【数学】2018届一轮复习苏教版I2-6对数与对数函数教案(江苏专用)

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2018届一轮复习苏教版I2-6对数与对数函数教案(江苏专用)

‎2.6 对数与对数函数 ‎1.对数的概念 一般地,如果a (a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,N叫做真数.‎ ‎2.对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 ‎①loga(MN)=logaM+logaN;‎ ‎②loga=logaM-logaN;‎ ‎③logaMn=nlogaM (n∈R).‎ ‎(2)对数的性质 ‎①=__N__;②logaaN=__N__(a>0且a≠1).‎ ‎(3)对数的换底公式 logaN=(其中a>0,a≠1;N>0,c>0,c≠1).‎ ‎3.对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时,y>0‎ 当01时,y<0‎ 当00‎ 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线__y=x__对称.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab=;‎ ‎(2)logambn=logab.‎ 其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R.‎ ‎2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故00,则loga(MN)=logaM+logaN.( × )‎ ‎(2)logax·logay=loga(x+y).( × )‎ ‎(3)函数y=log2x及y=3x都是对数函数.( × )‎ ‎(4)对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × )‎ ‎(5)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( √ )‎ ‎(6)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.( √ )‎ ‎1.(教材改编)的值为________.‎ 答案  解析 原式====.‎ ‎2.(2016·常州期末)函数f(x)=log2(-x2+2)的值域为____________.‎ 答案 (-∞,]‎ 解析 由题意可得-x2+2>0,‎ 即-x2+2∈(0,2],‎ 故所求函数的值域为(-∞,].‎ ‎3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0,0b>0,∴logca0,得0且a≠1),则实数a的取值范围是____________.‎ 答案 ∪(1,+∞)‎ 解析 当01时,loga1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).‎ 题型一 对数的运算 例1 计算下列各式:‎ ‎(1)lg 25+lg 2+lg +lg(0.01)-1;‎ ‎(2)2log32-log3+log38-3log55.‎ 解 (1)原式=lg ‎=lg(5×2××102)‎ ‎=lg =.‎ ‎(2)原式=log322+log3(32×2-5)+log323-3‎ ‎=log3(22×32×2-5×23)-3‎ ‎=log332-3‎ ‎=2-3=-1.‎ 思维升华 对数运算的一般思路 ‎(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.‎ ‎(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.‎ ‎ (1)若a=log43,则2a+2-a=________.‎ ‎(2)2(lg)2+lg ·lg 5+=________.‎ 答案 (1) (2)1‎ 解析 (1)∵a=log43=3=log23=log2,‎ ‎∴2a+2-a=‎ ‎=+‎ ‎=+=.‎ ‎(2)原式=2×(lg 2)2+lg 2×lg 5+ ‎=lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2‎ ‎=lg 2+1-lg 2=1.‎ 题型二 对数函数的图象及应用 例2 (1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是________.‎ ‎①a>1,c>1; ②a>1,01; ④01时不满足条件,当0,所以a的取值范围为(,1).‎ 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.‎ ‎(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.‎ ‎ (1)若函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是________.‎ ‎(2)已知f(x)=|lg x|,若>a>b>1,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是__________.‎ 答案 (1)② (2)f(c)>f(a)>f(b)‎ 解析 (1)由题意y=logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点,可解得a=3.①中,y=3-x=()x,显然图象错误;②中,y=x3,由幂函数图象性质可知正确;③中,y=(-x)3=-x3,显然与所画图象不符;④中,y=log3(-x)的图象与y=log3x的图象关于y轴对称,显然不符.‎ ‎(2)先作出函数y=lg x的图象,再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,这样,我们便得到了y=|lg x|的图象,如图. ‎ 由图可知,f(x)=|lg x|在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,于是f()>f(a)>f(b),而f()=|lg |=|-lg c|=|lg c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b).‎ 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小 例3 (2015·天津改编)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为________.‎ 答案 c<a<b 解析 由f(x)=2|x-m|-1是偶函数可知m=0,‎ 所以f(x)=2|x|-1.‎ 所以a=f(log0.53)=-1=2,‎ b=f(log25)=-1=2log25-1=4,‎ c=f(0)=2|0|-1=0,所以c1的解集为________.‎ 答案 (1)(0,)∪(1,+∞) (2)(-1,)‎ 解析 (1)当a>1时,函数y=logax在定义域内为增函数,所以loga1可转化为3x+1>1⇒x+1>0⇒x>-1,∴-10,则不等式f(x)>1可转化为x>1⇒x<,‎ ‎∴01的解集是(-1,).‎ 命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).‎ ‎(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,‎ 因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).‎ 由-x2+2x+3>0,得-11时,1-log2x≤2,‎ 解得x≥,所以x>1.