【数学】2019届一轮复习北师大版不等式学案

【数学】2019届一轮复习北师大版不等式学案

第七章 不等式 利用线性规划求目标函数的最值 ‎【背一背重点知识】 ‎ ‎1．平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出 ，结合图形通过计算解决．‎ ‎2．线性规划问题解题步骤 ‎ ‎①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；‎ ‎②平移——将直线l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；‎ ‎③求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，求出目标函数的最值．‎ ‎3．最优解的确定方法 ‎ 线性目标函数 ＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 （1）线性目标函数中的 不是直线在y轴上的截距，把目标函数化为可知是直线在y轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．‎ ‎（2）数形结合思想要牢记，作图—定要准确，整点问题要验证解决．‎ ‎（3）求解线性规划中含参问题的基本方法 ‎ 线性规划中的含参问题主要有两类 一是在条件不等式组中含有参数；二是在目标函数中含有参数．解决此类问题的基本方法有两种 一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，然后通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018山东淄博高三3月模拟】已知点，点的坐标满足条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出平面区域如图所示 ‎ ‎ ‎ 由图可知最小值为点到直线的距离，为．故选B．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为 一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有 （1）截距型 形如．求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式 ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型 形如 ；（3）斜率型 形如．‎ 例2．【2018山西太原高三3月模拟（一）】已知不等式在平面区域上恒成立，若的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）‎ A．4 B．2 C．-4 D．-2‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，；当时，‎ 因此选C．‎ 例3．【2018湖南（长郡中 、株洲市第二中 ）、江西（九江一中）等十四校高三第一次联考】已知，满足约束条件，则的最大值是最小值的倍，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型 （1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值， 确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018湖北武汉高中毕业生二月调研】已知，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．-3 C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】可行域如图所示 ‎ 当动直线过时，有最大值，由得，故．‎ ‎2．【2018江西南昌高三一模】设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围为( ) = ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎3．【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】若满足约束条件则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出如图可行域 设 =x+y，则y=-x+ 表示斜率为-1的一组平行线，显然如图当目标函数过A时取得最大值1，无最小值，所以的取值范围为．‎ 基本不等式 ‎【背一背重点知识】‎ 已知，则 ‎(1)如果积是定值p，那么当且仅当时，有最小值是 (简记 积定和最小)．‎ ‎(2)如果和是定值p，那么当且仅当时，有最大值是 (简记 和定积最大)．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 （1）‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键．‎ ‎（2）．对于公式要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．‎ ‎（3）．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”．若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎2．典型例题 ！ ‎ 例1．【2018黑龙江哈尔滨三中高三一模】函数（且 ）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ 例2．【2018广东江门上 期调研】一种设备的单价为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数）．用表示设备使用的年数，记设备年平均费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数．‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求这种设备的最佳更新年限．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）15年 ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(Ⅰ)由题意可知设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，结合等差数列前n项和公式可得 ‎(Ⅱ)由题意结合均值不等式的结论有，则，当且仅当时，年平均消耗费用取得最小值，即设备的最佳更新年限是15年．‎ ‎【名师点睛】(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．‎ ‎(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【广东省惠州市2017届第二次调研考试数 （理）试题】若直线（，）经过圆的圆心，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析 圆心坐标为．‎ ‎2．【2018福建厦门外国语 校高三适应性考试】在公差不为0的等差数列中，，记的最小值为m；若数列满足，，‎ 是1与的等比中项，若对于任意恒成立，则的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等差数列性质可知，因为p，q只有有限几组数值取，要使的值最小只需p小点，q大点，所以，=，当，‎ ‎=，当，，=，所以最小值m=．=，则 ‎ =化简得，因为，所以，即 ‎，归纳可得通项公式，．填，‎ ‎【点睛】‎ 本题易错用均值不等式，=（）=但是等号取不到．‎ ‎3．【2018江苏兴化楚水实验 校、黄桥中 、口岸中 三校高三12月联考】已知函数，若整数a，b满足，则的最小值为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数在上单调递增，且为奇函数，又即所以 ，‎ 又 =‎ ‎ ‎ 又 当时取等号．故答案为．‎ ‎【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ 不等式恒成立问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．一元二次方程根的判别式；‎ ‎2．导数的计算公式及求导法则．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 ‎ 恒成立问题的解法 ‎ ‎(1)用一元二次方程根的判别式法．