【数学】2020届一轮复习苏教版立体几何中的计算作业

【数学】2020届一轮复习苏教版立体几何中的计算作业

‎(六) 立体几何中的计算 A组——抓牢中档小题 ‎1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ________.‎ 解析：由题意，得圆锥的母线长l＝＝，所以S圆锥侧＝πrl＝π×1×＝π.‎ 答案：π ‎2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为________cm3.‎ 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其体积V＝×22×6×6＝36cm3.‎ 答案：36 ‎3．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB＝AC＝BC＝2，则球O的表面积为________．‎ 解析：设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，因为AB＝AC＝BC＝2，所以△ABC为正三角形，其外接圆的半径r＝＝2，因为OO1⊥平面ABC，所以OA2＝OO＋r2，即R2＝2＋22，解得R2＝16，所以球O的表面积为4πR2＝64π.‎ 答案：64π ‎4. 已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为________cm.‎ 解析：球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为＝4，所以球心到盒底的距离为4＋6＝10(cm)．‎ 答案：10‎ ‎5．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为________．‎ 解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则由··l2＝3π，得l＝3，又由·l＝2πr，得r＝1，从而有h＝＝2，所以V＝·πr2·h＝π.‎ 答案：π ‎6. 一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3.‎ 解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面高为5 cm，则正四棱锥的高为 ＝4 cm，所以所求容积V＝×62×4＝48 cm3.‎ 答案：48‎ ‎7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．‎ 解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.‎ 设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，‎ 所以这个球的体积为πR3＝×＝.‎ 答案： ‎8．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．‎ 解析：由题意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝πr3，S2＝πr2，由＝，即＝，得a＝r，从而＝＝＝.‎ 答案： ‎9．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．‎ 解析：设B，C，D三点重合于点P，得到如图所示的四面体PAEF.因为AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以V四面体PAEF＝V四面体APEF＝·S△PEF·AP＝××1×1×2＝.‎ 答案： ‎10．(2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．‎ 解析：设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1＝πrh1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r，体积为V＝πr2h＝8.依题意有＝，V1＝1，＝＝3＝，得h1＝h＝3，所以圆台的高为h－h1＝3.‎ 答案：3‎ ‎11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．‎ 解析：连结A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．‎ 因为A1C1＝6，A1B＝2，BC1＝2，所以A1C＋BC＝A1B2，所以∠A1C1B＝90°.‎ 又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝36＋2－2×6××＝50，所以A1C＝5，即CP＋PA1的最小值是5.‎ 答案：5 ‎12．(2018·苏中三市、苏北四市三调)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2，则的值为________．‎ 解析：设正四棱柱的高为a，所以底面边长为8a，根据体积相等，且底面积相等，所以正四棱锥的高为3a，则正四棱锥侧面的高为＝5a，所以＝＝.‎ 答案： ‎13．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．‎ 解析：如图，设底面半径为r，由题意可得：母线长为r.又侧面展开图面积为×r×2πr＝4π，所以r＝2.又截面三角形ABD为等边三角形，故BD＝‎ AB＝r，又OB＝OD＝r，故△BOD为等腰直角三角形．设圆锥底面中心到截面的距离为d，又VOABD＝VABOD，所以d×S△ABD＝AO×S△OBD.又S△ABD＝AB2＝×8＝2，S△OBD＝2，AO＝r＝2，故d＝＝.‎ 答案： ‎14. 底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________cm3.‎ 解析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4为正四面体，棱O1O2到棱O3O4的距离为，所以注水高为1＋.故应注水体积为π－4×π×3＝π.‎ 答案：π B组——力争难度小题 ‎1.(2018·天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为________．‎ 解析：如图，连结AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝‎ AC，因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥MEFGH的体积为×2×＝.‎ 答案： ‎2.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°‎ 榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．‎ 解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝＝，得4R2＝30.从而S球面＝4πR2＝30π.‎ 答案：30π ‎3．已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的体积为________．‎ 解析：由条件知，表面展开图如图所示，由正弦定理得大正三角形的边长为a＝2×2sin 60°＝6，从而三棱锥的所有棱长均为3，底面三角形ABC的高为，故三棱锥的高为＝2，所求体积为V＝×(3)2×2＝9.‎ 答案：9‎ ‎4．(2018·渭南二模)体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________．‎ 解析：设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.设底面边长为a，则×a＝1，所以a＝2.所以V＝×2×3×2＝6.‎ 答案：6 ‎5.如图所示，在直三棱柱中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2，若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．‎ 解析：用过AB，AC的中点且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边长为2的正方体，其表面积为24；‎ 用过AB，BC的中点且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4,1,2的长方体，其表面积为28；‎ 用过AA1，BB1，CC1的中点且平行于平面ABC的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4,2,1的长方体，其表面积为28，‎ 因此所求的长方体表面积的最小值为24.‎ 答案：24‎ ‎6.如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，‎ D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．‎ 解析：四边形AEFG在前、后面的正投影如图①，当E与A1重合，F与B1重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；‎ 四边形AEFG在左、右面的正投影如图②，当E与A1重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；‎ 四边形AEFG在上、下面的正投影如图③，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述，所求面积的最大值为12.‎ 答案：12‎