‎ 综上可知x≥0.‎ ‎(2)令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上递减,‎ 则有即 解得1≤a<2,即a∈[1,2).‎ ‎3.比较指数式、对数式的大小 考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一:(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.‎ 典例 (1)(2016·全国乙卷改编)若a>b>0,0cb.‎ ‎(2)(2016·南京模拟)若a=20.3,b=logπ3,c=log4cos 100,则a,b,c的大小关系为______________.‎ ‎(3)若实数a,b,c满足loga2b>0,所以lg a>lg b,‎ 但不能确定lg a、lg b的正负,‎ 所以它们的大小不能确定,所以①错;‎ 对②:logca=,logcb=,‎ 而lg a>lg b,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以②正确;‎ 对③:由y=xc在第一象限内是增函数,‎ 即可得到ac>bc,所以③错;‎ 对④:由y=cx在R上为减函数,‎ 得ca20=1,0=logπ1b>c.‎ ‎(3)由loga2b>c (3)①‎ ‎1.(教材改编)给出下列4个等式:‎ ‎①log253=3log25;②log253=5log23;③log84=;④=4.其中正确的等式是________.(写出所有正确的序号)‎ 答案 ①③④‎ 解析 ②中=log23,故②不正确,①③④都正确.‎ ‎2.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则a,b,c的大小关系为__________.‎ 答案 c2.‎ ‎∵c=0.83.1,‎ ‎∴00,a≠1)在区间(, +∞)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为____________.‎ 答案 (0,+∞)‎ 解析 令M=x2+x,当x∈(,+∞)时,M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函数y=logaM为增函数,又M=(x+)2-,‎ 因此M的单调递增区间为(-,+∞).‎ 又x2+x>0,所以x>0或x<-,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).‎ ‎7.(2015·安徽)lg+2lg 2--1=________.‎ 答案 -1‎ 解析 lg +2lg 2--1=lg +lg 22-2‎ ‎=lg -2=1-2=-1.‎ ‎8.(2016·浙江)已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=________,b=________.‎ 答案 4 2‎ 解析 令logab=t,∵a>b>1,∴00,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (,1)‎ 解析 当00,即0<-a<1,‎ 解得1时,函数f(x)在区间[,]上是增函数,‎ 所以loga(1-a)>0,即1-a>1,‎ 解得a<0,此时无解.‎ 综上所述,实数a的取值范围是(,1).‎ ‎10.(2016·南通模拟)关于函数f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题:‎ ‎①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;‎ ‎②在区间(-∞,0)上,函数y=f(x)是减函数;‎ ‎③函数f(x)的最小值为lg 2;‎ ‎④在区间(1,+∞)上,函数f(x)是增函数.‎ 其中是真命题的序号为________.‎ 答案 ①③④‎ 解析 ∵函数f(x)=lg (x≠0,x∈R),显然f(-x)=f(x),‎ 即函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,故①正确;‎ 当x>0时,f(x)=lg =lg =lg(x+),‎ 令t(x)=x+,x>0,则t′(x)=1-,可知当x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,t(x)单调递增,即在x=1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误,③正确,④正确,故答案为①③④.‎ ‎11.(2016·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-log2x,则不等式f(x)<0的解集是____________.‎ 答案 (-2,0)∪(2,+∞)‎ 解析 当x<0时,f(x)=-f(-x)=log2(-x)-1, f(x)<0,即log2(-x)-1<0,解得-20时,f(x)=1-log2x,f(x)<0,即1-log2x<0,解得x>2,综上,不等式f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).‎ ‎12.(2016·江苏运河中学一诊)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值是________.‎ 答案 7‎ 解析 由f(m)+f(2n)=3,得 log2[(m-2)(2n-2)]=3⇒(m-2)(2n-2)=23,‎ 即(m-2)(n-1)=4,由已知得m>2,n>1,‎ 由基本不等式得()2≥4(当且仅当m-2=n-1=2,即m=4,n=3时等号成立),从而m+n≥7.故m+n的最小值是7.‎ ‎13.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域;‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.‎ 解 (1)∵f(1)=2,‎ ‎∴loga4=2(a>0,a≠1),∴a=2.‎ 由得x∈(-1,3),‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(-1,3).‎ ‎(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)‎ ‎=log2(1+x)(3-x)‎ ‎=log2[-(x-1)2+4],‎ ‎∴当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;‎ 当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,‎ 故函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=log24=2.‎ ‎14.(2016·盐城模拟)已知函数f(x)=ln .‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;‎ ‎(2)对于x∈[2,6],f(x)=ln >ln 恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解 (1)由>0,‎ 解得x<-1或x>1,‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),‎ 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,‎ f(-x)=ln =ln ‎=ln()-1‎ ‎=-ln =-f(x),‎ ‎∴f(x)=ln 是奇函数.‎ ‎(2)由于x∈[2,6]时,f(x)=ln >ln 恒成立,‎ ‎∴>>0,‎ ‎∵x∈[2,6],‎ ‎∴0
查看更多