【数学】2020届一轮复习北师大版等差数列与等比数列学案

【数学】2020届一轮复习北师大版等差数列与等比数列学案

第1讲　小题考法——等差数列与等比数列 一、主干知识要记牢 ‎1．等差数列、等比数列 等差数列 等比数列 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0)‎ 前n项 和公式 Sn＝＝na1＋d ‎(1)q≠1，Sn＝＝；‎ ‎(2)q＝1，Sn＝na1‎ ‎2.判断等差数列的常用方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎3．判断等比数列的常用方法 ‎(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(3)中项公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ 二、二级结论要用好 ‎1．等差数列的重要规律与推论 ‎(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an．‎ ‎(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd．‎ ‎(3)连续k项的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)构成的数列是等差数列．‎ ‎(4)若等差数列{an}的项数为偶数‎2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S‎2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝．‎ ‎(5)若等差数列{an}的项数为奇数‎2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S‎2m－1＝(‎2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝．‎ ‎2．等比数列的重要规律与推论 ‎(1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an．‎ ‎(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．‎ ‎(3)连续m项的和(如Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．‎ ‎(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q．‎ ‎(5)对于等比数列前n项和Sn，有：‎ ‎①Sm＋n＝Sm＋qmSn；②＝(q≠±1)．‎ 三、易错易混要明了 已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1．‎ 考点一　数列的递推公式 由an与Sn的关系求通项公式的注意事项 ‎(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2．‎ ‎(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”)．‎ ‎(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝ ‎1．(2018·潍坊二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝－n2－n，则数列的前40项的和为(　D　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析　根据Sn＝－n2－n，可知当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－n2－n－[－(n－1)2－(n－1)]＝－2n，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－2，上式成立，所以an＝－2n，‎ 所以＝－＝－，‎ 所以其前n项和 Tn＝－ ‎＝－＝－，‎ 所以其前40项和为T40＝－，故选D．‎ ‎2．(2018·齐齐哈尔二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S4＝30，n≥2时，an＋1＋an－1＝2(an＋1)，则{an}的通项公式an＝__n2__．‎ 解析　由an＋1＋an－1＝2(an＋1)得an＋1－an＝an－an－1＋2(n≥2)．又a3＋a1＝2(a2＋1)＝10，‎ S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝14＋a4＝30，∴a4＝16．‎ 又a4＋a2＝2(a3＋1)，∴a3＝9，∴a1＝1，∴a2－a1＝3，‎ ‎∴数列{an＋1－an}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ ‎∴an－an－1＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)，‎ ‎∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋1＝n2，‎ 又a1＝1满足上式，∴an＝n2(n∈N*)．‎ 考点二　等差、等比数列的基本运算 等差(比)数列基本运算的解题思路 ‎(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．‎ ‎(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．‎ ‎1．(2018·南充三联)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－5，则a1－a2－a3－a4＝(　D　)‎ A．－14 B．－9 ‎ C．11 D．16‎ 解析　等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－5，所以公差d＝＝－3.所以a1－a2－a3－a4＝a1－(a1＋d)－(a1＋2d)－(a1＋3d)＝－‎2a1－6d＝－2＋18＝16．‎ ‎2．已知等比数列{an}满足a1＝4，a‎2a6＝a4－，则a2＝(　A　)‎ A．2 B．1 ‎ C． D． 解析　因为a‎2a6＝a4－，所以4q·4q5＝4q3－．‎ ‎∴2＝0.∴4q3－＝0.q3＝，q＝．‎ a2＝4q＝4×，选A．‎ ‎3．(2018·河南一模)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　B　)‎ A．21 B．20 ‎ C．19 D．18‎ 解析　因为a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，所以a3＝35，a4＝33，从而d＝－2，a1＝39，Sn＝39n＋n(n－1)(－2)＝－n2＋40n.所以当n＝20时Sn取最大值，选B．‎ ‎4．(2018·湖南联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重4斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为W，则W的值为(　C　)‎ A．4 B．12 ‎ C．15 D．18‎ 解析　由于粗细是均匀变化的， 所以为等差数列，即a1＝4，a5＝2，所以总重量为S5＝×5＝15.故选C．‎ 考点三　等差、等比数列的性质 等差、等比数列性质问题的求解策略 ‎(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．‎ ‎(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．‎ ‎1．(2018·蚌埠模拟)设等差数列{an}的前10项和为20，且a5＝1，则{an}的公差为(　B　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析　等差数列{an}的前10项和为20，所以S10＝＝5(a1＋a10)＝5(a5＋a6)＝20.所以a6＝4－a5＝3.则{an}的公差为a6－a5＝3－1＝2. 故选B．‎ ‎2．(2018·永州三模)记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S4－2S2＝2，则S6－S4的最小值为__8__．‎ 解析　在等比数列{an}中，根据等比数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，所以S6－S4＝，因为S4－2S2＝2，即S4－S2＝S2＋2，所以S6－S4＝＝＝S2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当S2＝时，等号是成立的，所以S6－S4的最小值为8．‎ 考点四　等差、等比数列的综合问题 等差、等比数列综合问题的求解策略 ‎(1)对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．‎ ‎(2)数列的通项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列的有关最值问题．‎ ‎1．(2018·株洲二检)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则S9等于(　C　)‎ A．－8 B．－6‎ C．0 D．10‎ 解析　∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a‎1a4，∴(a1＋2×2)2＝a1·(a1＋3×2)，化为‎2a1＝－16.解得a1＝－8.则S9＝－8×9＋×2＝0，故选C．‎ ‎2．(2018·武汉一模)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝__2__．‎ 解析　因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，‎ 又2＝＋，‎ 整理得到2q6＝1＋q3，所以q3＝－，‎ 故a2＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2．‎ ‎3．(2018·雅安三诊)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，满足：a1 000＋a1 018＝2π，b6b2 012＝2，则tan ＝__－__．‎ 解析　∵数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，‎ ‎∴a1 000＋a1 018＝‎2a1 009＝2π，‎ 即a1 009＝π； b6·b2 012＝b＝2．‎ ‎∴tan ＝tan ＝tan ＝－．‎