【数学】2018届一轮复习苏教版I2-6对数与对数函数教案（江苏专用）
2.6 对数与对数函数
1.对数的概念
一般地，如果a (a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，N叫做真数.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R).
(2)对数的性质
①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1).
(3)对数的换底公式
logaN＝(其中a>0，a≠1；N>0，c>0，c≠1).
3.对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0
当01时，y<0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称.
【知识拓展】
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab.
其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故00，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)logax·logay＝loga(x＋y).( × )
(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数.( × )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × )
(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( √ )
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限.( √ )
1.(教材改编)的值为________.
答案
解析 原式＝＝＝＝.
2.(2016·常州期末)函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为____________.
答案 (－∞，]
解析 由题意可得－x2＋2>0，
即－x2＋2∈(0，2]，
故所求函数的值域为(－∞，].
3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0,0b>0，∴logca0，得0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________.
答案 ∪(1，＋∞)
解析 当01时，loga1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).
题型一 对数的运算
例1 计算下列各式：
(1)lg 25＋lg 2＋lg ＋lg(0.01)－1；
(2)2log32－log3＋log38－3log55.
解 (1)原式＝lg
＝lg(5×2××102)
＝lg ＝.
(2)原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3
＝log3(22×32×2－5×23)－3
＝log332－3
＝2－3＝－1.
思维升华 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
(1)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝________.
答案 (1) (2)1
解析 (1)∵a＝log43＝3＝log23＝log2，
∴2a＋2－a＝
＝＋
＝＋＝.
(2)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋
＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2
＝lg 2＋1－lg 2＝1.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是________.
①a>1，c>1; ②a>1,01; ④01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1).
思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
(1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是________.
(2)已知f(x)＝|lg x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是__________.
答案 (1)② (2)f(c)>f(a)>f(b)
解析 (1)由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.①中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；②中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；④中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.
(2)先作出函数y＝lg x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|lg x|的图象，如图.
由图可知，f(x)＝|lg x|在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f()＞f(a)＞f(b)，而f()＝|lg |＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c).所以f(c)＞f(a)＞f(b).
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例3 (2015·天津改编)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________.
答案 c＜a＜b
解析 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝－1＝2，
b＝f(log25)＝－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c1的解集为________.
答案 (1)(0，)∪(1，＋∞) (2)(－1，)
解析 (1)当a>1时，函数y＝logax在定义域内为增函数，所以loga1可转化为3x＋1>1⇒x＋1>0⇒x>－1，∴－10，则不等式f(x)>1可转化为x>1⇒x<，
∴01的解集是(－1，).
命题点3 和对数函数有关的复合函数
例5 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3).
由－x2＋2x＋3>0，得－11时，1－log2x≤2，
解得x≥，所以x>1.
综上可知x≥0.
(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，
则有即
解得1≤a<2，即a∈[1,2).
3.比较指数式、对数式的大小
考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
典例 (1)(2016·全国乙卷改编)若a>b>0,0cb.
(2)(2016·南京模拟)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则a，b，c的大小关系为______________.
(3)若实数a，b，c满足loga2b>0，所以lg a>lg b，
但不能确定lg a、lg b的正负，
所以它们的大小不能确定，所以①错；
对②：logca＝，logcb＝，
而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以②正确；
对③：由y＝xc在第一象限内是增函数，
即可得到ac>bc，所以③错；
对④：由y＝cx在R上为减函数，
得ca20＝1,0＝logπ1b>c.
(3)由loga2b>c (3)①
1.(教材改编)给出下列4个等式：
①log253＝3log25；②log253＝5log23；③log84＝；④＝4.其中正确的等式是________.(写出所有正确的序号)
答案 ①③④
解析 ②中＝log23，故②不正确，①③④都正确.
2.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系为__________.
答案 c2.
∵c＝0.83.1，
∴00，a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为____________.
答案 (0，＋∞)
解析 令M＝x2＋x，当x∈(，＋∞)时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝(x＋)2－，
因此M的单调递增区间为(－，＋∞).
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
7.(2015·安徽)lg＋2lg 2－－1＝________.
答案 －1
解析 lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2
＝lg －2＝1－2＝－1.
8.(2016·浙江)已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
答案 4 2
解析 令logab＝t，∵a>b>1，∴00，则实数a的取值范围是________.
答案 (，1)
解析 当00，即0<－a<1，
解得1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，
所以loga(1－a)>0，即1－a>1，
解得a<0，此时无解.
综上所述，实数a的取值范围是(，1).
10.(2016·南通模拟)关于函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值为lg 2；
④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数.
其中是真命题的序号为________.
答案 ①③④
解析 ∵函数f(x)＝lg (x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；
当x>0时，f(x)＝lg ＝lg ＝lg(x＋)，
令t(x)＝x＋，x>0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，即在x＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.
11.(2016·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是____________.
答案 (－2,0)∪(2，＋∞)
解析 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1, f(x)<0，即log2(－x)－1<0，解得－20时，f(x)＝1－log2x，f(x)<0，即1－log2x<0，解得x>2，综上，不等式f(x)<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞).
12.(2016·江苏运河中学一诊)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________.
答案 7
解析 由f(m)＋f(2n)＝3，得
log2[(m－2)(2n－2)]＝3⇒(m－2)(2n－2)＝23，
即(m－2)(n－1)＝4，由已知得m>2，n>1，
由基本不等式得()2≥4(当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3时等号成立)，从而m＋n≥7.故m＋n的最小值是7.
13.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.
14.(2016·盐城模拟)已知函数f(x)＝ln .
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln >ln 恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由>0，
解得x<－1或x>1，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln ＝ln
＝ln()－1
＝－ln ＝－f(x)，
∴f(x)＝ln 是奇函数.
(2)由于x∈[2,6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，
∴>>0，
∵x∈[2,6]，
∴0
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