【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第5讲椭圆作业
对应学生用书[练案58理][练案54文]
第五讲 椭圆
A组基础巩固
一、选择题
1．(2019·上海浦东新区模拟)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( D )
A．k>4 B．k＝4
C．k<4 D．0
b>0)，则a2－b2＝c2＝5，且＋＝1，解方程组得a2＝15，b2＝10，故所球椭圆方程为＋＝1.
3．(2019·东北三校联考)若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝( D )
A． B．
C．或 D．或
[解析] 若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.
4．(2019·河南中原名校模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是( B )
A． B．12
C．16(2＋) D．16(2－)
[解析] ∵椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×(2×3)×4＝12，故选B．
5．(2019·惠州二模)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D．
6．(2019·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( A )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A．
7．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F作x轴的垂线，交C于点P，若·＝2，cos∠OPF＝，则椭圆C的方程为( B )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
[解析] 将x＝c代入椭圆C的方程得＋＝1，得y＝±，所以P(c，±)，由·＝2得c2
＝2，即a2－b2＝2.由cos∠OPF＝得sin∠OPF＝＝，则tan∠OPF＝＝，所以c＝×＝，即a＝b2，所以a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1(舍去)，所以b2＝2，故椭圆C的方程为＋＝1，选B．
8．(2019·广西桂林期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( C )
A．2 B．3
C．6 D．8
[解析] 设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又因为点F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.
二、填空题
9．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是 ＋＝1 .
[解析] 设椭圆C的方程为＋(a>b>0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为 ＋＝1 .
[解析] 由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
11．(2019·包头模拟)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__12___.
[解析] 根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1、F2为椭圆C的焦点，连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.
12．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆C的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率是 －1 .
[解析] ∵直线y＝(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为，
∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，
故|MF1|＝c，|MF2|＝c.
由点M在椭圆上，知c＋c＝2a，
故离心率e＝＝＝－1.
三、解答题
13．(2019·河南濮阳期末)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析] 显然直线x＝0不满足题设条件，
可设直线l：y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，
整理得(k2＋)x2＋4kx＋3＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，
由Δ＝(4k)2－4(k2＋)×3＝4k2－3>0得，
k>或k<－.①
又∠AOB为锐角，∴·>0，
∴·＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
∴＋>0，即k2<4，∴－22，
故点P的轨迹C1是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，C1的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线PQ的方程为x＝my＋，
代入＋y2＝1消去x，
整理得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
△POQ的面积S＝|OA||y1－y2|
＝2·.
令t＝(0b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 设F1是椭圆E的右焦点，如图，连接PF1，QF1.根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos60°，得＝，所以椭圆E的离心率e＝＝.故选C．
3．(2019·云南曲靖联考)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是( C )
A．(，1) B．(0，)
C．(0，) D．(，1)
[解析] 设B1(0，－b)，B2(0，b)，F2(c,0)，A2(a,0)，则＝(a，－b)，＝(－c，－b
)．因为∠B1PB2为钝角，所以与的夹角为锐角，所以·＝－ac＋b2>0，即a2－c2－ac>0.两边同时除以a2并化简得e2＋e－1<0，解得b>0)的左顶点为M，上顶点为N，直线2x＋y－6＝0与直线MN垂直，垂足为B点，且点N是线段MB的中点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于E，F两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值．
[解析] (1)由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，
直线MN的斜率k＝＝，得a＝2b.
∵点N是线段MB的中点，
∴点B的坐标为B(a,2b)，
∵点B在直线2x＋y－6＝0上，
∴2a＋2b＝6，又a＝2b，
∴b＝，a＝2，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，G(x0，y0)，
将y＝kx＋m代入＋＝1，
消去y整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
∵四边形OEGF为平行四边形，
∴＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，得G(－，)，
将G点坐标代入椭圆C的方程得m2＝(1＋4k2)，
又易得点O到直线EF的距离d＝，EF＝|x1－x2|，
∴平行四边形OEGF的面积S＝d·|EF|＝|m||x1－x2|＝|m|·＝4×＝4×＝4·＝3.
故平行四边形OEGF的面积S为定值3.