有关含有参数的一元二次不等式的恒成立问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．‎ ‎(2)分离参数求最值法．如果能够将参数分离出 ，建立起明确的参数和变量的关系，则可以利用函数的单调性求解．恒成立，即大于时大于函数值域的上界．恒成立，即小于时小于函数值域的下界．‎ ‎2．典型例题 ！ ‎ 例1．【2018湖北武汉高中毕业生二月调研】已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，在点或点处取得最小值，即．‎ 题中的不等式即 ，则 恒成立，‎ 原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有 ‎ ‎，令，则，‎ 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且，据此可得，当时，函数取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为 ．综上可得，实数的最大值为．本题选择A选项．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件 一正二定三相等．①一正 关系式中，各项均为正数；②二定 关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等 含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．‎ 例2．【2018浙江名校协作体高三上 期期末考试】已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，f(x)=2x+1，f[f(x)]=4x+3不满足大于等于0恒成立，不符．‎ 当时，，令所以一定有负值，不满足大于等于0恒成立不符．‎ 当时，，令所以对称轴为，所以f(t)在单调递增，即即可，解得，填 ‎【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）高三第三次模拟】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】 (或)‎ ‎【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设，‎ 当时，即 时， 对 恒成立；当时，‎ ‎，不合题意；当时， 符合题意；当 时，，即，即 ‎ 综上所述 实数的取值范围是．‎ ‎2．【2018浙江部分市 校（新昌中 、台州中 等）上 期高三联考】当时，不等式恒成立，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】6‎ （一） 选择题（12 5=60分）‎ ‎1．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中 ，惠州一中）高三下 期第三次联考】若变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．‎ 由得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时 取得最大值，由题意得点A的坐标为（3，0），∴．当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时 取得最小值，由，解得，故点B的坐标为，∴．综上可得，故的取值范围是．选D．‎ ‎2．【2018安徽芜湖高三一模】已知实数满足条件，令，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作可行域如图，，则，选A．‎ ‎3．【2018江西省抚州市高三八校联考】已知直线与两坐标轴围成的区域为 ‎，不等式组所形成的区域为，现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4．【2018甘肃省兰州市2018届高三一诊】设 实数，满足 ； 实数，满足，则是的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 画出表示的区域，如图所示的， 表示的区域是，‎ 为等腰直角三角形，表示的区域是以为圆心，以为半径的圆，而其内切球半径为，圆心，满足 的点在内切圆内，是的必要不充分条件，故选B．‎ ‎5．【2018江西上饶高三一模】已知为不等式组所确定平面区域上的动点，若点，，则的最大值为( )‎ A．1 B．2 C．10 D．11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数=2x+y即y=-2x+ 是斜率为-2的平行直线系，由图可知当直线经过点A(4，3)时纵截距 最大，代入可得，故选D．‎ ‎6．【2018辽宁省朝阳市普通高中高三一模】在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设M为BC中点，则，所以 当且仅当时取等号，所以选A．‎ ‎7．【2018河南省平顶山第一 期期末调研】若，，，则 的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 根据题意，，当时等号成立，‎ ‎ 则由，‎ 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故选B．‎ ‎8．【2018安徽芜湖高三一模】已知直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的渐近线为，所以不妨设，因为，所以，即，所以，选C．‎ ‎9．【2018衡水金卷（二）】已知恒成立，若为真命题，则实数的最小值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】化为，即有，又时，的最小值为2，故由存在性的意义知．故实数的最小值为2．‎ 故选 A ‎10．【2018安徽淮南高三一模】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图 三点共线，‎ ‎ ∵是的重心，‎ ‎ ‎ ‎ 解得， 结合图象可知 ‎ 令 ‎ 故 ‎ 故 ‎ 当且仅当等号成立 故选D ‎11．【2018湖南株洲高三教 质量统一检测（一）】已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立直角坐标系如下 ‎ ‎ ‎ 点M在侧棱上，设M，点N在上，设，点在上，设，则 因为为直角三角形，所以，斜边 ‎ ‎，当时取等号．故答案为．故选C．‎ ‎12．【2018重庆酉阳一中高三上 期期末考试】已知函数（是自然对数的底数）．若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由f（m）=2ln﹣f（n）得 f（m）+f（n）=1⇒ f（mn）=1﹣ =1﹣，‎ 又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+ ≥4+4=8，‎ ‎∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，故选 C．‎ ‎（二）填空题（4 5=20分）‎ ‎13．【2018河北石家庄高三教 质量检测（二）】设变量满足约束条件，则 的最大值为_____________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为．‎ ‎14．【2018江西省抚州市高三八校联考】已知实数满足约束条件若目标函数仅在点取得最小值则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，‎ ‎ 若，则目标函数，即为此时函数在时取得最大值，不满足条件，‎ ‎ 当，由，得，‎ ‎ 若，目标函数斜率，此时平移，得在点 处的截距最大，此时取得最大值，不满足条件，‎ 若，目标函数斜率，‎ 要使得目标函数仅在点处取得最小值，则，即，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎15．【2018河南豫南九校高三下 期第一次联考】已知直线过圆的圆心，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎16．【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考数 调研】已知，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，‎ 则原式 ‎ ‎ ，以上两个等号当且仅当且，即时同时成立．所以所求的最小值为6．答案 6‎