【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-7正弦定理与余弦定理作业

【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-7正弦定理与余弦定理作业

‎[基础达标]‎ ‎1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选B.由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.‎ ‎2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcos C＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝(　　)‎ A．2∶3 B．4∶3‎ C．3∶1 D．3∶2‎ 解析：选C.由正弦定理得3sin Bcos C＝sin C－3sin Ccos B，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，选C.‎ ‎3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)‎ A．6 B．3‎ C．2 D．2或3‎ 解析：选D.因为S△ABC＝2＝bcsin A，‎ 所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.‎ ‎4．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b2＝ac，则的值为(　　)‎ A． B． C．2 D．4‎ 解析：选C.在△ABC中，由bsin A－acos B＝0，‎ 利用正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0，‎ 所以tan B＝，故B＝.‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，‎ 即b2＝(a＋c)2－3ac，‎ 又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.‎ ‎5．(2019·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时(　　)‎ A．λ先变小再变大 B．当M为线段BC中点时，λ最大 C．λ先变大再变小 D．λ是一个定值 解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1，r2，则2r1＝，2r2＝，‎ 因为∠APB＋∠APC＝180°，‎ 所以sin∠APB＝sin∠APC，‎ 所以＝，‎ 所以λ＝＝.故选D.‎ ‎6．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)‎ A． B． C． D．3 解析：选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ 因为·＝|－|＝3，‎ 所以bccos A＝a＝3.‎ 又cos A＝≥1－＝1－，‎ 所以cos A≥，所以00，则cos B＝，故a＝5.‎ ‎(2)由(1)知，sin B＝，‎ 由S＝acsin B＝9，得c＝6.‎ 由b2＝a2＋c2－2accos B＝13，得b＝.‎ 故△ABC的周长为11＋.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，‎ 由cos C＝＝＝≥，‎ 当且仅当c＝时取等号，‎ 且此时sin C＝，‎ 所以当C取最大值时，‎ ‎△ABC的面积为absin C＝×2c×1×＝.‎ ‎2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．2 D．2 解析：选B.由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.‎ ‎3．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．‎ 解析：由2asin B＝b及正弦定理得 ‎2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.‎ 因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.‎ 因为AD是内角平分线，‎ 所以＝＝＝.‎ 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，‎ 所以BC＝，BD＝.‎ 答案： ‎4．(2019·金华十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则的值为____________．‎ 解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.‎ 由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c为△ABC中角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.‎ 所以S1＝absin C＝···c2·sin C ‎＝sin A·sin B·sin C·，‎ S2＝πR2＝·，‎ 所以＝＝＝.‎ 答案： ‎5．(2019·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，‎ b，c，已知c＝2，C＝.‎ ‎(1)当2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C时，求△ABC的面积；‎ ‎(2)求△ABC周长的最大值．‎ 解：(1)由2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C得4sin Acos A－sin(B－A)＝sin(A＋B)，‎ 得2sin Acos A＝sin Bcos A，当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，‎ 当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，联立，解得a＝，b＝.‎ 故△ABC的面积为S△ABC＝absin C＝.‎ ‎(2)由余弦定理及已知条件可得：a2＋b2－ab＝4，‎ 由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取到．‎ ‎6．(2019·杭州市高考模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若msin A＝sin B＋sin C(m∈R)．‎ ‎(1)当m＝3时，求cos A的最小值；‎ ‎(2)当A＝时，求m的取值范围．‎ 解：(1)因为在△ABC中msin A＝sin B＋sin C，‎ 当m＝3时， 3sin A＝sin B＋sin C，‎ 由正弦定理可得3a＝b＋c，‎ 再由余弦定理可得cos A＝ ‎＝ ‎＝≥＝，‎ 当且仅当b＝c时取等号，‎ 故cos A的最小值为.‎ ‎(2)当A＝时，可得m＝sin B＋sin C，‎ 故m＝sin B＋sin C ‎＝sin B＋sin ‎＝sin B＋ ‎＝sin B＋cos B＋sin B ‎＝sin B＋cos B＝2sin，‎ 因为B∈，‎ 所以B＋∈，‎ 所以sin∈，‎ 所以2sin∈(1，2]，‎ 所以m的取值范围为(1，2]．‎