【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3节学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习北师大版第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3节学案

第3节 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作奇函数.‎ 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.‎ ‎2.周期性 ‎(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.‎ ‎(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.‎ ‎(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).‎ ‎2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.‎ ‎3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x:‎ ‎(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).‎ ‎(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0).‎ ‎(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.( )‎ ‎(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )‎ ‎(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈ ,n≠0)也是函数的周期.( )‎ ‎(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称.( )‎ 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不是偶函数,(1)错.‎ ‎(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,‎ ‎(2)错.‎ ‎(3)由周期函数的定义,(3)正确.‎ ‎(4)由于y=f(x+b)的图像关于(0,0)对称,根据图像平移变换,知y=f(x)的图像关于(b,0)对称,正确.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(教材例题改编)下列函数中为偶函数的是( )‎ A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.‎ 答案 B ‎3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )‎ A.- B. C. D.- 解析 依题意b=0,且2a=-(a-1),∴a=,则a+b=.‎ 答案 B ‎4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f =________.‎ 解析 ∵f(x)的周期为2,∴f =f ,‎ 又∵当-1≤x<0时,f(x)=-4x2+2,‎ ‎∴f =f =-4×+2=1.‎ 答案 1‎ ‎5.(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.‎ 解析 ∵f(x+4)=f(x-2),‎ ‎∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即f(x+6)=f(x),‎ ‎∴f(919)=f(153×6+1)=f(1),‎ 又f(x)在R上是偶函数,‎ ‎∴f(1)=f(-1)=6-(-1)=6,即f(919)=6.‎ 答案 6‎ 考点一 函数的奇偶性 ‎【例1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________.‎ 解析 f(x)为偶函数,则y=ln(x+)为奇函数,‎ 所以ln(x+)+ln(-x+)=0,‎ 则ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.‎ 答案 1‎ ‎(2)判断下列函数的奇偶性:‎ ‎①f(x)=+;‎ ‎②f(x)=;‎ ‎③f(x)= 解 ①由得x2=3,解得x=±,‎ 即函数f(x)的定义域为{-,},‎ 从而f(x)=+=0.‎ 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.‎ ‎②由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.‎ ‎∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=.‎ 又∵f(-x)==-=-f(x),‎ ‎∴函数f(x)为奇函数.‎ ‎③显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.‎ ‎∵当x<0时,-x>0,‎ 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);‎ 当x>0时,-x<0,‎ 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);‎ 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.‎ 规律方法 1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:‎ ‎(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;‎ ‎(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.‎ ‎2.已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.‎ ‎【训练1】 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )‎ A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x ‎(2)(2018·淄博诊断)已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于________.‎ 解析 (1)对于A,定义域为R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数;对于B,定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于C,定义域为R,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数;y=x2+sin x既不是偶函数也不是奇函数.‎ ‎(2)因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,则30-a=0,∴a=1.∴当x≥0时,f(x)=3x-1,则f(2)=32-1=8,‎ 因此f(-2)=-f(2)=-8.‎ 答案 (1)D (2)-8‎ 考点二 函数的周期性及其应用 ‎【例2】 (1)(2018·延安月考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0时,f =f .则f(6)=( )‎ A.-2 B.-1 C.0 D.2‎ 解析 当x>时,由f(x+)=f(x-),‎ 得f(x)=f(x+1),∴f(6)=f(1),‎ 又由题意知f(1)=-f(-1),且f(-1)=(-1)3-1=-2.‎ 因此f(6)=-f(-1)=2.‎ 答案 D 考点三 函数性质的综合运用(多维探究)‎ 命题角度1 函数单调性与奇偶性 ‎【例3-1】 (1)(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )‎ A.alog25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),‎ ‎∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.