角形的三条中线不相等”.
知识点三 求参数的取值范围
5.命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得0
4.
一、选择题
1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
答案 A
解析 “∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．
2．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有理数是实数
B．有些平行四边形是菱形
C．∃x0∈R,2x0＋3＝0
D．∀x∈R，x2－2x>1
答案 D
解析 根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.
3．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100
答案 C
解析 A、B、D正确；C错误，綈p：所有的三角形都不是正三角形．
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2011”的否定是( )
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011
D．以上都不对
答案 C
解析 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
5．已知f(x)＝ex＋x－1，命题p：∀x∈(0，＋∞)，f(x)>0，则( )
A．p是真命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，f(x)<0
B．p是真命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，f(x)≤0
C．p是假命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，f(x)<0
D．p是假命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，f(x)≤0
答案 B
解析 由于函数y＝ex和y＝x－1在R上均是增函数，则f(x)＝ex＋x－1在R上是增函数，当x>0时，f(x)>f(0)＝0，所以p为真命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，f(x)≤0，故选B.
二、填空题
6．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是________．
答案 有些偶函数的图象关于y轴不对称
解析 本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．
7．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：
①命题p是真命题；
②命题q是假命题；
③命题(綈p)∧q是真命题；
④命题p∨(綈q)是假命题．
其中正确的是________．
答案 ③④
解析 对于命题p，因为函数y＝sinx的值域为[－1,1]，所以命题p为假命题；
对于命题q，因为函数y＝x2＋x＋1的图象开口向上，最小值在x＝－处取得，且f＝>0，所以命题q为真命题．
由命题p为假命题和命题q为真命题可得：命题(綈p)∧q是真命题；命题p∨(綈q)是假命题，故③④正确．
8．已知命题p：对于任意的实数x，存在实数m，使得4x－2x＋1＋m＝0.若命题p是假命题，则实数m的取值范围为________．
答案 (1，＋∞)
解析 设t＝2x>0，f(t)＝－t2＋2t，∴f(t)在(0,1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，f(1)＝－1＋2＝1，∴对于任意的实数x，有－4x＋2x＋1≤1.若命题p是真命题时，有m＝－4x＋2x＋1≤1，∴命题p是假命题时，实数m的取值范围为(1，＋∞)．
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：直线l⊥平面α，则对任意直线m⊂α，l⊥m；
(2)q：∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；
(3)r：存在一个向量a与0不共线；
(4)s：∃α，β∈R，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ.
解 (1)綈p：直线l⊥平面α，则存在直线m0⊂α，l与m0不垂直，假命题．
(2)綈q：∃φ0∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ0)是偶函数，真命题．
(3)綈r：任意一个向量a与0共线，真命题．
(4)綈s：∀α，β∈R，cos(α＋β)≠cosα＋cosβ，假命题．
10．(1)已知命题“∃x0∈[1,2]，x－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围；
(2)已知命题“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
解 (1)∵“∃x0∈[1,2]，x－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在x∈[1,2]有解，
又函数y＝x2在[1,2]上单调递增，
∴y＝x2的最大值为22＝4.
∴4－m≥0，即m≤4，
∴实数m的取值范围是(－∞，4]．
(2)∵“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在x∈[1,2]恒成立．
又函数y＝x2在[1,2]上单调递增，
∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0，得m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
