【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第九章46圆锥曲线的综合问题作业
【课时训练】圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．(2018昆明两区七校调研)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|AF|的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cos θ，|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝.
由≤θ<π，得－1
0，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2,3]
C．(1,3] D．(1,2]
【答案】C
【解析】由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，
得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a.
所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a.
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3.
又e>1，所以10，得m＋2>2，<，－>－，
∴1－>，即e>.
而0b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
【解】(1)由题意，得
解得
因此，所求椭圆C1的方程为＋x2＝1.
(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x＝t＝2t.
直线MN的方程为y＝2tx－t2＋h.
将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，
即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0. ①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0. ②
设线段MN的中点的横坐标是x3，
则x3＝＝.
设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝.
由题意，得x3＝x4，
即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③
由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.
当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，
则不等式②不成立，所以h≥1.
当h＝1时，代入方程③，得t＝－1，
将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．
所以h的最小值为1.
6．(2018安徽亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)与过点M(a,0)(a＞0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB.
(1)确定p与a的数量关系；
(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．
【解】(1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x得y2－2pty－2pa＝0.
∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，
由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，
∴a2－2pa＝0.∵a＞0，∴a＝2p.
(2)由(1)可得|AB|＝|y1－y2|＝2p·.
|AM|·|MB|＝·＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·－a2＝4p2(1＋t2)．
∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，
∴a·2p＝λ·4p2(1＋t2)，
∴λ＝＝.
∵t2≥0，∴λ∈(1,2]．
7．(2018北京西城区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．
【解】(1)由短轴长为2，得b＝，
由e＝＝＝，得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
证明如下：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，
且＋＝1，即x＋2y＝4，
因为A(－2,0)，所以直线PA方程为y＝(x＋2)．
所以M.直线QA方程为y＝(x＋2)，所以N.以MN为直径的圆为
(x－0)(x－0)＋＝0.
即x2＋y2－y＋＝0.
因为x－4＝－2y，所以x2＋y2＋2y－2＝0，
令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±.
所以以MN为直径的圆过定点F(±，0)．
8．(2018安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
(1)【解】因为e＝，所以c＝a，a2＝b2＋2.①
又椭圆过点(，)，所以＋＝1.②
由①②，解得a2＝6，b2＝4，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)【证明】设直线l：y＝kx＋1，联立
得(3k2＋2)x2＋6kx－9＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
易知B(0，－2)，
故kBC·kBD＝·＝·
＝＝k2＋＋
＝k2＋3k·－(3k2＋2)＝－2.
所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．
9．(2018吉林一中等五校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞
0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足·＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解】(1)由题意得解得
∴椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，M(0，)，
N(0，－)，
·＝－3，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，
M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)>0，解得k＜－或k＞.
x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－＋4＝.
∵·＝2, ∴＝2，
解得k＝±，满足Δ＞0，故存在符合题意的直线，其方程为k＝±x＋2.