‎ 法二 (特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又3>log25.1>20.8,‎ 从而可得c>a>b.‎ ‎(2)由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)>f(2x-1)即为f(|x|)>f(|2x-1|).‎ 当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,两边平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1.‎ 答案 (1)C (2) 命题角度2 函数的奇偶性与周期性 ‎【例3-2】 (1)(2017·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为( )‎ A.(-1,4) B.(-2,0)‎ C.(-1,0) D.(-1,2)‎ ‎(2)(2018·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f +f =________.‎ 解析 (1)∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,‎ ‎∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),‎ ‎∵f(1)<1,f(5)=,∴<1,即<0,‎ 解得-1f(3) B.f(2)>f(5)‎ C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)‎ 解析 (1)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,‎ 所以f =f 且f(-1)=f(1),‎ 故f =f ,‎ 从而=-a+1,即3a+2b=-2.①‎ 由f(-1)=f(1),得-a+1=,即b=-2a.②‎ 由①②得a=2,b=-4,从而a+3b=-10.‎ ‎(2)∵y=f(x+4)为偶函数,∴f(-x+4)=f(x+4),‎ 因此y=f(x)的图像关于直线x=4对称,‎ ‎∴f(2)=f(6),f(3)=f(5).‎ 又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,‎ ‎∴f(5)>f(6),所以f(3)>f(6).‎ 答案 (1)-10 (2)D 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.(2018·九江调研)在函数y=xcos x,y=ex+x2,y=lg,y=xsin x中,偶函数的个数是( )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ 解析 y=xcos x为奇函数,y=ex+x2为非奇非偶函数,y=lg与y=xsin x为偶函数.‎ 答案 B ‎2.(2018·商丘模拟)已知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),则f(x)是( )‎ A.奇函数,且在(0,e)上是增函数 B.奇函数,且在(0,e)上是减函数 C.偶函数,且在(0,e)上是增函数 D.偶函数,且在(0,e)上是减函数 解析 f(x)的定义域为(-e,e),且f(x)=ln(e2-x2).‎ 又t=e2-x2是偶函数,且在(0,e)上是减函数,‎ ‎∴f(x)是偶函数,且在(0,e)上是减函数.‎ 答案 D ‎3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于( )‎ A.-2 B.2 C.-98 D.98‎ 解析 由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,‎ f(2 019)=f(504×4+3)=f(3),‎ 又f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1),‎ 由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,‎ ‎∴f(2 019)=2.‎ 答案 B ‎4.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g[f(-8)]=( )‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ 解析 由题意,得f(-8)=-f(8)=-log3(8+1)=-2,∴g[f(-8)]=g(-2)=‎ f(-2)=-f(2)=-log3(2+1)=-1.‎ 答案 B ‎5.(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f ,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为( )‎ A.alog24.1>log24=2>20.8,‎ ‎∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),∴a>b>c.‎ 答案 C 二、填空题 ‎6.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=________.‎ 解析 ∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,且f(x)在R上为奇函数,‎ ‎∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.‎ 答案 12‎ ‎7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.‎ 解析 由于f(-x)=f(x),‎ ‎∴ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,‎ 化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0,‎ ‎∴a=-.‎ 答案 - ‎8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)+f ≤2f(1),那么t的取值范围是________.‎ 解析 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,‎ 所以f(ln t)=f ,‎ 由f(ln t)+f ≤2f(1),‎ 得f(ln t)≤f(1).‎ 又函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,‎ 所以|ln t|≤1,即-1≤ln t≤1,故≤t≤e.‎ 答案 三、解答题 ‎9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f =-f 成立.‎ ‎(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;‎ ‎(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.‎ ‎(1)证明 由f =-f ,‎ 且f(-x)=-f(x),‎ 得f(x+3)=-f(-x)=f(x),‎ 因此函数y=f(x)是以3为周期的函数.‎ ‎(2)解 由f(x)是定义在R上的奇函数,知f(0)=0,‎ ‎∴f(3)=f(0)=0.‎ 又f(2)=f(-1)=-f(1)=-2,‎ 故f(2)+f(3)=-2+0=-2.‎ ‎10.已知函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)设x<0,则-x>0,‎ 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.‎ 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).‎ 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,‎ 所以m=2.‎ ‎(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,‎ 结合f(x)的图像知所以10的a的取值范围是( )‎ A.(0,2) B.(1,) C.(1,2) D.(0,)‎ 解析 易知f(x)=x3+sin x,x∈(-1,1)是奇函数,‎ 又f′(x)=3x2+cos x>0,‎ ‎∴y=f(x)在区间(-1,1)上是增函数,‎ 由f(a2-1)+f(a-1)>0,得f(a2-1)>f(1-a).‎ ‎∴解得1
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